微分法的几何应用65091PPT学习教案

1、会计学1 微分法的几何应用微分法的几何应用65091 设设空空间间曲曲线线为为 L： )( )( )( tzz tyy txx ，且且)(tx、)(ty、)(tz可可微微。 当当 tt 及及ttt 时时，L 上上对对应应的的两两点点为为 ),( zyxM，及，及),(zzyyxxM ， 则割线则割线MM的方程为的方程为 z zz y yy x xx 上上式式分分母母除除以以t ，得得 t z zz t y yy t x xx ， 第1页/共20页 切切线线的的方方向向向向量量 )( ),( ),( tztytxa 。 当当点点 MM时时，有有0 t，对对上上式式取取极极限限，得得 )()()(

2、 tz zz ty yy tx xx 故曲线故曲线处处的的法法平平面面方方程程在在点点 ML为为 . 0)()( )( zztzyytyxxtx 第2页/共20页 例例 1求求螺螺旋旋线线 2 sin2 cos2 tz ty tx 上上对对应应于于 4 t的的点点 M 处处的的切切线线 与与法法平平面面方方程程。 解解：当当 4 t时时，点点 M 的的坐坐标标为为) 4 2 ,2 ,2( 。 螺旋线在点螺旋线在点 M 处的切线方程为处的切线方程为 2 4 2 2 2 2 2 z yx ， 即即 1 4 2 1 2 1 2 z yx ； ttxsin2)( ，ttycos2)( ，2)( t z

3、， 2) 4 ( x ，2) 4 ( y ，2) 4 ( z ， 第3页/共20页 螺旋线在点螺旋线在点 M 处的法平面方程为处的法平面方程为 0) 4 2 (2)2(2)2(2 zyx， 即即02444 zyx。 注注： （1）只只要要与与 )( ),( ),( tztytx 成成比比例例的的向向量量均均 可可作作为为切切线线的的方方向向向向量量。 （2）若曲线方程为）若曲线方程为)(xyy ，)(xzz ，则以，则以 x 为为参数，参数， 曲线曲线),( zyxM处的切线方程处的切线方程 )()(1 xz zz xy yyxx 。 第4页/共20页 例例 2求求曲曲线线 L： 2 2 12

4、 16 xz xy 在在对对应应于于 2 1 x的的点点处处 M 的的切切线线方方程程与与法法平平面面方方程程。 解：以解：以 x 为为参数，得曲线参数，得曲线 L 的参数方程：的参数方程： 2 2 12 16 xz xy xx ， 当当 2 1 x时时，点点 M 的的坐坐标标为为)3 , 4 , 2 1 (。 1) 2 1 ( x ，16) 2 1 ( y ，12) 2 1 ( z ， 曲线在点曲线在点 M 处的切线方程为处的切线方程为 12 3 16 4 1 2 1 zy x ； 法法平平面面方方程程为为0)3(12)4(16) 2 1 ( zyx， 即即020124322 zyx。 第5

5、页/共20页 例例 3求求抛抛物物柱柱面面 2 xz 及及圆圆柱柱面面1 22 yx相相交交所所成成的的 空空间间曲曲线线在在) 25 9 , 5 4 , 5 3 ( M处处的的切切线线方方程程和和法法平平面面方方程程。 解解：曲曲线线的的参参数数方方程程为为 2 cos sin cos z y x ， 则则 sin)(x， cos)(y， cossin2)(z， 点点 M对应于对应于 5 3 arccos ， 故故 5 4 )( x， 5 3 )( y， 25 24 )( z， 第6页/共20页 切切线线的的方方向向向向量量为为24 ,15 ,20 25 1 25 24 , 5 3 , 5

6、4 ， 故切线方程为故切线方程为 24 25 9 15 5 4 20 5 3 zyx ， 法法平平面面方方程程为为0) 25 9 (24) 5 4 (15) 5 3 (20 zyx， 即即0 25 216 241520 zyx。 第7页/共20页 注注:(3).空间曲线方程空间曲线方程 为为 , 0),( 0),( zyxG zyxF 切线方程为切线方程为 , 0 0 0 0 0 0 yx yx xz xz zy zy GG FF zz GG FF yy GG FF xx 法平面方程法平面方程 为为 . 0)()()( 0 0 0 0 0 0 zz GG FF yy GG FF xx GG F

7、F yx yx xz xz zy zy 确定确定 y=y(x),z=z(x). 曲线切线的方向向量为曲线切线的方向向量为: 1, y (x) , z (x)0 , 曲线方曲线方 程程 两边对两边对x求偏导后可得到求偏导后可得到: 第8页/共20页 定义定义 2 若曲面若曲面上过上过 点点 M的任意一条光滑的任意一条光滑 曲线曲线处的处的在点在点 M 切线切线 都在同一个平面上，则都在同一个平面上，则 称该平面为称该平面为 曲面曲面在点在点 M处的处的切平面切平面，过点，过点 M且垂直于切平面的直线称为曲面且垂直于切平面的直线称为曲面处的处的在点在点 M 法线法线。 T n x y z o L

8、M 8.8.2曲面的切平面与法线曲面的切平面与法线 第9页/共20页 )( )( )( tzz tyy txx ， tt) , ,( zyxM。 设曲面设曲面的方程为的方程为0),( zyxF， ) , ,( zyxM， 并设函数并设函数),(zyxF的偏导数在该点连续且不同时为零。的偏导数在该点连续且不同时为零。 过点过点 M任作一条位于任作一条位于上的上的 光滑曲线光滑曲线 L，设其方程为，设其方程为 L， 0)(),(),( tztytxF， 有有 0)(),(),( tt tztytxF dt d ， 第10页/共20页 即即0)()()()()()( tzMFtyMFtxMF zyx

9、 ， 令令)(),(),( MFMFMFn zyx ， )(),(),( tztytxa ， 则则0 an ，故，故an 。 由于由于 MLa 在点在点为曲线为曲线处的切线的方向向量，而曲线处的切线的方向向量，而曲线 L 是是 曲曲面面上任意一条上任意一条 M 过点过点的曲线，因此上式表明，的曲线，因此上式表明， M 过点过点的任一位于的任一位于 曲曲面面上的曲线上的曲线 M 在点在点的切线都与的切线都与 n 垂直，因而它们都在垂直，因而它们都在为为以以过点过点 nM 法向量的同一平面法向量的同一平面 内，该平面即为内，该平面即为处处在点在点曲面曲面 M 的切平面，且其方程为的切平面，且其方程

10、为 第11页/共20页 曲面曲面在点在点) , ,( zyxM处的法线方程为处的法线方程为 )()()( MF zz MF yy MF xx zyx 。 0)()()( zzMFyyMFxxMF zyx ， 第12页/共20页 例例 4求求圆圆锥锥面面 22 yxz 在在点点 M（3，4，5）处处的的 切切平平面面及及法法线线方方程程。 解解：设设 22 ) ,(yxyxfz ， 则则 22 ) ,( yx x yxfx ， 22 ) ,( yx y yxf y ， 5 3 )4 , 3( x f， 5 4 )4 , 3( y f， 圆圆锥锥面面在在点点 M 处处的的切切平平面面方方程程为为

11、)4( 5 4 )3( 5 3 5 yxz，即即0543 zyx。 第13页/共20页 圆圆锥锥面面在在点点 M 处处的的法法线线方方程程为为 1 5 5 4 4 5 3 3 zyx ， 即即 5 5 4 4 3 3 zyx 。 第14页/共20页 例例 5问问球球面面104 222 zyx上上哪哪一一点点的的切切平平面面与与 平平面面243 zyx平平行行？并并求求此此切切平平面面方方程程。 解：解： 令令104) , ,( 222 zyxzyxF， 则则xFx2 ，yFy2 ，zFz2 ， 设切点为设切点为) , ,( zyxM，则该点处切平面的法向量为，则该点处切平面的法向量为 , ,2

12、2 ,2 ,2 zyxzyxn ， 切切平平面面与与平平面面243 zyx平平行行， 它它们们的的法法向向量量平平行行， 第15页/共20页 点点) , ,( zyxM在在球球面面104 222 zyx上上， 104 222 zyx， 即即104169 222 zzz， 解解得得2 z，6 x，8 y， 143 zyx ， 解解得得 zx3 ， zy4 ， 相应的切平面方程为相应的切平面方程为 0)2()8(4)6(3 zyx， 或或0)2()8(4)6(3 zyx。 即即05243 zyx或或05243 zyx。 切切点点为为)2 , 8 , 6( M或或)2 , 8 , 6( M， 第16

13、页/共20页 例例 6设设),(vuF可可微微，试试证证曲曲面面0),( bzcyazcxF上上各各点点 的的法法向向量量总总垂垂直直于于常常向向量量 , ,cbaA 。 2121 0 bcFacFbcFacFAn ， 证证明明：设设),(),(bzcyazcxFzyx ， 则曲面在任一点处的法向量为则曲面在任一点处的法向量为 , , , , 2131 bFaFcFcFn zyx ， 第17页/共20页 例例 7求求曲曲线线 04532 03 222 zyx xzyx 在在点点)1 , 1 , 1(处处的的 切切线线方方程程与与法法平平面面方方程程。 所求切线的方向向量所求切线的方向向量1 , 9 ,16 21 nna ， 法平面方程为法平面方程为0)1()1(9)1(16 zyx， 即即024916 zyx。 解：曲面解：曲面03 222 xzyx在点在点)1 , 1 , 1(处的法向量为处的法向量为 2 ,