数学归纳法不等式中学数学

1、摘 要许多中学生在数学归纳法在不等式的应用上都相对薄弱，在一部分学生中也是似懂非懂，按部就班的使用，并不能清楚的知道其原理，所以数学归纳法反而成了失分率非常高的知识点。那么如何学好它呢？我们应当从数学归纳法的历史及其发展入手，这是学会归纳法的关键，也是教师能够更好授课的前提。然而题型变化多端，如果学生对其类型了解的不够，将导致不能正确地选择解题方法。因此，如何全面的分析和研究面对各类题型采取的解题方法不同的问题，是当前学生学习并运用归纳法的关键，这也是本文的重点。本篇论文主要通过了解数学归纳法的概念和原理总结了一些常用的证明方法：放缩传递法、反证法、比较法、加减对消法、循环法、综合法；并分析了

2、学生常见错误的原因；提出了一些有建设性地建议。关键词：数学归纳法；不等式；中学数学AbstractMany middle school students are relatively weak in the application of mathematical induction in inequality, in some students are also vaguely understood, step-by-step use, and cant clearly know its principle, so mathematical induction has become a ver

3、y high loss rate of knowledge. So how to learn it well? We should start with the history and development of mathematical induction, which is the key to learning induction and the premise for teachers to teach better. However, the question types vary a lot, if the students do not know enough about it

4、s types, will lead to the problem cant choose the correct method. Therefore, how to comprehensively analyze and study the different problem solving methods adopted for various types of questions is the key for students to learn and apply induction method, which is also the focus of this paper. This

5、paper mainly through understanding the concept and principle of mathematical induction summarizes some commonly used methods of proof, including reduction method, transfer method, reduction method, comparison method, addition and subtraction pair elimination method, circulation method, synthesis met

6、hod; And summed up the students often make mistakes types; Some constructive Suggestions are put forward.Key words: mathematical induction; Inequality; Middle school mathematics目 录1 引 言52 数学归纳法的理论知识62.1 数学归纳法的历史62.2 数学归纳法的逻辑基础72.3 数学归纳法的基本原理83 数学归纳法在不等式证明中的一些应用93.1 数学归纳法证明不等式的一些类型93.1.1 放缩传递法证明不等式93

7、.1.2 反证法证明不等式103.1.3 分析法证明不等式113.1.4 比较法证明不等式123.1.5 加减对消法证明不等式123.1.6 循环法证明不等式133.1.7 综合证明不等式144 数学归纳法在不等式解题中的常见错误与建议154.1 常见错误及分析154.1.1 “归纳假设”形同虚设154.1.2 机械套用归纳法中的2个步骤164.1.3 错误领会从到的跨度174.2 数学归纳法证明不等式的学习建议185 结 论18参 考 文 献20致 谢21数学归纳法在不等式证明中的应用1 引 言数学归纳法将推理和证明这两种基本思维过程灵活运用到生活中，是中学数学中起着至关重要的作用,可以锻炼

8、学生有限到无限的思维过渡。数学归纳法帮助我们客观的认识事物，一步一步的建立数学抽象思维。每隔几年都会对新课进行改动，而随着这些改动的实施，数学教材在内容上变化也会比较很大，这就导致数学归纳法的内容是轻重不一的，在每个省份中的占比也不一样。例如人教版在高中数学选修中才设置数学归纳法的相关内容且更加表明它是一种归纳推理的方法；上教版则把它放在数列章节和大学的极限内容放在一起，强调的是其应用。在各个版本近几年的变动中我们发现高考对数学归纳法的考察越来越少，而教师在教学过程中都是以高考题型为导向的，这就导致大部分教师在教学生时并不重视原理和运用。所以出现了大部分学生在学习过程中感到难学、学后也不懂得很

9、好的运用，这就造成了教师在教学过程中感到难教的现象。然而在大学数学中，数学归纳法是很重要的思维方法，学生在中学时期就没打下好的基础，在进入大学之后会发现大学数学晦涩难懂，许多人提到数学都是叫苦连迭。但大学老师并不会再详细讲解，因为这是被默认为高中就应该掌握的知识，这在学习上造成了矛盾现象。因此我们要重视数学归纳法。了解数学归纳法的历史发展能够更好地帮助我们认识其原理。通过分析学生的错误原因我们得知除了对其原理和本质不清楚外，也有普遍存在的思维定式。本文主要总结了用数学归纳法解不等式问题的常见类型以及剖析了学生常犯的错误。2 数学归纳法的理论知识2.1 数学归纳法的历史人们最早认识数学是从阿拉伯

10、数字0，1，2，.开始的。在数学里把这类数字归为一类称为自然数集，在而数学归纳法中我们以正整数集作为区域，也就是去掉0后的自然数集。正整数集是无限集，因为你不可能把所有的正整数都写出来。所以人们只有找到有限和无限之间可以进行联系的途径，才能通过有限次的操作来推断无限集的一些性质，以此研究无限集的问题，人们发现的这个方法，便是数学归纳法。与正整数有关的数学问题的证明方法之一是数学归纳法，其证明步骤是：(1) 证明正确；(2) 假设正确，证明正确。如果(1)(2)都得证,那么对一切正整数都是正确的。在数学中递归即是把某序列的元素过渡到下一个元素。欧几里得是最先开始使用递归法的数学家，在他的几何原本

11、里，用递归法证明了无限集的命题。在近代数学家中，最早能够详细讲述递归法并运用它的是法国的一位著名数学家帕斯卡。 “帕斯卡三角形”命题也就是著名的杨辉三角，他在论算术三角形用递归法证明了这一命题，并且指出使用关于这一方法解答问题的流程，也即是第一条引理与第二条引理： 第一条：该命题对于第一个底成立，这是显然的。第二条：若该命题对任一底正确，则必定对其下一个底也正确。接下来用这两个引理他得出了计算组合数公式，即，这个也是第一个能用数学归纳法详细证明的题。2.2 数学归纳法的逻辑基础在1889 年，意大利数学家皮亚诺发表了算术原理新方法，在这本书中他创建了有关正整数的五条公理，使数学归纳法更加详细。

12、 五条公理：（1）1 是正整数；（2）1 不是任何正整数的后继者；（3）每一个正整数都是一个后继者；（4）若与的后继者相等，则与也相等；（5）若一个集合是正整数所组成的并包含1，如果包含有某一数就必然同时包含的后继,那么就包含一切的正整数（归纳公理）。皮亚诺在此基础上奠定了数学归纳法的原理:在后面紧接着有这个整数，那么我们从1开始有限次的做这一步骤，可以达到。所以数学归纳法常用来证明和正整数相关的问题，简单高效。2.3 数学归纳法的基本原理在应用数学归纳法时要注意严格按它的逻辑步骤，在正确的基础上从有限问题过度到无限的问题上：对都正确，这需要无限次的操作，但不可能把每个数都证明一次，数学归纳法

13、给出了一种方法：先证明起始值或，之后在假设成立的情况下，推出成立。按照前两步,可以断定对任意都正确。这种方法在使用时，第一步的过程是奠基。根据假设成立,推导出成立,这个过程就是递推。所以在使用时要特别注意一定要有以下两步：第一步：验证使命题正确的最小正整数，并不一定是从1开始，这要取决于命题的取值范围，这是递推的前提条件，但只有这一步是无法证明其普遍性。第二步：推证之前的过程，结论对于是不是正确不确定，所以用“假设”。其实质是证明命题正确时命题也正确。这是为了是递推的铺垫，但若是只有这一步，就不能进行下一步的递推过程。再由第一步的结论，可知命题对正确，由第二步对也正确.所以，对任意大于等于的正

14、整数都正确。最后，在完成这两步的证明后，需要做出结论3 数学归纳法在不等式证明中的一些应用3.1 数学归纳法证明不等式的一些类型很多同学看到题目时便马上解题，这是错误的。第一步我们应当观察并分析不等式两边的结构特征，尤其是左式的构成，找到和时式子变化的差异，搞懂这一步是解题的关键。变化的类型有很多种，但都有其固定的特征，我们根据这些特征选用不同的证明方法。而什么样的类型对应不同的解题方法就是以下我们要谈论的重点。下面总结并分析了我们常用到的几种技巧。3.1.1 放缩传递法证明不等式放缩法主要是利用不等式的传递性，通过适当的放缩不等式的局部，从而有利于化简，使它与原不等式两边的关系更加明显。在使

15、用放缩法时，要注意放缩的尺度，如何适度放缩是其难点。证题中经常用到的放缩方法有：（1）“添舍”：对不等式进行添加项或舍弃项（2）分式：通过放缩分式的分子、分母来达到目的（3）利用不等式或常见结论：把想要证明的不等式进行变形构造，这要求学生充分掌握重要的恒不等式。（4）单调性：这需要用到数列和函数的知识，利用它们的单调性、值域产生的不等关系进行放缩。例1 试证 。分析：要证明不等式成立，有时可以将它的一边放大或缩小，寻找一个过度式C。如将放大成，即，后证。这道题中，是分式的有规律的数列，我们知道当，不等式成立，故我们想到利用此结论进行放缩，找到。本题在证明的过程中，要证的目标是于是带着目的进行解

16、题，思考如何变形才能达到目的。证明：（1）当时，显然成立。（2）假设，成立。当时，故当时不等式成立。综上所述，原不等式都成立。3.1.2 反证法证明不等式反证法又称“执果索因”法，在直接证明成立受到阻碍时，则可以选择反向思考。反证法的步骤是先假设结论不成立，然后一直推到最后的结论与条件相反，最后得到结论正确的条件。一般来说，当结论中出现“至少”“至多”等字句，或以否定语句出现时，用反证法来解题会更加方便。例2 若，求证。分析：当我们从不等式正确顺推证明也正确但是毫无想法或者类似结论时，可以把结论假设为已知，从而推出结论正确的条件。这道题中，最开始都是顺推就有成立，从而证明也成立，但此式幂次方，

17、直接证明的话转换太复杂，所以我们考虑此结论已知，从而来探讨所满足的条件是否与结论相符，这就是反证法。证明：（1）当时，显然成立。（2）假设，成立。当 时，不等式为。 即原不等式成立。综上所述 ，原不等式都成立。3.1.3 分析法证明不等式分析法的总体思想是从结论出发, 找到可以使不等式成立的充分条件,其证题思路是执果索因,与反证法的思维相似，其逻辑关系是，其步骤是“要证只需证即证”,注意与综合法的区别。例3 对任意正整数，求证。分析：在面对这种双重未知的幂次方比较大小时，我们会分别取进行试验，根据结果来猜一般性结论。我们可以猜测此结论成立，那么就可以采用执果索因的方法来推出已知条件。证明：（1

18、）当时，显然成立。（2）假设，成立。当 时，不等式为， 即证，所以，所以只需证，即证， 只需证， 即证 显然成立。3.1.4 比较法证明不等式比较法是应用较广的证明方法,它分为作商、作差这两种比较法。作差的理论思想是把所有的式子都放在左边或右边，然后另一边为0，进行比较大小，而作商是两边同乘左（右）不为0的倒数，这样的话另一边就为 1，然后进行比大小。当想要证明的不等式两端是多项式(或分式)时,常用作差法，若是乘积或幂指数形式时,常用作商法。例4若求证：。分析：我们知道的展开式是，即含有项，可考虑放缩后再作差的方式进行消除或合并，但我们发现左右两边的的系数不一样，还要凑系数，这里就需要结合放缩

19、法一起。在验证n=k+1时，若凑系数为，会使中指数为k+1的项消除，故应当凑。证明：（1）当时，显然成立。（2）假设，成立。则当， 所以所以 成立。故命题成立。3.1.5 加减对消法证明不等式利用等式的性质使方程组中两个方程中的某一个未知数前的系数的绝对值相等，然后把两个方程相加或相减，以消去这个未知数，使方程只含有一个未知数而得以求解。例5 若，求证。分析：该题左边是个有规律的分式结构，右边是个常数。很显然，用放缩法非常快的得到证明，但这题我们讨论用加减对消该如何解。当和时，我们发现两者数列的和有许多相同的项，那么我们利用加减对消法对消某些项，这样就能把相同的项进行相加和相减，有利于化简，但

20、在 时要注意，增加和减少的项并不是1项证明：（1）当时，显然成立。（2）假设， 成立。设，则，所以，所以，所以。综上所述，任意原不等式都成立。3.1.6 循环法证明不等式当使用数学归纳法解决不等式相关问题时，需要不断循环的使用假设，最后得出证明。例6 若，求证。分析：我们可以假设成立，所以，本题二次使用归纳假设，再进行放缩，使命题得证。证明：（1）当时，不等式显然成立。（2）假设，成立。则当时，需验证。左边=即时不等式也成立。综上所述任意不等式都成立。3.1.7 综合证明不等式综合法的整理结构是从已知条件出发，利用已知的性质定理等一层一层进行剖析推理，最终得到可以使未知的不等式成立的条件。一般

21、来说，当不等式是均值不等式、平方和、乘积形式等，优先考虑用综合法。它的逻辑关系是例7 已知，试证。分析：从求证的不等式看，右边是两项式的积，且各项均为正，有2的因子，因此可考虑用均值不等式。证明：。（1）当时，。（2）假设，成立。则当时，即时不等式也成立。综上所述任意不等式都成立。通过以上数学归纳法在不等式中的应用过程可以体会到其重要性。所以在教学过程中，教师不仅要教学生数学归纳法的历史及其发展过程，更要培养学生发现和解决问题的能力。4 数学归纳法在不等式解题中的常见错误与建议4.1 常见错误及分析4.1.1 “归纳假设”形同虚设例8 已知数列中，前项和，计算 ，并猜想的表达式，用数学归纳法证

22、明你的结论。错误解法：当时，即。由此猜想：， （1）当时，显然成立。（2）假设当，成立。（3）则当时，又，是首项为3，公比为的等比数列，由此可得，这表明当命题也成立。错误分析：（1）应由求得，再由，求得进而由此猜想。（2）没有利用归纳假设，而是根据等比数列的通项公式求得，这种证明不是数学归纳法。正确解法：，当时，即。把代入，得由此猜想。下面用数学归纳法证明猜想成立。（1）当时，猜想成立。（2）假设当，成立。则当时，因为 ，所以 ， 这表明当结论也成立。4.1.2 机械套用归纳法中的2个步骤例9 当为正奇数时，能否被7整除？若能，用数学归纳法证明；否则，举出反例错误解法：（1）当时，6+1=7能

23、被7整除，命题成立。（2）假设当时，命题成立，即能被7整除，当时，不能被7整除，由(1)(2)知，为正奇数，不能被7整除。错误分析：机械套用归纳法的2个步骤，而忽略了是正奇数的条件。正确解法：（1）当时，6+1=7能被7整除，命题成立。（2）假设时，命题成立，即能被7整除，当时，。因为能被7整除且35也能被7整除，所以也能被7整除，由(1)(2)知，为正奇数，不能被7整除。4.1.3 错误领会从到的跨度例10 求证：用数学归纳法证明：。错误解法：（1）当时，显然有。（2）假设，成立。当时， 所以当时不等式成立，综上所述原不等式成立。错误解析：上述证明中，从到的跨度，只加了一项是错误的，分母是相

24、邻的自然数，故应该是，共有个项。正确解法：（1）当时，显然有。（2）假设，成立。当时，所以，当时不等式成立，综上所述原不等式成立。4.2 数学归纳法证明不等式的学习建议用数学归纳法来解决不等式相关问题，让学生理解并运用是有一定难度的，其原因是：不明白数学归纳法的本质和原理,以至于不懂如何运用；而且在开始之前就存在畏惧心理，认为其复杂困难；数学归纳法对能灵活运用知识间的关联要求也较高，学生的变通能力也有待加强。根据以上问题对学生学习提出下面几条建议：（1）学会联系生活实际。我们可以借助类比思维来帮助我们理解领会这一方法。如果是只记住这个方法的知识而不知道它的本质和原理，那么是无法灵活运用。（2）学会把问题类型和方法进行总结归纳。学数学并不是盲目的刷题，数学解题方法很重要，所以必须学会总结，这不仅可以帮助自己将知识进行整合，能够清楚各知识间的联系，而且能够发现自身薄弱的知识方面在哪，从而进行专项训练。（3）构造自己的知识思维导图。数学归纳法需要灵活运用各个方面知识，所以除了要清楚归纳法的解题步骤之外，更要熟悉掌握不等式、函数、三角函数等方面的内容，构造自己的思维导图。这样才能在使用数学