换元法与分部积分法PPT学习教案

1、会计学1 换元法与分部积分法换元法与分部积分法 根据根据 微积分基本公式微积分基本公式 定积分法定积分法 ， 不定积分法不定积分法 且使用方法与相应的不定积分法类似且使用方法与相应的不定积分法类似 。 2/25 第1页/共29页 一、换元公式一、换元公式 , 1 ,ba Cf ）设（设（ dxxxf)()( )1(则则有有 , 2 , 1 C ）（ . ,) , ( , 3ba 上单调且上单调且在在）（ )()( xdxf )( )( )( )( duuf xu b a duuf )(或或 a b duuf ; )( b a tx dxxf )( )( )2( )( )( 1 1 )()( b

2、 a tdtf 或或 )()(dtttf . )()(dtttf 定理定理 3/25 第2页/共29页 证证 设设)(xF是是)(xf的的一一个个原原函函数数， );()()( aFbFdxxf b a 则则 ),()( tFt 令令 dt dx dx dF t )( 则则)()(txf ),()(ttf )()()()( dtttf )(t 是是)()(ttf 的的一一个个原原函函数数. )()( FF )()(aFbF b a dxxf)( 或或)()(bFaF a b dxxf.)( 证证毕毕 4/25 第3页/共29页 注意注意: （2）不引入新的变量记号，积分限不变；引入新的不引入新

3、的变量记号，积分限不变；引入新的 变量记号，积分限跟着变变量记号，积分限跟着变。 例例1 1 2 0 5 sincos xdxx xu cos 1 0 6 6 u . 6 1 0 1 5du u 2 0 5 sincos xdxx或或 为为积积分分变变量量以以xcos 2 0 5 coscos xxd 2 0 6 |cos 6 1 x . 6 1 （1）换元前后换元前后，上限对上限上限对上限、下限对下限下限对下限； 5/25 第4页/共29页 例例2 2 0 53 sinsindxxx 0 2 3 sincosdxxx 变变形形 去去绝绝对对值值 2 2 3 sincosdxxx 2 0 2

4、3 sinsin xdx 凑分凑分 2 2 3 sinsinxdx 2 0 2 5 sin 5 2 x 2 2 5 sin 5 2 x. 5 4 2 0 2 3 sincos dxxx 6/25 第5页/共29页 例例3 3 4 3 )ln1(ln e e xxx dx 凑分凑分 4 3 )ln1(ln )(lne e xx xd 4 3 2 )ln(1 ln 2 e e x xd 4 3 )lnarcsin(2 e e x . 6 4 3 )ln1(ln )(ln e e xx xd 7/25 第6页/共29页 例例4 4 a adx xax 022 )0( 1 去根式去根式 0, ,sin

5、 2 ttax 2 0 cossin cos dt tt t 2 0 cossin )sin(cos)cos(sin 2 1 dt tt tttt 2 0 cossinln 2 1 22 1 tt. 4 2 022 )sin1(sin cos dt tata ta 2 0 cossin sincos 1 2 1 dt tt tt 8/25 第7页/共29页 例例 5 5 证明：设证明：设)(xf在在,aa 上连续，上连续， 若若)(xf为偶函数，则为偶函数，则 a a a dxxfdxxf 0 )(2)(； 若若)(xf为奇函数，则为奇函数，则 a a dxxf0)(. 证证,)()()( 0

6、 0 a a a a dxxfdxxfdxxf 0 )( a tx dttf a dxxf 0 )( a dxxf 0 )( a dxxf 0 )( a dxxfxf 0 )()( 为为偶偶函函数数；)( ,)(2 0 xfdxxf a 为为奇奇函函数数。)( , 0 xf 证证毕毕。 9/25 第8页/共29页 奇函数奇函数 例例6 6 计算计算 解解 . 11 cos2 1 1 2 2 dx x xxx 原式原式 1 1 2 2 11 2 dx x x 1 1 2 11 cos dx x xx 偶函数偶函数 1 0 2 2 11 4dx x x 1 0 2 22 )1(1 )11( 4dx

7、 x xx 1 0 2 )11(4dxx 1 0 2 144dxx .4 单位圆的面单位圆的面 积积 10/25 第9页/共29页 例例 7 7 若若)(xf在在1 ,0上上连连续续，证证明明 （1） 22 00 )(cos)(sindxxfdxxf; （2） 00 )(sin 2 )(sindxxfdxxxf. 由由此此计计算算 0 2 cos1 sin dx x xx . 证证（1） 2 0 )(sindxxf 0 2 22 sin dttf tx 2 0 )(cosdttf;)(cos 2 0 dxxf 11/25 第10页/共29页 （2） 0 )(sindxxxf tx 0 )(si

8、n)(dttft 0 )sin()( dttft 0 )(sindttf 0 )(sindtttf .)(sin 2 )(sin 00 dxxfdxxxf 0 2 cos1 sin dx x xx 0 2 cos1 sin 2 dx x x 0 2 )(cos cos1 1 2 xd x 0 )arctan(cos 2 x . 4 2 12/25 第11页/共29页 * *例例8 8 计算计算 解解 . tan1 1 2 0 2002 dx x I xu I 2 )( cot1 1 0 2 2002 du u 2 0 2002 cot1 1 du u 2 0 2002 tan/11 1 dx

9、x 2 0 2002 2002 tan1 tan dx x x 2 0 2002 2002 tan1 1)1(tan dx x x . 4 I I 2 13/25 第12页/共29页 0 ( ) , ( )( ) a TT a f xT a f x dxf x dx 例例 证证明明若若是是一一个个以以 为为周周期期的的 连连续续函函数数 则则对对任任意意的的实实数数有有 2 2 222 2 00 2 sin2sin4sinxdxxdxxdx 00 ( )( )() nTT f x dxnf x dxn 为为正正整整数数 推论：推论： 第13页/共29页 ,利利用用定定积积分分的的换换元元法法

10、可可以以证证明明： 1. ; 连续的奇函数原函数必为连续的奇函数原函数必为 偶函数偶函数 2. ; 连续的偶函数原函数仅有连续的偶函数原函数仅有 一个为奇函数一个为奇函数 ;dxxc 但周期函数原函数不一定是但周期函数原函数不一定是 周期函数 如 非周期周期函数 如 非周期 第14页/共29页 ，、设设 , 1 )()( baCxvxu 二、分部积分公式二、分部积分公式 则则 b a dxxvxu )()( 微微积积分分基基本本公公式式 b a dxxvxu )()( 不不定定积积分分的的分分部部积积分分法法 b a dxxvxuxvxu )()()()( b a b a dxxvxuxvxu

11、 )()( )()( 微积分基本公式微积分基本公式 b a b a dxxvxuxvxu. )()( )()(得得 分部积分公式分部积分公式 ，、设设 , 1 )()( baCxvxu 则则 b a dxxvxu )()( b a xvxu)()( b a dxxvxu . )()( 14/25 第15页/共29页 定积分的分部积分公式的用法与不定积分的分定积分的分部积分公式的用法与不定积分的分 部积分公式的用法类似部积分公式的用法类似。 例例9 9 计算计算.arcsin 2 1 0 xdx 解解 2 1 0 arcsin xdx 2 1 0 arcsin xx 2 1 0 2 1x xdx

12、 62 1 1 2 为积分变量为积分变量换元：以换元：以x )1( 1 1 2 1 2 0 2 2 1 xd x 12 2 1 0 2 1x . 1 2 3 12 消反三角函数，可用分部积分法。消反三角函数，可用分部积分法。 15/25 第16页/共29页 另解另解 2 1 0 arcsinxdx 6 0 sin tt 分分部部积积分分 6 0 sin tdt 2 1 6 6 0 cos t . 1 2 3 12 6 0sin arcsin sin tdt tx xt 则则 换换元元： 例例9 9 计算计算.arcsin 2 1 0 xdx 16/25 第17页/共29页 例例 1010 4

13、0 2cos1 x xdx 半半角角公公式式 xd x tan 2 4 0 分分部部积积分分 4 0 tan 2 1 xxxdxtan 2 1 4 0 4 0 secln 2 1 8 x. 4 2ln 8 4 0 2 cos2 x xdx 17/25 第18页/共29页 例例1111 1 0 2 )2( )1ln( dx x x 1 0 2 1 )1ln( x dx 1 0 2 )1ln( x x 1 0 )1ln( 2 1 xd x 3 2ln dx xx 1 0 1 1 2 1 xx 2 1 1 1 1 0 )2ln()1ln( 3 2ln xx . 3ln2ln 3 5 18/25 第1

14、9页/共29页 例例1212 求求 2 0 2 .cos xdxe x 2 0 2 cos xdxe x 2 0 2 sin xde x 2 0 2 sin xe x 2 0 2 sin x xde 2 0 2 sin2 xdxee x 2 0 2 cos2 xdee x 2 2 0 2 0 2 )cos cos(2 xx xdexee 2 0 2 cos42 xdxee x ).2( 5 1 cos 2 0 2 exdxe x 解解 19/25 第20页/共29页 例例1313 求求及及 sin 2 0 xdxI n n 解解 2 0 sin dxx n 2 0 cos xdxI n n t

15、x 2 0 2 cos dtt n 2 0 cos tdt n . n n II ，又又 2 0 I; 1 1 I 分分部部积积分分 n I xxd n oscsin 2 0 1 2 2 0 1 0 1 sincos cossin xxdxx nn 时时 2 n 0 20/25 第21页/共29页 2 0 22 cossin)1( xdxxn n nnn InInI)1()1( 2 2 1 nn I n n I得递推公式得递推公式 )( n n II 为为偶偶数数；n n n , 2! ! !)!1( 为为奇奇数数。n n n , ! ! !)!1( ) 2 31 ( 4 n I n n n

16、n x 2 sin1 21/25 第22页/共29页 * *例例1414 设设 求求 解解 2 1 , sin )( x dt t t xf.)( 1 0 dxxxf 因为因为 t tsin 没有初等形式的原函数（没有初等形式的原函数（积分正弦积分正弦)， 无法直接求出无法直接求出)(xf，所以采用分部积分法，所以采用分部积分法 1 0 )(dxxxf 1 0 2 )()( 2 1 xdxf 1 0 2 )( 2 1 xfx 1 0 2 )( 2 1 xdfx )1( 2 1 f 1 0 2 )( 2 1 dxxfx 1 0 2 2 2 2 sin 2 1 dxx x x x 1 0 22 )

17、(sin 2 1 xdx 1 0 2 cos 2 1 x ).11(cos 2 1 1 0 2 sin2 2 1 dxxx 22/25 第23页/共29页 三、小结三、小结 1、使用定积分的换元法时要注意积分限的对、使用定积分的换元法时要注意积分限的对 应。应。 3、定积分分部积分公式的用法与不定积分分、定积分分部积分公式的用法与不定积分分 部积分公式的用法类似。部积分公式的用法类似。 2、不引入新的变量记号，积分限不变；引入 新的变量记号，积分限跟着变。 23/25 第24页/共29页 *思考思考 题题 指出求指出求 2 2 2 1xx dx 的解法中的错误，并写出正确的解的解法中的错误，并写出正确的解 法法. 解解 令令,sectx , 4 3 3 2 : t,sectantdttdx 2 2 2 1xx dx tdtt tt tansec tansec 1 4 3 3 2 dt 4 3 3