数学与应用数学-浅谈矩阵的特征值和特征向量论文

1、 浅谈矩阵的特征值与特征向量的应用摘要 起初, 为了便于研究和求解线性方程，引入了矩阵的概念. 随着矩阵理论的不断完善,矩阵逐渐被用作各个学科的重要研究工具,其理论得到了充分的发展.矩阵的特征值和特征向量的是研究矩阵的一个重要手段，通过计算出矩阵的特征值和特征向量，可以获得矩阵的一些重要性质和应用.本文在介绍了矩阵的特征值和特征向量的概念和性质的基础上，通过具体例题，归纳总结了如何利用矩阵的特征值和特征向量来解决实际问题.本文分成三个部分,第一部分主要介绍国内外对矩阵特征值和特征向量的一些研究现状. 第二部分主要介绍特征值和特征向量的求法.第三部分主要介绍特征值和特征向量的一些主要的应用.例如

2、通过行列互逆变换、MATLAB等方法和手段求解矩阵的特征值和特征向量,并给出了特征值和特征向量的相关应用.例如可以预测一个特定区域未来t年的经济发展状况,具有特征值和特征向量的模型还可以帮助解决日常生活中的人口流动等问题. 特征值和特征向量的研究有助于代数学的进一步发展,同时将二者的研究结果应用到实际生活中去,能够解决很多实际问题.关键词 特征值 特征向量 矩阵 应用On the application of eigenvalue and eigenvector of matrixAbstract At first, in order to facilitate the study and s

3、olution of linear equations, the concept of matrix was introduced. With the continuous improvement of matrix theory, matrix is gradually used as an important research tool in various disciplines, and its theory has been fully developed. The eigenvalues and characteristics of matrix Vectors are an im

4、portant means of studying matrices. By calculating the eigenvalues and eigenvectors of the matrix, some important properties and applications of the matrix can be obtained. This article introduces the concepts and properties of the eigenvalues and eigenvectors of the matrix, Through specific example

5、s, it summarizes how to use matrix eigenvalues and eigenvectors to solve practical problems. This article is divided into three parts. The first part mainly introduces some domestic and foreign research status of matrix eigenvalues and eigenvectors. The second part mainly introduces How to find eige

6、nvalues and eigenvectors. The third part mainly introduces some of the main applications of eigenvalues and eigenvectors. For example, the methods and means to solve the eigenvalues and eigenvectors of matrices through row and column reciprocal transformation, MATLAB, etc. Related applications of va

7、lues and feature vectors. For example, you can predict the future of a specific area t Economic development status, models with eigenvalues and eigenvectors can also help solve problems such as population mobility in daily life. The study of eigenvalues and eigenvectors can help the further developm

8、ent of algebra, and at the same time apply the research results of both In real life, you can solve many practical problems.Key words eigenvalue eigenvector matrix application 目 录引言1第1章 国内外研究现状11.1国内研究现状11.2国外研究现状1第2章 特征值和特征向量的一般理论22.1特征值和特征向量的相关定义和性质22.2特征值和特征向量的一般解法22.2.1传统的求特征值和特征向量的解法32.2.2特征值和特

9、征向量的列行互逆变换法的定义42.2.3用列初等变换求矩阵的特征值和特征向量52.2.4用matlab求矩阵的特征值和特征向量6第3章矩阵的特征值与特征向量的应用研究83.1n阶高次幂矩阵的求解83.2 Fibonacci数列113.3经济发展与环境污染的增长模型123.4从业人口流动问题143.5 人脸识别15结论16参考文献17致 谢18 引 言研究矩阵的特征值和特征向量，不仅对理论学习帮助良多,对经济学,物理学,生物学,计算机等各个领域的发展都有所助益.例如我们用重要程度得分来表示一个网页的重要程度,这个得分应该是一个非负数.而如何打分的中心思想是,其他网页指向该网页的链接的数量越多,该

10、网页的重要性得分相应的就越高,那么这个网页就越重要.而这一评分系统算法中就运用到了矩阵模型,矩阵的特征值和特征向量在算法中起到了极其重要的作用,Google的PageRank算法就是如此. 特征值和特征向量的研究不管是对学术研究还是现实应用,都具有深远的意义.第1章 国内外研究现状1.1国内研究现状国内和国外代数学研究者中,许多专家学者已经都积极参与特征值和特征向量这一领域的研究.例如：张亚在文献1矩阵的特征值与特征向量及其应用中介绍了特征值和特征向量的定义和性质.对求解特征值和特征向量的几种方法进行了总结.简要描述了矩阵的高次幂的计算,并在此基础上引入了斐波那契数.周琴在文献2矩阵特征值和特

11、征向量在实际中的应用及其实现中介绍了矩阵的特征值和特征向量在循环游戏的排序问题和预测分析中的应用,并给出了MATLAB软件进行数值实现的具体代码,这些代码适用于类似的实际问题的计算,只需要在应用时相应地修改矩阵即可.刘红梅在文献3基于矩阵特征值和特征向量的应用研究中重点研究了矩阵相关算法.相关矩阵模型可用于确定系统中物种的进化,计算系统中物种的特定数量以及预测物种的状态.王涛,纪维强在文献5Matlab在线性代数中的应用中给到了运用MATLAB求矩阵的特征值和特征向量的一些方法.1.2国外研究现状国外对于矩阵的特征值与特征向量的研究更多偏向于应用性.Kwai-Sang Chin在文献19An

12、eigenvector method for generating normalized interval and fuzzy weights中提出了一种归一化区间或模糊特征向量权值估计方法.R.M. Lin在文献20DERIVATION OF STRUCTURAL DESIGN SENSITIVITIES FROM VIBRATION TEST DATA中从有限的振动实验数据出发,提出了一种计算结构设计灵敏度的有效方法,即频率响应函数灵敏度,特征值灵敏度和特征向量灵敏度.Bong Seok Kim,Kyung Youn Kim在文献21Estimation of conductivity d

13、istribution based on fast inversion using eigenvalue and eigenvector in electrical impedance tomography中提出了一种利用特征值和特征向量快速反演电导率分布的方法.第2章 特征值和特征向量的一般理论2.1特征值和特征向量的相关定义和性质定义 对于阶方阵，如果存在数以及维非零列向量， 满足 则数称为的特征值， 非零向量称为的属于特征值的特征向量. 注 （1）例如 对于 =，不难验算：=1，因此，1是的特征值，是的属于特征值1的特征向量容易看出，对于任意非零数k，k也是的属于特征值1的特征向量（2）

14、一般地，若是的属于特征值的特征向量，则对于任意非零数k，也是的属于特征值的特征向量，即与对应的特征向量不是唯一的.（3）与的不同特征值所对应的特征向量绝不会相同， 就是说， 特征向量只能从属于一个特征值. 2. 特征多项式 设A是n阶矩阵，l是一个文字，矩阵称为的特征矩阵，它的行列式 是关于的一个n次多项式，称为的特征多项式方程称为的特征方程特征值与特征向量的性质(1) n阶矩阵与它的转置矩阵有相同的特征值(2) ; .其中是矩阵的全部特征值.(3) n阶方阵可逆的充要条件是的任意一个特征值都不为零.(4) 设是方阵的特征值，则是的特征值(为正整数).注 一般地， 设，其中为方阵. 若是的特征

15、值， 即， 因为 .所以是矩阵的特征值.(5) 设是方阵的特征值，且可逆， 则是的特征值.2.2特征值和特征向量的一般解法2.2.1传统的求特征值和特征向量的解法n阶方阵的特征值于特征向量的步骤为:(1) 解特征方程. 求出全部根 ()，则就是的全部特征值.(2) 对每个，求出齐次方程组的基础解系: ， 其中为系数矩阵的秩，则的属于的特征向量为， 其中为不全为零的数.例1 已知矩阵,求出矩阵的特征值和特征向量解 =故当时,代入得,即,因此对应的特征向量为当时,代入得,因此对应的特征向量为例2 已知矩阵=,求出矩阵的特征值和特征向量故得特征值当时,代入得,因此对应的特征向量为当时,代入得,因此对

16、应的特征向量为.2.2.2特征值和特征向量的列行互逆变换法的定义找到一组基本解,我们可以找到与每个特征值相对应的所有线性无关的特征向量:（1）互换两列,同时互换两行（2）第列乘以非零数,同时第行乘（3）第i列k倍数加到第j列,同时第j行-k倍加到第i行例3 已知矩阵,求的特征值和特征向量 解 所以特征值特征值对应的特征向量为特征值对应的特征向量为2.2.3用列初等变换求矩阵的特征值和特征向量设是阶矩阵A的特征根,对施行列初等变换化为的同时,对单位阵施行同样的列初等变换就得到矩阵,则矩阵的每一个列向量都是的属于特征根的特征向量,且它们恰构成特征子空间的一个基.（这里r=秩事实上,由矩阵的初等变换

17、和分块矩阵运算性质可得=所以由于是单位阵经若干初等列变换得到的分块矩阵;因而它的个列向量线性无关,且每个列向量都是的解向量.从而结论得证.例4求矩阵=的特征值和特征向量解 =解得特征值对应的特征向量为2.2.4用matlab求矩阵的特征值和特征向量可以通过在matlab中求矩阵的特征值和特征向量的命令为:或 例5 求矩阵的特征值和特征向量解 matlab中输入clear运行结果为如果运行运行结果为上面matlab中的输入仅显示A的特征值,而输入不仅显示对角矩阵D（对角元素是的特征值）,还可以求解相应的特征向量矩阵.例6求矩阵的特征值和特征向量解 在matlab中输入clear;可以通过继续输入

18、命令得可以通过继续输入命令输出结果为符合特征值的定义矩阵的对角线上的数值即为该矩阵的特征值,矩阵为该矩阵的特征向量所组成的矩阵.第3章矩阵的特征值与特征向量的应用研究矩阵的特征值和特征向量的相关内容贯穿整个代数学,是非常重要的一个概念.其不仅对理论研究有所助益,而且特征值和特征向量的研究能够运用到实际问题中去,接下来将介绍一些其在数学中一些的应用.3.1n阶高次幂矩阵的求解对一个阶矩阵求解,使用以前的方法会很麻烦,因此引入了一个更简单的方法.当一个阶的矩阵可对角化时,即原矩阵与其对角矩阵相似,那在计算它的高次幂矩阵时有简便算法.何为可对角化,如下条件即说该矩阵可对角化:前提是为对称的矩阵,再有

19、矩阵有个不相等的特征值,且特征值所对应的特征向量线性无关,对于每一个特征值均有.满足如上条件即可说可对角化.对来说,其中,它是由的n个特征向量构成的.并且由的个特征值构成的对角矩阵为,有=其中.例7设矩阵,求（k为正整数）解 矩阵为实对称矩阵,可对角化令 得（1） 时,由,得故所对应的一个特征向量为 （2） ,由,得,故所对应的一个特征向量为由此可得,=故解得例8设矩阵,求（k为正整数）解 矩阵为实对称矩阵,可对角化故可解得时,可得,故所对应的一个特征向量为 时,由可得,故所对应的一个特征向量为由此可得, 3.2 Fibonacci数列由于有新的树枝生长出来,新树枝的生长通常需要一段“休息”时

20、间才能继续生长,然后再萌发新的树枝. 因此,树木的生长需要一定时间间隔,例如一年后长出新的分枝;第二年的时候,新枝停止生长,而旧分枝仍在发芽;此后,旧分枝与“休息”一年后长出来的分枝同时萌发,而当年新生的树枝次年“休息”, 以此类推,各年树的分支数量构成斐波那契数列（k=0 ,1 ,2 ,）.数列满足条件通项为第k天枝条的条数,假设,（k=0 ,1 ,2 ,）将其写成矩阵形式,令得到,由此公式递归可得于是求的问题归结为求,即求的问题由矩阵的阶高次幂的求解知,若要求,先求矩阵的特征值和特征向量,求得的特征值为,所对应的特征值分别为,假设所以可得可得综上可得第k天枝条条数为.3.3经济发展与环境污

21、染的增长模型 经济的良好发展是社会向好发展的决定性因素之一,因此研究影响经济发展的因素是至关重要的. 而环境污染是影响经济发展的重要因素,因此我们值得对二者的关系进行一定的研究,我们可以通过建立二者的数学模型:设分别为某地区目前的环境污染与经济发展水平, 是 1年后的环境污染与经济发展水平,且有如下关系:令,可得:上式反应了目前以及1年后经济发展水平与环境污染增长之间的关系,若令=则由可得据此可以推算出1年后该地的经济发展水平与环境污染水平.如果是该地区若干年后的经济发展水平与环境污染水平,则有:将上述关系转化为矩阵形式为:由此公式递归可得据此能够预测出该地区若干年后的经济发展和环境污染水平,

22、进而得以求出矩阵A的特征值为,属于的一个特征向量是 ,属于的一个特征向量是 ,下面可分为三种情况讨论分析:（1）由于经济发展水平不可能为负,故该情况不予以讨论;（2）根据特征值与特征向量的性质可知:=继而可得由此可以看出,经过t年,当经济发展水平达到一定高度时,环境保持了同步恶化的趋势.（3）可以由和唯一线性表出,即 由此可得 据此可以推断出该地区t年后环境污染水平和经济发展水平.在情况（1）中为负值,无实际意义,不作讨论.对（2）（3）两种情况进行具体说明.通过这个案例可以看出特征值和特征向量的应用已经在对影响经济发展相关因素的分析中发挥了重要作用.3.4从业人口流动问题假设一个城市从事服务

23、业,教育业,医疗健康行业三业人数共有50万人,并且该城市的这三项的就业总人数几年来一直保持不变. 以下是一些社会调查数据: 在50万从业者中,从事教育业的有20万人,从事服务业的20万人,从事医疗健康行业的有10万人;1.在从事服务业的人员中,每年有10%转为教育行业,5%转为医疗健康行业;2.在从事教育行业的人员中,每年有5%转为服务业,10%转为医疗健康行业;3.在从事医疗健康行业的人员中,每年有10%转为服务业,5%转为教育业.现在,要预测一两年后从事各行业的人数,以及多年后各种行业的人数趋势.若用三维向量表示第t年之后从事这三个行业的总人数,已知而欲求,并欲求根据题意,可得一年后,从事

24、服务业,教育业,医疗健康行业的人数为:即以,代入上式可得即1年后,从事服务业,教育业,医疗健康行业的人数为:19.5万,19万,11.5万2年后,即2年后,从事服务业,教育业,医疗健康行业的人数为:19.05万,18.275万,12.675万而t年后,即t年后从事各行业的人数由决定.从而运用矩阵特征值和特征向量的相关知识帮助我们解决生活中的从业人口流动问题,3.5 人脸识别运用MATLAB以及矩阵的特征值和特征向量的相关知识建立人脸识别模型1.人脸样本选取10张人脸图片作为测试样本%读取转换10张图片,生成数据矩阵function ImgData = imgdata() %导入图片pictur

25、e1 = rgb2gray(imread(1.jpg); picture2 = rgb2gray(imread(2.jpg); picture3 = rgb2gray(imread(3.jpg); picture4 = rgb2gray(imread(4.jpg); picture5 = rgb2gray(imread(5.jpg); picture6 = rgb2gray(imread(6.jpg); picture7 = rgb2gray(imread(7.jpg); picture8 = rgb2gray(imread(8.jpg); picture9 = rgb2gray(imread

26、(9.jpg);picture10 = rgb2gray(imread(10.jpg); m,n = size(picture1); picture_ten = picture1,picture2,picture3,picture4,picture5,picture6,picture7,picture8,picture9,picture10; for i=1:10 %把m*n的矩阵变换成1*(m*n)的矩阵 ImgData(i,:) = reshape(picture_teni,1,m*n); end %数据范围缩小到0到1之间 ImgData = double(ImgData)/255;2.

27、PCA分析function Cell_ten = PCA(imgdata,k) m,n = size(imgdata); img_mean = mean(imgdata); %计算每列平均值 img_mean_ten = repmat(img_mean,m,1); %复制m行平均值至矩阵img_mean_ten Z = imgdata - img_mean_ten; T = Z*Z;%协方差矩阵 V,D = eigs(T,k); %计算T中最大的前k个特征值与特征向量 img_new = imgdata*V*D; %低维度下的各个人脸的数据 Cell_ten = img_new,V,D;3.通

28、过输入测试人脸从数据库中找到相对应的人脸function face= facefind(Cell_ten,testdata)%4.主程序调用img=imgdata(); %图片矩阵数据Cell_ten=PCA(img,2);% PCAface1=facefind(Cell_ten,imread(test.jpg);%识别subplot(1,2,1)imshow(test.jpg)title(测试图像)subplot(1,2,2)imshow(strcat(num2str(face1),.jpg)title(数据库图像)使用以上算法可以进行人脸识别.结 论对矩阵的特征值和特征向量的研究不仅对学术

29、研究具有促进作用,还可以在现实生活中用于解决实际问题.矩阵的应用不仅在数学领域得以体现,而且在许多其他领域例如经济,生物,计算机等多个领域都有相关应用.本文在介绍其理论基础的同时,还通过实际应用来说明数学源于生活,并且能够应用于生活.希望本论文的研究结果能够给广大学习者带来一定的帮助与启发.第 18 页参考文献1 张亚. 矩阵的特征值与特征向量及其应用J. 科技经济导刊, 2018(11):6-6.2 周琴. 矩阵特征值和特征向量在实际中的应用及其实现J. 高师理科学刊,2019,39(07):8-10.3 刘红梅. 基于矩阵特征值与特征向量的应用研究J. 许昌学院学报, 2019(02):6-9.4 王蓉 廖小莲. 特征值与特征向量及其应用案例J. 教育现代化, 2018(27):264-267.5 王涛,纪维强.Matlab在线性代数中的应用J.数学学习与研究,2015(17):131-133.6 王新武.特征值与特征向量相关问题的研究J.陇东学院学报,2011,22(06):24-29.7 张霓.矩阵特征值和特征向量的一些应用J.中国科技信息,2007(11):308+322.8 施劲松 王圣强. 关于方阵多项式的特征问题J. 大学数学, 2018(4):6-6.9 黄明湛 刘守宗. 对称矩阵的特征值逆问题研究J. 长江