极限思想及其应用

1、极限思想及其应用摘要：1关键词1Abstract1Key words1引言：21.极限思想的形成及发展22.选题的背景及意义2一、极限思想的思维本质21.极限思想揭示了无限与有限之间的相互转化22.极限思想是对近似和精确相互转化的揭示23.极限思想揭示了变量与常量之间的对立统一2二、极限思想在数学分析中的应用31.在导数中极限思想的应用32.在积分中极限思想的应用43.在微分中极限思想的应用54.在开方中极限思想的应用7结论9参考文献10摘要： 在无限的变化中考察变量的变化趋势，这种思想就是极限思想。由于极限概念就是数学分析的基础，所以极限思想在现代数学中有着非常重要的地位，对极限理论的熟练掌

2、握，并将这种思想大量应用于实践中，将会体验到用极限思想解题的简便性。 笔者在本篇论文中，将从极限思想的形成与发展来引入极限，并通过分析极限思想在数学分析中的应用，在倒数、微分、积分与开方中，极限思想都起着极大的作用，通过对这些作用的描述，来证明我们对极限思想的掌握是很必要的。关键词：极限思想；微积分；应用Abstract：Examine trends in the infinite variables change, this idea is to limit thought. Since the concept of limit is the basis of mathematical an

3、alysis, the ultimate thinking in modern mathematics has a very important position, skilled grasp the ultimate theory, and this idea widely used in practice, will experience an ultimate ideological problem-solving simplicity. In this paper, the author, will limit the formation and development of thou

4、ght to the introduction of the limit, and by analyzing the limits of thought in mathematical analysis, in the countdown, differentiation, integration and evolution, the ultimate thinking plays a great action by the description of these effects, to prove that we grasp the limits of thought is necessa

5、ry.Key words：Limit Thought；calculus；application引言：作为数学思想中最重要的一项思想之一，极限思想从萌芽到完善时期，一直为人类对世界对物质的认识提供着强有力的工具。1.极限思想的形成及发展 极限思想在公元前五世纪开始从哲学命题中萌芽，芝诺四个悖论的提出，引发了人们对数学的无穷（即极限）思想的探究，之后柏拉图及亚里士多德实无穷与潜无穷理论为极限的发展起到推动作用，继而微积分的发展为极限思想的进一步完善奠定了基础，十九世纪末，维尔斯特拉斯极限的静态定义的提出，成为微积分理论的基础。随着社会实践发展，极限思想成为了近代数学思想的出发点，使数学解决了许多和

6、“无穷”有关的悖论，极限思想的地位得到进一步提升。2.选题的背景及意义 在极限思想越来越重要的现在，对极限思想的研究，可以方便读者理解数学史以及哲学数学史上的一些问题，同时对于提高读者的思维品质、思维方法以及对问题的解决能力。一、极限思想的思维本质极限思想，是用联系变动的观点，将所考察的对象看做是某对象在无限变化的过程中变化结果的思想方法。1.极限思想揭示了无限与有限之间的相互转化 2=6（1+1/4+1/9+1/16+），从这个式子中，我们可以看出，从左向右是无限向有限的转化，从右向左则是有限中包含无限。2.极限思想是对近似和精确相互转化的揭示定积分的近似计算也是用有限的和去替代极限值，极限

7、值为精确值。3.极限思想揭示了变量与常量之间的对立统一可以想象，正多边形随着边数的无限增大而趋于圆形，这便是质的飞跃。二、极限思想在数学分析中的应用1.在导数中极限思想的应用法国数学家费马对于极值问题的研究引入了导数的思想，导数中利用到的极限思想重点在两个概念中体现，分别是瞬时速度与切线斜率。其中，瞬时速度为：这个公式是指质点在做直线运动时，是其运动规律，那么在确定的某一时刻的瞬时速度可以通过与接近的某一时刻，来求这个质点在这一时间段的平均速度，如果质点在这一事件段内存在极限，那么可以将看做这个质点的瞬时速度。第二个是针对切线斜率的极限思想：其中，割线斜率为：在P点，的切线是曲线上割线PQ的Q

8、点无限接近P点时候PT的值，在以上公式中，假设无限趋近时候，如果存在极限的话 M.克莱因:古今数学思想第1册，张理京张锦炎译，上海科学技术出版社，1979年。，那么，k便是切线PT的斜率：针对导数，由极限思想出发，我们可以得出导数的定义如下：对于函来说，在函数上某一点处有意义，即：存在的话，那么我们就可以说f在处是可导的。假设 ,，那么导数的另一种表达方式即为：2.在积分中极限思想的应用积分分为定积分及不定积分，在此，笔者将分别从定积分的角度来分析极限思想在积分中的应用。、直线以及x轴围城一个曲边梯形，求这个曲边梯形的面积就是定积分提出的背景。我们将曲边梯形分为若干个曲边梯形，假设为n个。当n

9、非常大的时候，并且又非常小的时候，可以将这个曲边梯形的面积看做是由若干个第k个小曲边梯形的面积之和。其中第k个小曲边梯形的面积公式如下：另外，假设n在无限增大，又无限接近于0的时候，这个式子其实就无限与整个曲边梯形的面积接近了，所以曲边梯形的面积可以这样表示出来：由以上对曲边梯形面积的求解过程，可以用极限思想来理解定积分的定义：在一个闭区间内有若干个点，假设为n-1个，我们用将这个闭区间分成n个小区间，每个小区间中， 其中，那么i这些分点对区间a,b进行分割，我们可以记为，也可以记做，并且从x轴上能够得知每个小区间的长度是,假设定义在a，b上的一个函数，其中有一个确定的实数J，且存在某一个正数

10、与某个给定的任意正数，能够对区间a，b进行分割，且分割记为T，那么只要可以保证：我们就可以认定这个函数在区间a，b上市可积的，那么a，b上的定积分即为数J，定积分也可以记做： 接下来我们来看一下不定积分，不定积分是以导数逆出现的，不定积分和求导或者微分互为逆运算，从原函数与不定积分的角度分析，假设存在函数F(X)，f(x)。将这个函数确定区间（a，b），如果我们可以证明在这个区间之内，以下式成立，= 或=则可以说F(X)是f(x)在区间（a，b）内的一个原函数，从原函数这里来倒推不定积分。在区间（a，b）内存在两个函数，且F(X)是f(x)的原函数，那么f(x)的全体原函数F(X)+C（C为任

11、意常数），都是f(x)的不定积分，可以记做：通常情况下不定积分与定积分是在具体的计算公式上联系的，不定积分与与定积分的求积分法则与公式，再用牛顿-莱布尼茨公式得出：3.在微分中极限思想的应用可微与可导是相对应的，如果在0处，是可微的，那么我们可以用以下式子表示： 极限的思想对微分的发展具有很大的促进作用，并且微分与极限是相辅相成的，微分反过来对很多不定式的的极限的求解也有很大的作用。有其是在以下四类问题中： 第一种应用：假设存在一个边长为x的正方形，且这个正方形的面积s为这个正方形如果边长增加一定数值，那么相应的正方形的面积的增量为：也可以记做：A=第二种应用是针对三角函数的应用：第三种应用是

12、针对泰勒公式的应用：第四种应用是针对某个不定式的极限应用： 极限理论奠定了微积分的逻辑基础，例如柯西、波尔查诺、柯西威尔斯托拉斯等运用极限思想来为微积分提供严密性，可以说，微积分学的定理几乎都是用极限思想来得到的。 笔者具体从柯西中值定理中来分析极限思想对微积分学的作用。 从积分型角度来看，设函数在闭区间连续，且恒大于0或恒小于0，则在上至少存在一点，使得= 假设存在函数h(x)，且h(x)在闭区间上也连续，那么对任意,有且则若，则有；若，则有. 以上两个结论必然成立。 接下来我们构造一个函数：. 通过以上条件可以得知在上连续，且，那么必然存在某个在区间内的点，设令. 又因为函数具有保号性，所

13、以存在某正数及点的邻域这个邻域内，其中，使得对任意的，有.因为，有所以=+= ，即，之后可以得出 .同理，当时. 从而可以得出，在闭区间连续，且恒大于0或恒小于0，则在上至少存在一点，使得=4.在开方中极限思想的应用在以下式子中，为被开方数，平方根的近似值为A，开方开不尽的余数为r。一般情况下，开方开不尽的数值，常用加借算命分和不加借算命分两种方法来表达，不过这种方法并不具体，我们套入极限思想：设A为整数，且， 为平方根的十进分数的分子，也是整数，将其中 取一个近似值的话，可以得出：或 也就是指：或 又因为，这便是极限思想在开方中的应用。结论极限思想一直人类对世界对物质的认识提供着强有力的工具，通过对极限思想的学习和掌握，可以帮助我们更好的认识和处理问题，同时极限思想中也有着丰富辩证思想的存在，我们需要 对极限有深入的理解才能使其更好的为科学及社会服务。参考文献1(美)M.克莱因:古今数学思想第1册，张理京张锦炎译，上海科学技术出版社，1979年。2(美)M.克莱因:古今数学思想，北京大学数学系数学史翻译组，上海科学技术出版社，第2册、1979年版