解三角形题型总结(原创)

1、解三角形题型总结AABC中的常见结论和定理: 一、 角和定理及诱导公式：1. 因为 A + B + C = 7T9 所以 sin(A + B) = sin C, sin(A + C) = sin B、 sin(B + C) = sin A, cos(A + 3) = cos C, cos(4 + C) = -cos B、 cos(B + C) = -cos A. tan(A + 3) = tan C ； tan(71 + C) = tan B : tan(B + C) = tan A因为A+B+C n2I所以sin2A + B . Ccos= sin 2 22. 大边对大角3. 在ZkABC

2、中，熟记并会证明 tanA+tanB+tanC=tan/ tanB tanC；(2) A、B, C成等差数列的充要条件是B=60 :(3) AABC是正三角形的充要条件是儿B. C成等差数列且a、b、c成等比数列.二、正弦定理: 文字：在AABC中，各边与其所对角的正弦的比值都相等。符号：亠亠二丄=2Rsin A sin B sinC公式变形：a = 2/?sin4 b = 2RsinB c = 2/?sinC(边转化成角)sin咗sin嗨sinC遥(角转化成边)a :/?:(? = sin A: sin 3: sin Ca + b + csin A + sin 3 +sin Csin Abs

3、in 3=2R sinC余弦定理:文字：在AABC中，任意一边的平方，等于另外两边的平方和，减去这两边与它们夹角的符号:余弦值的乘积的两倍。c2 =a2 +h2 - labcosCa2 =h2 +c2 -2Z?ccosAb2 =a2 +c2 - IciccqsBb +c2-a2a2 +c2-ba2 +b2-c2变形：cos A =cos B =cos C =2bclaclab四、面积公式：（1）S=uha（2） S = r（a+b + c）（其中r为三角形切圆半径）（3） S =absinC = J-Z?csinA =2 2 2五、常见三角形的基本类型及解法：（1）已知两角和一边（如已知边c）

4、解法：根据角和求出角C = -（A + B）；根据正弦定理-=- = - = 2R求出其余两边sin A sin B siiiC（2）已知两边和夹角（如已知ubC ）解法：根据余弦定理c2=a2+b2-2abcosC求出边c；I 222根据余弦定理的变形cosA= +7 求A；2bc根据角和定理求角3 =兀一（4 + C）.（3）已知三边（如：u、b、c ）.2 2 2解法：根据余弦定理的变形cosA=7 求A；2bc2 2 12根据余弦定理的变形cosB = +： 求角2ac根据角和定理求角C = -（A + B）（4）已知两边和其中一边对角（如:a.b.A ）（注意讨论解的情况）解法1：若

5、只求第三边，用余弦定理：c2=a2+b2-2ahcosC ；解法2：若不是只求第三边，先用正弦定理 = = = 2/?求B （可能出现一sin A sin B sinC解，两解或无解的情况，见题型一）；再根据角和定理求角c=k（q+3）；.先看一道例題：例：在4A3C中，已知=石疋=2巧, =30,求角Q （答案：C = 45或135）六.在A4BC中，巳知则AABC解的情况为:A为锐角A为钝角或直角图形LAAKA/J、”7B/关系式a =b-sinAb-sinAa bab解的 个数一解两解一解一解法一：几何法（不建议使用）（注：表中，A为锐角时，若av/?sinA,无解；A为钝角或直角时，若

6、ab 9无解.法二：代数法（建议使用）通过材子说明步骤：大角对大边 结合 正弦走理 一起使用（见题型一）题型总结：题型一、利用正弦定理解决“两边一对角”的类型模型：在AABC中，已知边和角A,若不是求第三边c,用正弦定理。例1：在山3C中，已知=2,2血,45（,求zc。（答案：C = 30 ）例 2：在中，已知= 亍, = 30,求zc。（答案：C = 45或 135）a = 2. b =-. B = 3011例3：在中，已知2.求ZAo 答案：无解）例4： （3）在如3C中，已知=2上=1, = 30,求/A。（答案：一解）练习：1。在AABC中，已知u = b = *,B = 3解三角形

7、。2. 在MBC中，已知方=),c = 3,C = 45解三角形。23. 在AABC中，已知“ =J5,c = 4,A = 60。解三角形。题型二.利用正弦定理解决“巳知两角一边”的类型两角一边(两角一对边，两角一夹边)模型1：在AABC中，已知角和边d,解三角形。模型2：在AABC中，已知角和边C,解三角形。用正弦定理例题：。羽.迈+后=,得b = -=一聖一=迈+苗，再根据正弦定理 sin A sin Bsin AJ3T20返=，得c = = 22。综上，A = 60,/? = y2 +、石,c = 2迈。sin A sinCsin A J3T题型三.利用余弦定理解决“巳知两边一夹角”的类

8、型模型：在AABC中，已知边和角C,解三角形。用余弦定理例题1：在AABC中，已知a = l = 2,C = 60解三角形。解析:根据余弦定理c2=a2+b2-2abcosC.得c2 =12+22-2-1-2-1 = 3, 222 i 22/ /Z2所以c = J5,再根据余弦定理，得L =0, 2ac2-1-V3又因为 0B2 模型：已知边a.b.c解三角形。根据余弦定理，cos A = +C , cosB =,2bclaccosC = -/-/-r-.,分别求得角A,B,C （或根据角和定理求得角C）。 lab例题1：在AABC中，已知 = 2“ = 4,c = 2j亍解三角形。胡炉 ip

9、 IO Z 宀十課 ZBd _+C 0 _ 4 +（2/3） -2 _ y/3 v rjn解祈:根据余弦疋理9 寸cosA = = .入因为2bc2-4-2V320（,A180,所以A = 30,再根据余弦定理，得cosB = 匚+匚1 =二=o,又0180,所以5 = 90,lac2-2-2V3再根据三角形角和定理，得C = 1800-（A + B） = 180-1200=60o综上，A = 30, B = 90,C = 60o练习：1 在AABC中，已知a = V?,Z? = V,c=、6 + 一 解三角形。2题型五.利用余弦定理解决“巳知两边一对角”的类型模型：在AABC中，已知边a,b

10、和角A,若只求第三边c,用余弦定理。模型：在AABC中，已知边“丄和角若不是只求第三边6用正弦定理。例题：例题1：在AABC中，已知 = 2,c = JI,A = 45,求边方。解析：根据余弦定理a2=b2+c2-2bccosA,得22 =/?2 +（V2）2-2/?-V2cos45,既 X2b 2 = 0,解得 b = l + J3 或 =1一、你（舍去），练习：在zlABC中，已知b =石 = 2厲,8 = 30,求边业（答案：“ =3土JJ）题型六、三角形面积例 1.在 A4BC 中，sinA + cosA = , AC = 29 AB = 39 求 tan A 的值和 4WC 的面 2

11、积。解：由sin A + cos A计算它的对偶关系式sin A-cos A的值。. sin A + cos A = (D2/. (sin A + cos A)2/. 2sinAcosA = -20 A0,cosA/3,Z? = 5.求 sinBsinC 的值.解：(I)由已知条件得：cos2A + 3cosA = 12cos2 A + 3cos A-2 = 0 t解得cosA = -9 角 A = 60。2(U) S = -bcsinA = 5/3 =c = 4,2由余弦定理得：/ = 21,(2/?)2 =- = 28sin Asin B sin C =be4p练习2.已知ZiABC的周长

12、为旋+1,且sin A + sinB = /2sinC(I)求边43的长；(II)若厶ABC的面积为-sinC,求角C的度数.6解：(I)由題意及正弦定理，得AB + BC + AC = 2 + , BC + AC = /iAB, 两式相减，得AB = .(II)由厶ABC的面积-BCMCesinC = -sinC,得BCAC = -,263由余弦定理，得cosC =AC2+BC2-AB22AC.BC(AC + BC)2 - 2AC.BC - AB2 _ 12AC.BC,所以C = 60jr 练习3在ZXABC中，角A B, C对边的边长分别是g b, c,已知c = 2, C = -.3(I

13、 )若/XABC的面积等于侖，求“，b：(II)若sinC+sin(B-A) = 2sin2A,求厶ABC的面积.解：(I )由余弦定理及已知条件得，a2+b2-ab = 4t又因为4BC的面积等于JL 所以-absinC = y/39得=42联立方程组/ 一 = 4解得a = 2, b = 2.ah = 4,(II )由题意得 sin(B + A)+sin(B A) = 4 sin A cos A ,艮;sin B cos A = 2 sin A cos A ,当 cos A = 0 时，A = , B = , a =, b =-,2633当cos AH 0时，得sinB = 2sinA ,

14、由正弦定理得b = 2a 联立方程组a2+b2-ab = 4,b = 2cb所以3C的面积S = *bsinC = #题型七看到mbj想到余弦定理 例1：在川:中，8、 b、C分别是Z儿ZB、ZC的对边长，已知方且ac -acbc.求的大小及的值。c分析：因给出的是。、b、C之间的等量关系，要求Z/I,需找Z/1与三边的关系，故可用余bb sin B弦定理。由lf-ac可变形为=日，再用正弦定理可求 一的值。 cC解法一： 8二ac。又 cfc-acbct :匕+疋一说二be。在旳滋中，由余弦定理得：cosj +； 7 -孚詁2bc 2bc 2Z/f二60。在/!%中，由正弦定理得sin企竺巴

15、兰，：6二込aZ/!二60 ,bsin B b2 sin 60解法二：在中，由面积公式得丄3csin/l= 3csino2 2：Z朋6(T , 方csiM二/sinB.竺昨=sin朋週。c2评述：解三角形时，找三边一角之间的关系常用余弦定理，找两边两角之间的关系常用 正弦定理。题型八：利用正、余弦定理判断三角形形状一边角互化问题例 1.在MBC中，已知2sinAcosB = sinC,那么A4BC一定是（）A.直角三角形 B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.正三角形解法 1：由 2sinAcosB = sinC=sin（/1+Q = sinJcosi?4-cos/lsi即 sin/fcosj?

16、cosJsin=0,得 sin（J=0,得 A=B.故选（B）解法2：由题意，得cosB=- = ,再由余弦定理，得834伫二匚二伫 2 sin A 2a2ac22 t2:.=上，即=成得尸乩故选（B）2ac2a评注：判断三角形形状，通常用两种典型方法：统一化为角，再判断（如解法1）, 统一化为边，再判断（如解法2）.zy *tan A例2.在AASC中，若厂=丄丄，试判断AABC的形状。h tanB答案：故AABC为等腰三角形或直角三角形。练习1在AABC中，acosA = bcosJ3.判断ZkABC的形状。答案：AABC为等腰三角形或直角三角形。(1)练习2、在ABC中9a2sinB =

17、 b2 sinA,这个三角形是三角形。练习 3、在AABC中，a = csinA且sinC = 2sinAsinB,判断AABC的形状。题型九：三角形中最值问题R亠例1. AABC的三个角为A、B、C,求当A为何值时，cosA + 2cos 取得最大值,2并求出这个最大值。“ Ih B+C n B+C A解析：由 A+B+C二 n ,得所以有 cos二sing。B+C. A. A .A z 八cosA+2cos- =cosA+2sin-二 12sirT + 2sinj= 2(sin当sin* =占,即人冷 时，cosA+2cos竽取得最大值为|。点评：运用三角恒等式简化三角因式最终转化为关于一

18、个角的三角函数的形式，通过三 角函数的性质求得结果。练习.设锐角AABC的角A、B、C的对边为a、b、c , = 2/?sinA求ZB的大小。一6(2)求 cos A+sin C 的取值围。(,)题型十.边角互化问题例 1.在ABC 中，已知 2b=a+c,证明：2 sinB= sinA+ sinC例2、在AABC中，a、b、c分别是/L B、C的对边，试证明：a = b cosC + c cosB例3 .已知e b, c为AABC的三个角A B, C的对边，向量加=（、代一 1）,n = (cos Asin4) 若丄，且acosB+bcosA = csinC,则角 3 =例4、在AABC中，

19、已知BCp, AC二方，且 血b是方程x? -2届 + 2 = 0的两个根,2cos(A + B) = 1求:角C的度数(2)彳B的长例 5.已知 AABC 的周长为 V2+ 1,且 sin A + sin B = x/2 sin C . 求边48的长；若ABC的面积为丄sin C ,求角C的度数.,且 a cos 3 = 3, 求AABC的周长/6练习1 设AABC的角A, B, C所对的边长分别为a b ./?sinA = 4. (1)求边长a； (2)若AABC的面积S = 10, 练习2.在AABC中，角A B, C对边的边长分别是a b，c,已知c = 2, C =-3(I )若 A

20、ABC的面积等于 求 0 /?；(!)若sinC + sin(B-A) = 2sin2A，求 AABC的面积练习 3在 AABC 中 abc 分别为 ZA,ZB,ZC 的对边，若2 sin A (cos B+cos C) = 3 (sin B+sin C),(1)求A的大小；(2)若u = 応,b + c = 9.求和c的值。在ZkABC中,因此，BD=3血+虫20a 0.3%机题型十一：正余弦定理的实际应用例6. （2009卷文，理）如图，A,B,C,D都在同一个与水平面垂直的平面，B, D为两岛上的两座灯塔的塔顶。测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为75, 30%于水面C处测得B点和D点的仰角均为60. AC=0. lkmo试探究图中B, D间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B, D的距离（计算结果精确到0.01km,运彩 1.414, x/6 2. 449）解：在ZkABC