数列极限的定义PPT学习教案

1、会计学1 数列极限的定义数列极限的定义 R 正六边形的面积正六边形的面积 1 A 正十二边形的面积正十二边形的面积 2 A 正正 形的面积形的面积 1 26 n n A , 321n AAAAS 第1页/共16页 数列的概念数列的概念 定义定义:如果按照某一法则如果按照某一法则,对每个对每个 ,对应着一个确定对应着一个确定 的实数的实数 ,这些实数这些实数 按照下标按照下标n从小到大排列得到的一从小到大排列得到的一 个序列个序列 Nn n x n x , 321n xxxx 就叫做数列就叫做数列,简记为数列简记为数列 . n x 数列中的每一个数叫做数列的数列中的每一个数叫做数列的项项，第，第

2、n项项 叫做数列的叫做数列的 一般项一般项. . n x 例如例如 ;,2 , 8 , 4 , 2 n ;, 2 1 , 8 1 , 4 1 , 2 1 n 2 n 2 1 n 第2页/共16页 ;,)1( , 1 , 1, 1 1 n )1( 1 n ;, )1( , 3 4 , 2 1 , 2 1 n n n )1( 1 n n n 注意：注意：1.数列对应着数轴上一个点列 数列对应着数轴上一个点列.可看作一动点在可看作一动点在 数轴上依次取数轴上依次取., 21 n xxx 1 x 2 x 3 x 4 x n x 2.数列是整标函数数列是整标函数),(nfxn . Nn 第3页/共16页

3、 问题问题: 当当 无限增大时无限增大时, 是否无限接近于某一确定是否无限接近于某一确定 的数值的数值?如果是如果是,如何确定如何确定? n xn 问题问题:“无限接近无限接近”意味着什么意味着什么?如何用数学语言刻划如何用数学语言刻划 它它. 通过观察通过观察: n x n n 1 )1( 1 当当n无限增大时无限增大时, 无限接近于无限接近于1. 数列的极限数列的极限 观察数列观察数列 )1( 1 1 n n 当当 n时的变化趋势时的变化趋势. 第4页/共16页 注意：注意： 如果数列没有极限如果数列没有极限,就说数列是发散的就说数列是发散的. 1.1.具有任意给定性，它是描述具有任意给定

4、性，它是描述 与与 的无限接近程度的无限接近程度. . n xa 2 2. N . N 与与有关，且不唯一有关，且不唯一. . 第5页/共16页 函数的极限函数的极限 一、一、 函数极限的定义函数极限的定义 二、二、 函数极限的性质函数极限的性质 第6页/共16页 1 1、自变量趋于有限值时函数的极限、自变量趋于有限值时函数的极限 Axf xx )(lim 0 或或)()( 0 xxAxf 定义定义1 1 设函数设函数f( (x) )在点在点x0 0的某一去心邻域内有定义，如果存的某一去心邻域内有定义，如果存 在常数在常数A , ,对于任意给定的正数对于任意给定的正数（不论它多么小），总存（不

5、论它多么小），总存 在正数在正数, ,使得当使得当x 满足不等式满足不等式0|0|xx0 0|时，对应的函时，对应的函 数值数值f( (x) )都满足不等式，都满足不等式，| | f( (x) )A|那末常数那末常数A就叫做就叫做函函 数数f( (x) )当当xx0 0时的极限时的极限，记作，记作 注注 , 0, 0 1） 语言表述语言表述 当当 时有时有 则则 0 0 xx Axf)( Axf xx )(lim 0 一、一、 函数极限的定义函数极限的定义 第7页/共16页 2） 表示表示 时时 有无极限有无极限 与与 有无定义没有关系有无定义没有关系. 0 0 xx 00, xxxx )(

6、0 xf )(xf 3） 任意给定后，才能找到任意给定后，才能找到 ， 依赖于依赖于 ，且，且 越小，越小， 越小越小. )( 4） 不唯一，也不必找最大的，只要存在即可不唯一，也不必找最大的，只要存在即可. 第8页/共16页 )(xfy A A A 0 x 0 x 0 x x y o 几何意义几何意义 如果函数如果函数f(x)当当xx0时极限为时极限为A,以任意给定一以任意给定一 正数正数,作两条平行于作两条平行于x轴的直线轴的直线y=A+和和y=A-,存在点存在点x0的的 邻域邻域(x0-, x0+),当当x在邻域在邻域(x0-, x0+)内内,但但xx0时时,曲线曲线 y=f(x)上的点

7、上的点(x,f(x)都落在两条平行线之间。都落在两条平行线之间。 第9页/共16页 .lim 0 CC xx .lim 0 0 xx xx 例例1 1,lim 0 CC xx 证明证明 (C为常数为常数) 证证 , 0 , 0 当当 时时, 0 0 xx Axf )(CC 0 成立成立, 例例2 2.lim 0 0 xx xx 证明证明 证证,)( 0 xxAxf , 0 , 取取 0 0 xx当当 时时, 0 )(xxAxf 成立成立, 第10页/共16页 证证 函数在点函数在点x= =1处没有定义处没有定义. . , 0 2 1 1 )( 2 x x Axf1 x . 2 1 1 lim

8、2 1 x x x 例例3 3. 2 1 1 lim 2 1 x x x 证明证明 ,)( Axf要使要使, 只要取只要取 0 0 xx当当 时时,2 1 1 2 x x 就有就有 第11页/共16页 .lim 0 0 xx xx 证证 0 )(xxAxf 0 0 xx xx , 0 0 x xx 例例4 4 .lim 0 0 xx xx 0 0 x当当 时时, , 0 ,)( Axf要使要使 ,min 00 xx 取取 , 0 xx当当 时时, 就有就有 0 0 xx 只要只要 且不取负值且不取负值. 00 xxx 第12页/共16页 结论结论: 函数函数f(x)当当xx0时极限存在的时极限

9、存在的充分必要条件充分必要条件是左极是左极 限与右极限均存在且相等，即限与右极限均存在且相等，即 左极限和右极限左极限和右极限 当自变量当自变量x从从x0的左的左(或右或右)侧趋于侧趋于x0时，函数时，函数f(x)有极限有极限A ，则称，则称A为函数为函数f(x)当当xx0时的时的左左(右右)极限极限，记作，记作 Axf xx xx )(lim )0( 0 0 0 或或)0( )0( 00 AxfAxf Axf xx )(lim 0 Axfxf )0()0( 00 第13页/共16页 例例5 5 函数函数 0 , 1 0 , 0 0 , 1 )( xx x xx xf 当当 时时 的极限不存在的极限不存在.0 x )(xf 证证 当当 时时 的左极限的左极限0 x )(xf , 1)1(lim)(lim 00 xxf xx 而右极限而右极限 , 1)1(lim)(lim 00 xxf xx 因为左极限和右极限存在但不相等因为左极限和右极限存在但不相等,所以所以 不存在不存在. )(lim 0 xf x y Ox 1 xy 1 xy -1 1 第14页/共16页 小结小结 注：分段函数分点处的极限，要分别求左