广义积分反常积分PPT学习教案

1、会计学1 广义积分反常积分广义积分反常积分 a dxxf)( b a b dxxf)(lim )(xfy b 问问: f(x)在在 (- b上的反常上的反常 积分如何计算？积分如何计算？ 第1页/共24页 类似地，设函数类似地，设函数)(xf在区间在区间,(b上连续，取上连续，取 ba ，如果极限，如果极限 b a a dxxf)(lim存在，则称此极存在，则称此极 限为函数限为函数)(xf在无穷区间在无穷区间,(b上的广义积上的广义积 分，记作分，记作 b dxxf)(. . b dxxf)( b a a dxxf)(lim 当当极极限限存存在在时时，称称广广义义积积分分收收敛敛；当当极极限

2、限不不存存在在 时时，称称广广义义积积分分发发散散. . 第2页/共24页 设设函函数数)(xf在在区区间间),( 上上连连续续, ,如如果果 广广义义积积分分 0 )(dxxf和和 0 )(dxxf都都收收敛敛，则则 称称上上述述两两广广义义积积分分之之和和为为函函数数)(xf在在无无穷穷区区间间 ),( 上上的的广广义义积积分分，记记作作 dxxf)(. . dxxf)( 0 )(dxxf 0 )(dxxf 0 )(lim a a dxxf b b dxxf 0 )(lim 极限存在称广义积分收敛；否则称广义积分发散极限存在称广义积分收敛；否则称广义积分发散. . ?)( dxxf 第3页

3、/共24页 例例1 1 计算广义积分计算广义积分 . 1 2 x dx 解解 2 1x dx 0 2 1x dx 0 2 1x dx 0 2 1 1 lim a a dx x b b dx x 0 2 1 1 lim 0 arctanlim a a x b b x 0 arctanlim a a arctanlim b b arctanlim . 22 第4页/共24页 例例2 2 计算广义积分计算广义积分 解解 . 1 sin 1 22 dx xx 2 1 sin 1 2 dx xx 2 11 sin x d x b b x d x 2 11 sinlim b b x 2 1 coslim

4、2 cos 1 coslim b b . 1 第5页/共24页 证证 a pxdx e b a px b dxelim b a px b p e lim p e p e pbpa b lim 0, p p e ap 即即当当0 p时时收收敛敛，当当0 p时时发发散散. p0时时,是是 指数衰减函数指数衰减函数 px ey 0, p 第6页/共24页 证证, 1)1( p 1 1 dx x p 1 1 dx x 1 ln x , , 1)2( p 1 1 dx x p 1 1 1p x p 1, p 因此当因此当1 p时广义积分收敛，其值为时广义积分收敛，其值为 1 1 p ； 当当1 p时广义

5、积分发散时广义积分发散. 1, 1 1 p p 第7页/共24页 b a dxxf)( b a dxxf )(lim 0 )(xfy a 瑕点瑕点 问问: f(x)在在a b)上的反常上的反常 积分如何计算？积分如何计算？ b a dxxf)(lim 0 b 第8页/共24页 当当极极限限存存在在时时，称称广广义义积积分分收收敛敛；当当极极限限不不存存在在 时时，称称广广义义积积分分发发散散. . )(xfy b 第9页/共24页 设设函函数数)(xf在在区区间间,ba上上除除点点)(bcac 外外连连 续续，而而在在点点c的的邻邻域域内内无无界界. .如如果果两两个个广广义义积积分分 c a

6、 dxxf)(和和 b c dxxf)(都都收收敛敛，则则定定义义 b a dxxf)( c a dxxf)( b c dxxf)( 否否则则，就就称称广广义义积积分分 b a dxxf)(发发散散. . 定义中定义中c为为瑕点瑕点，以上积分称为，以上积分称为瑕积分瑕积分. 第10页/共24页 例例5 5 计算广义积分计算广义积分 解解 ).0( 0 22 a xa dx a , 1 lim 22 0 xa ax ax 为为被被积积函函数数的的无无穷穷间间断断点点. a xa dx 0 22 a xa dx 0 22 0 lim a a x 0 0 arcsinlim 0arcsinlim 0

7、 a a . 2 a 第11页/共24页 例例 6 6 证证明明广广义义积积分分 1 0 1 dx x q 当当1 q时时收收敛敛，当当 1 q时时发发散散. 证证, 1)1( q 1 0 1 dx x 1 0 ln x , , 1)2( q 1 0 1 dx x q 1 0 1 1 q x q 1, 1 1 1, q q q 因因此此当当1 q时时广广义义积积分分收收敛敛，其其值值为为 q 1 1 ； 当当1 q时时广广义义积积分分发发散散. 1 0 1 dx x q 第12页/共24页 问：问： 1 1 2 1 dx x 1 1 1 x 211 是否正确？是否正确？ 由于 1) 1 (li

8、m 1 1 0 0 1 0 1 2 xx dx xx 解解 解 在区间1 1上 x0 为函数 2 1 x 的瑕点 即反常积分 0 1 2 1 dx x 发散 所以反常积分发散 所以反常积分 1 1 2 1 dx x 发散 0 1 2 0 1 limdx x 1 0 1 lim x ) 1 1 (lim 0 第13页/共24页 例例7 7 计算广义积分计算广义积分 解解 . ln 2 1 xx dx 2 1 ln xx dx 2 1 0 ln lim xx dx 2 1 0 ln )(ln lim x xd 2 1 0 )ln(lnlim x )1ln(ln()2ln(lnlim 0 . 故原广

9、义积分发散故原广义积分发散. 第14页/共24页 例例8 8 计算广义积分计算广义积分 解解 . )1( 3 03 2 x dx 1 x瑕瑕 点点 3 0 3 2 )1(x dx 1 0 3 1 3 2 3 2 )1()1(x dx x dx 1 0 3 2 )1(x dx 1 0 03 2 )1( lim x dx 3 3 1 3 2 )1(x dx 3 10 3 2 )1( lim x dx , 23 3 3 0 3 2 )1(x dx ).21(3 3 第15页/共24页 思考题解答思考题解答 积分积分 可能的瑕点是可能的瑕点是 1 0 1 ln dx x x 1, 0 xx 1 ln

10、lim 1 x x x , 1 1 lim 1 x x 1 x 不是瑕点不是瑕点, 1 0 1 ln dx x x 的瑕点是的瑕点是. 0 x 0 0 思考题思考题 积分积分 的瑕点是哪几点？的瑕点是哪几点？ 1 0 1 ln dx x x 第16页/共24页 例例9 9 . 123 )2(; 94 )1( : 2 1 2 2 xxx dx xx dx 求下列广义积分求下列广义积分 解解 (1) 0 2 0 2 9494xx dx xx dx 原式原式 b baa x dx x dx 0 2 0 2 5)2( lim 5)2( lim b b a a xx 0 0 5 2 arctan 5 1

11、 lim 5 2 arctan 5 1 lim . 5 第17页/共24页 (2), 123 1 lim)(lim 2 11 xxx xf xx .)(1的瑕点的瑕点为为xfx 2 1 2 0 123 lim xxx dx 原式原式 ) 1 1(2 ) 1 1( lim 2 1 22 0 x x d 2 1 0 2 1 1 arcsinlim x . 4 3 arcsin 2 . 123 )2( : 2 12 xxx dx 求广义积分求广义积分 第18页/共24页 无界函数的广义积分（无界函数的广义积分（瑕积分瑕积分） 无穷限的广义积分无穷限的广义积分 dxxf)( b dxxf)( a dx

12、xf)( c a b c b a dxxfdxxfdxxf)()()( （注意注意：不能忽略内部的瑕点）：不能忽略内部的瑕点） b a dxxf)( 第19页/共24页 一、一、 填空题：填空题： 1 1、 广义积分广义积分 1 p x dx 当当_时收敛；当时收敛；当_时时 发散；发散； 2 2、 广义积分广义积分 1 0 q x dx 当当_时收敛；当时收敛；当_时发时发 散；散； 3 3、 广义积分广义积分 2 )(ln k xx dx 在在_时收敛； 在时收敛； 在_ 时发散；时发散； 4 4、广广义义积积分分 dx x x 2 1 = =_ _ _ _ _； 练练 习习 题题 1 q

13、 1 p1 p 1 q 第20页/共24页 5 5、 广广义义积积分分 1 0 2 1x xdx _ _ _ _ _ _ _ _ _； 6 6、 广广义义积积分分 x dttf)(的的几几何何意意义义是是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _. . 二二、 判判别别下下列列各各广广义义积积分分的的收收敛敛性性，如如果果收收敛敛，则则计计 算算广广义义积积分分的的值值： 1 1、 0 coshtdte pt )1( p； 2 2、 22 2 xx dx ； 3 3、 0 dxe

14、x xn （为为自自然然数数n） ；4 4、 2 0 2 )1(x dx ； 第21页/共24页 5 5、 2 1 1x xdx ； 6 6、 0 22 )1( ln dx x xx ； 7 7、 1 0 ln xdx n . . 三、三、 求当求当为何值时为何值时k，广义积分，广义积分)( )( ab ax dx b a k 收敛？又收敛？又为何值时为何值时k，这广义积分发散？，这广义积分发散？ 四、四、 已知已知 x xx x xf 2,1 20, 2 1 0,0 )(，试用分段函数表示，试用分段函数表示 x dttf)( . . 第22页/共24页 一、一、1 1、1, 1 pp；2 2、1,1 qq； 3 3、1,1 kk； 4 4、发散；、发散； 5 5、1 1； 6 6、过点、过点轴轴平行于平行于 yx的直的直 线左边线左边, ,曲线曲线 )(xfy 轴