数学期望带编号PPT学习教案

1、会计学1 数学期望带编号数学期望带编号 2 4.1 数学期望 Mathematical Expectation 一. 定义 9085 280 27560 7 12211 9085807560 77777 79.3 以频率为权重的加权平均 例如：某7人的高数成绩为90，85，85，80，80， 75，60，则他们的平均成绩为 1. 引例 第1页/共26页 3 ( ); kk k E Xp x (), 1,2, kk pP Xxk 1).离散型随机变量,X, 分布律 2. 定义 若级数 绝对收敛, 则称级数为随机变量X的数学期望，记作E(X)，即 kk k p x () ( ).E Xx f x

2、dx 2). 连续型随机变量, X, 密度函数 f(x), 若广义积分 绝对收敛, 则称积分为 X的数学期望, 记作E(X). ( )xf x dx 第2页/共26页 4 数学期望的意义 试验次数较大时，X 的观测值的算术平均值 在E(X)附近摆动 x ()xE X 数学期望又可以称为期望值(Expected Value)， 均值(Mean) E(X)反映了随机变量X 取值的“概率平均”,是X 的 可能值以其相应概率的加权平均。 第3页/共26页 5 二. 数学期望的计算 1. 一维离散型随机变量 ( ),X ();E X 例4.2 参数为p的几何分布, ;(/)1E Xp 例4.3 ( ,

3、),XB n p();E Xnp P136-2 利用公式求级数的和. 第4页/共26页 6 如 则 ( )X ()E X () ! k P Xke k 分布律 数学期望 1 01 () !(1)! kk kk E Xkee kk (1)kt 0 ! t t ee e t 1). 泊松分布, 例4.2. 第5页/共26页 7 (1) iini n P XiCpp 2).二项分布的数学期望 分布律 X服从二项分布，其概率分布为 数学期望 特别的, X 服从0-1分布，即XB(1, p), 则 ()0 (1)1.E Xppp 第6页/共26页 8 练习题 第7页/共26页 9 练习 独立地操作两台仪

4、器，他们发生故障的概率分别为p1和p2.证明：产生故障的仪器数目的数学期望为 p1 + p2. 设产生故障的仪器数目为X 则X的所有可能取值为0, 1, 2. 解 12 (0)(1- )(1- ),P Xpp 1212 (1) (1- ) (1- ) ,P Xpppp 12 (2) ,P Xp p 121212 () (1- ) (1- ) 2 E Xppppp p 12 .pp 所以 第8页/共26页 10 2.一维连续型随机变量 利用公式求一元函数的广义积分. 练习题 第9页/共26页 11 已知随机变量X 的密度函数为 例 2 1 1 ( )1 01 x f xx x ()( )E Xx

5、f x dx 求数学期望。 解 11 211 1 00 1 0 xdxxdxxdx x 第10页/共26页 12 第11页/共26页 13 第12页/共26页 14 练习 第13页/共26页 15 ,02, ,2 0 4, , axx f xcxbx otherwise 2,E X 例. 设X 的密度函数为 求a, b, c. 133/ 4,PX 1( )226 ,f x dxabc 2()8 / 3656 / 3,E Xabc 3/ 4133 / 25 / 2,PXabc 1/ 4, 1, 1/ 4. a b c 第14页/共26页 16 3.二维随机变量的数学期望 # (X,Y)为二维离散

6、型随机变量 . () iiiiiij iiij E Xx P Xxx px p . ( ) jjjjjij jjji E Yy P Yyy py p () ( ) ( ,), X E Xx fx dxx f x y dxdy ( ) ( ) ( ,). Y E Yy fy dyy f x y dxdy # (X,Y)为二维连续型随机变量 1). 定义 第15页/共26页 17 设(X,Y)的联合密度为 例 ,0,1,1,3, ( , ) 0,. kxyxy f x y otherwise (1) 求k; (2) 求X和Y的边缘密度; (3) 求E(X), E(Y). 第16页/共26页 18

7、1 421 2 kk 1 2 k ( )( , ) X fxf x y dy 3 1 1 2 2 xydyx 2 ,0,1, ( ) 0,. X xx fx otherwise ( , )1f x y dxdy (1)由 解 31 10 kydyxdx 所以 所以 得 1 1 3 0,1x (2) 第17页/共26页 19 ( )( , ) Y fyf x y dx 1 0 11 24 xydxy ,1,3, ( )4 0, y y y fy otherwise ()( ) X E Xxfx dx （） ()( ) Y E Yyfy dy 1 0 2 2 3 xxdx 3 1 13 46 y

8、ydy 1,3y 1 1 3 第18页/共26页 20 1 1 3 ()( ,)E Xxf x y dxdy （）另解 1 0 2 2 3 xxdx 3 1 13 46 y ydy 13 01 1 2 dxxxydy ()( ,)E Yyf x y dxdy 31 10 1 2 dyyxydx 无需求 边缘分布密度函数 第19页/共26页 21 例4.8 考虑用验血的方法在人群中普查某种疾病。集体做法是每10个 人一组，把这10个人的血液样本混合起来进行化验。如果结果 为阴性，则10个人只需化验1次；若结果为阳性，则需对10个 人在逐个化验，总计化验11次。假定人群中这种病的患病率是 10%，

9、且每人患病与否是相互独立的。试问：这种分组化验的 方法与通常的逐一化验方法相比，是否能减少化验次数？ 分析： 设随机抽取的10人组所需的化验次数为X, 我们需要计算X 的数学期望，然后与10比较. 4. 应用题 第20页/共26页 22 化验次数X 的可能取值为1, 11. 先求出化验次数X 的分布律。 (X =1)=“10人都是阴性” (X =11)=“至少1人阳性” 结论： 分组化验法的次数少于逐一化验法的次数 注意求 X期望值的步骤！ 1010 1(1 0.1)0.9P X 10 111 0.9P X 1010 () 0.91 (1 0.9 ) 117.51310E X 第21页/共26页 23 1、概率p 对是否分组的影响 问题的进一步讨论 若p=0.2，则 当p0.2057时，E(X)10. () 0.91 (1 0.9 ) 11 10 nn E X 1010 () 0.81 (1 0.8 ) 119.9262E X 2、概率p对每组人数n的影响 21.86n 当p=0.2时，可得出n10.32，才能保证 E(X)10. 当p=0.1时，为使 第22页/共26页 24 第23页/共26页 25 产品寿命的数学期望 第24页/共26页 26 5. 随机变量的数学期望不存在的例子 1