合肥工业大学研究生精品教材《机械优化设计》_第02章

1、机械优化设计机械优化设计 合肥工业大学 吕新生 张晔 2009.12 研究生精品教材 机械优化设计机械优化设计 2 本书目录本书目录 第第1章章 概述概述 第第3章章 约束优化设计的间接法约束优化设计的间接法 第第4章章 混合离散变量的优化设计方法混合离散变量的优化设计方法 第第5章章 多目标优化设计方法多目标优化设计方法 第第6章章 复杂系统优化的分解复杂系统优化的分解协调法协调法 第第7章章 其它优化设计方法其它优化设计方法 研究生精品教材 机械优化设计机械优化设计 3 第第2章章 约束优化设计的直接法约束优化设计的直接法 2.1 约束优化设计的特点和直接法的基本概念和理论 2.1.1 约

2、束优化设计的特点 2.1.2 约束优化直接法的基本概念和理论 2.2 可行方向法 2.2.1 下降可行方向的确定 2.2.2 有约束一维搜索 2.2.2 收敛准则 2.2.3 框图 2.2.4 特点 2.3 可变容差法 2.3.1 可变容差法的基本策略思想 2.3.2 超容差点的处理 2.3.3 总框图 思考与练习 研究生精品教材 机械优化设计机械优化设计 4 2.1 约束优化设计的特点和直接法的基本概念和理约束优化设计的特点和直接法的基本概念和理 论论 2.1.1 约束优化设计的特点 不等式约束的例子： 特点： (1) 约束优化最优解与无约束优化最优解一般不重合，除非 无约束优化最优解位于可

3、行域内； (2) 约束优化最优解常常在边界上。 等式约束的例子： 特点： 对于等式约束问题，可行域为一条曲线。 图2-1 研究生精品教材 机械优化设计机械优化设计 5 约束优化的这些特点使得： 约束优化的理论远不及无约束优化理论那么系统成 熟； 约束的引入，使约束优化问题的数学形态比无约束 优化更复杂，因而各种约束优化方法的局限性更强 例如：有些方法适用于求解不等式约束优化问题，有些方 法适用于求解等式约束优化问题。 研究生精品教材 机械优化设计机械优化设计 6 2.1.2 约束优化直接法的基本概念和理论约束优化直接法的基本概念和理论 1. 约束优化直接法（通常用于求解不等式约束优化问 题）：

4、 在不等式约束确定的可行域内选定初始点，从该点出发确定 一个搜索方向（下降、可行），沿该方向作一维搜索，找到 新的可行点，反复迭代直至求得约束优化最优解。 2. 起作用约束： 对不等式约束 g(x)0，如果优化设计的现行点xk 使得该约束等 号成立，即g(xk)=0，则称该约束为xk 点处的一个起作用约束。 今后我们记点xk处的起作用约束集合为Ik。 3. 可行方向 对于从可行点x引出的非零向量p，若存在0，对所有的 0t存在x+tp位于可行域内，则称p为x处的一个可行方向向量， 它的方向=p/p为可行方向。 研究生精品教材 机械优化设计机械优化设计 7 引理： 定理： 研究生精品教材 机械优

5、化设计机械优化设计 8 研究生精品教材 机械优化设计机械优化设计 9 4. 约束优化的几何最优性条件（必要条件） 几何最优性条件实际上告诉我们：在 x* 处一定不存在 既下降又可行的方向（下降可行方向），或者说，在x* 处所有的下降方向都不可行，而所有的可行方向又都 不下降。 研究生精品教材 机械优化设计机械优化设计 10 5. KT条件 (1)Gordan引理 图图2-3 图图2-4 研究生精品教材 机械优化设计机械优化设计 11 (2) 不等式约束问题的KT条件(必要条件) (3)等式和不等式约束问题的 KT 条件(必要条件) 研究生精品教材 机械优化设计机械优化设计 12 2.2 可行方

6、向法可行方向法 可行方向法是一种典型的约束优化直接法。 2.2.1 下降可行方向的确定 前面我们已讨论过，一个下降可行方向要同时满足 下述两个条件： 对于某个优化设计的现行点 xk 来说，f(xk)、 gi(xk) iIk 都是已知的列向量，所以，要确定点 xk 处的下降可行方向，就要利用上面两个条件，根 据已知的f(xk)、gi(xk) (iIk )确定向量p=p1、 p2、pn T。 研究生精品教材 机械优化设计机械优化设计 13 确定下降可行方向的方法大致有三种： (1)线性规划法 (2)梯度投影法（要求约束函数线性） (3)随机法（效率低）。 这里仅介绍线性规划。 研究生精品教材 机械

7、优化设计机械优化设计 14 xk 点处的下降方向一般不是唯一的点处的下降方向一般不是唯一的，在所有的下降方向中有一个 方向是目标函数值下降最快的方向，称为最速下降方向，从数学 的角度来看，f(xk) T p0）都是它的解，因此，还要对 p 的长度（模）加 以限制，例如令p1，但更多的是令 |pj|1，所以，用 来确定下降可行方向应该求解这样一个单目标线性规 划问题： min y s.t f(xk)T p y 0 gi(xk)T p y 0 (iIk ) |pj|1 (j=1、2、n) 研究生精品教材 机械优化设计机械优化设计 16 2.2.2 有约束一维搜索有约束一维搜索 有约束一维搜索比无约

8、束一维搜索要复杂得多，它要解决的问题是在确定了下降可 行方向的前提下，沿此方向寻找一个 t*，使得 f(x+t*p) 是沿此方向最小的可行点。 我们知道，无约束一维搜索实质上是沿搜索方向寻找与某条等值线的切点，但有约 束一维搜索却可能遇到两种情况： 一种是在可行域内沿下降可行方向能找到与某条等值线的切点； 另一种是在可行域内沿下降可行方向找不到与某条等值线的切点（切点在可行域外）。 对于第一种情况，一维搜索应找到切点作为 xk+1，对于第二种情况则应将 xk+1 推到 另一个约束面上，为此，有约束一维搜索可分为这样两个步骤： 1. 决定不违反约束的最大步长 对所有I Ik 求 ti0，使得 g

9、i (x+ti p)=0，若上式有不止一个0 点取其最小者(图2-5 a) 若gi (x+ti p) 恒小于0，令 ti=+ （实际上是赋予一个很大的正数，如1038）(图2-5 b) 最后取所有 ti 中最小的为 tmax (图2-3 c) 2. 检查在 0ttmax 区间内有没有单谷区间，如有，用无约束一维搜索方法求得 t*；否则， 令t*=tmax。 图2-5 研究生精品教材 机械优化设计机械优化设计 17 2.2.2 收敛准则收敛准则 定理： 若 (1) x是可行点 (2) 是线性规划 min y s.t f(xk)T p y 0 gi(xk)T p y 0 (iIk ) |pj|1

10、( j=1、2、n) 的最优解 (3) 对于iI，gi(x) 线性无关 则：x 满足KT条件的充要条件是 y*=0。 图图2-6 可行方向法框图可行方向法框图 开开 始始 给定给定x0，1，2 k=0 确定确定Ik Ik=? 解线性规划问题解线性规划问题 确定下降可行方向确定下降可行方向Pk |y|2? 确定确定tmax 0tk 此时需要继续进行迭代，但多次迭代后，单纯形会退化为一个点，使得 处理超容差点的无约束优化陷入死循环，为此，程序每循环2(n+1) 次后 计算 其中xsc是第s次迭代（第s个单纯形）除去最坏点后的图形形心。 如果As 10-4，迭代继续进行；如果As10-4，用沿各坐标

11、轴方向依次作一 维搜索的方法处理，n次搜索后仍未找到T(x)k的点则宣告处理超容差 点失败。 m 1i 2 i )x(g)x( T 2/1 1n 1i 2 scss )x(T)x(T 1n 1 A 图图2-7 超容差点处理框图超容差点处理框图 进入进入 x0= xk，=k t=0.05k，m=0，l=0 用单纯形法求用单纯形法求xs m=m+1 m2(n+1)? 二次插值求二次插值求xs* As10-4? 计算计算Asq=0? j=j+1 0 T(xs)=0? x xk= xs* 沿坐标轴方向沿坐标轴方向 一维搜索求一维搜索求xsj xk+1 =xk+ t* Pk 返回返回 失败返回失败返回

12、m=0 l=l+1，j=0 T(xs)k? T(xsj)k? jn? l=给定数？给定数？n? x0=xsn 0 x0=xsn 0 x xk= xs N Y Y Y N N N N N Y Y Y YN N Y 图图2-8 单纯形法框图单纯形法框图 开开 始始 给定初始点、收敛限给定初始点、收敛限 找出找出fl，fh 构造初始单纯形构造初始单纯形 计算计算fi(i=1，2n+1) flfh？ 延伸延伸(=2) xe= x0 +(xr-x0)，计算，计算fe 结束结束 确定除确定除xh外的形心外的形心 xh=xe fh=fe 满足收敛限？满足收敛限？ 反射反射(=1) xr= x0 +(x0-xh) fefl？ xh=xr fh=fr frfj？ jl,h xh=xr fh=fr frfh？ xh=xr fh=fr 收缩收缩(=0.5) xc= x0 +(xh