裂项相消法求和附答案解析x

1、裂项相消法利用列相消法求和，注意抵消后并不一定只剩下第一和最后一，也有可能前面剩两，后面剩两，再就是通公式列后，有需要整前面的系数，使列前后等式两保持相等。(1 )若是an等差数列，J-.pL 丄),丄(1_ _L)anan 1 d 3nan 1 缶 an 2 2d anan 2(2)1 1 1n (n 1) n n 1(3)丄(丄亠) n(n k) k n n k(4)1 p1-)(2n 1 ()2n 1) 2 2n 1 2n 1(5)1 11- 1 n(n 1)( n 2)2 n(n 1)(n 1)(n2)(6)眉尸51山(7)-丄亦 k v n)v，n v n k k1已知数列帆的前n和

2、 *气(1 )求数列的通公式；(2)叫z ,求数列(殆的前门和% .解析(1)叫二s肿如I)2, ( = 得:皿做51网=%如(在中令心】，有严叫+ 2,即叭叮2,2. 已知a n是公差d的等差数列，它的前 n和Sn, S4=2S 2 +8 .(I)求公差 d的；(U)若ai =1 , Tn是数列M+i 的前n和，求使不等式(w -5wr)Tnl8所有的n wN*恒成立的最大正整数 m的;解析(I)数列an的公差 d, S4 =2S 2 +8 ,即 4a 1 +6d=2(2a1 +d) +8，化得：4d=8 ,解得d=2 (II)由 a 1=1 , d=2，得 a n =2n-1(2/J-IX

3、2/J+ I) 2 2m- I 24-1 Tn =n 1 所有的n w IT恒成立,10化得：m 2 -5m-60 ,解得：m 6 12分,as ,a?成等比数列二m的最大正整数63. ）已知各均不相同的等差数列a n的前四和 S4=14,且a（I ）求数列a n的通公式；（H） Tn数列的前fl和，求T 2 012的.答案（I ）公差d,由已知得甌+純0触+如（3分）解得 d=1 或 d=0（舍去）,.*.ai =2. （5 分）故 a n =n+1. (6 分)(n =1)(2)= |n+l|.n+4(8 分)Tnd奔=+71J + Z 卫 11+2 242).(10 分)| 5031/.

4、T 2012=1 007,. (12 分)4. )已知数列a 是等差数列,(lJ. -.8n+4,数列|a|的前n和S擞列 瞌的前nnnn和T n .(1) 求数列an的通公式；11(2) 求:2Tn1.答案(1)等差数列a n的公差 d, an =a 1 +(n-1 )d. (2 分) I 2叫dg8n+4,/.(a n+i +a n )(a n+1 -a n )=d(2a 1 -d+2nd)=8n+4.当 n=1 ,d(2a 1 +d)=12;当 n=2,d(2a 1 +3d)=20.|rB|=2.解方程 血细+34）=旳得（吐或td=Z（4分）知5an =2n 或a n h2n都足要求

5、a n =2n 或 a n =2n. (6 分)(2)明：由知:a n =2n 或 a n =-2n./.|a n |=2n.Sn =n(n+1). (8 分)Tn=d2+2七h + II-!+1=1 - J141. (10 分) 2 WTn iZl2性1#(-f2+1f 是函数f(jr)z“a且*l)6. 已知点丿的象上一点，等比数列%的前”项和呵何-G数列3(氏0)的首|且前附和工满是s厂S-严屁+尺（2环（I）求数列和仇的通项公式;（II）若数列皈八丁1000jrn g ee的前n项和为n，问 20,4的最小正整数n是多少?/二4 /二百解析解：（I ）因为3 ,所以3所以3又数列是等比

6、数列,所以d si%7C23327,所以G =空二才uff =-（丄）小=-2叫y N，）又公比糾3,所以3d屮小,所以妊所以尻-用89所以数列构成一个首项为1,公差为1的等差数列，I兀 所以g,当心时，九 所以你i T）.（6分）（II）由（I ）得认1x2 2x3(2m-I)(2w4 I)2n+,（10 分）门】0001000nw mrm，J価FrrTor吕印2h +12014 得 14八 1000一 _一丄一,满足20,4的最小正整数为72.（12分）7.在数列；邙，叽2,且化 J成等差数列，宀叫川九“成（I ）求，及由此归纳出爲，；九的通项公式，并证明你的结论;（II）证明：解析（I）

7、由条件得=4十猜测叫訥am. （4分）用数学归纳法证明:时，由上可得结论成立.假设当女时，结论成立，即=心+ 九二（如1）时,叽=近-班=2(A + l)2-t(Jl + D = (A+l)(A+2 z4 ( =il = +2)2 %所以当川=* + 1时，结论也成立.由，可知叫（八从九门）对一切正整数都成立（7分）II5（II）因为=(612当心 2 时，由(I)知 q+% = S“)(b + l)2(xl)M综上所述，原不等式成立.（12分）8.已知数列的前（I）求数列的通项公式;H）设咕呃（】UZ“）匚 J007,求使20,6成立的最小解析(1 )当用当n2公比的等比数列.故“冷(5由知

8、旷氏=iog4（i吨心厂=7 1）4111 I瓦也仗4恥+ 25n+1 n+21）詈-+（丄一 _4n2I一丄輕2 + 2 2016丁、1007f n 212分故使 20,6成立的最小的正整数陀的 20】49.己知各均不相等的等差数列an的前四和S4=14,且ai, as, a 7成等比数列.(I)求数列an的通公式;(ID Tn数列的前n和，若T n 2)Q匚W肋旳 N恒成立，即2 + 2)e川恒成立n2(卄2尸待7m W莎寸花I6成等差数列10.已知数列宀前”和(I)求数列；叫的通公式;(II)数列足E 映f求:h解析(I) Q2”成等差数列，两式相减得:1=-所以数列 円和是首 ？，公比

9、 2的等比数列,1 5 . i(6分)f 呃2H),(8 分)(12 分)11等差数列an各均正整数 ，ai=3,前n和Sn,等比数列bn中,bi=1, 且b 2 S2 =64, 是公比 64的等比数列.(I )求 an 与 bn；答案(I ) an的公差 d, b n的公比 q, d正整数, a n =3+(n-1) d, b n=q n_1 .I小3十皿1u上S2b2=(6+d) q=64.由(6+d) q=64知q正有理数，又由q=2知，d 6的因子1,2, 3,6 之一，解得d=2,q=8.故 a n =3+2(n-1) =2n+1, b n =8 n .(n)明：Sn =3+5+(2

10、n+1) =n(n+2),丄 LU LU F 1|Stt_ lx3q. !2x4+ 3x5+ + :n(n+2)_ $(i扣昙哙制12.等比数列a n 的各均正数(I )求数列a n 的通公式；,且 2a i+3a 2 =1,23=9a 2a 6.(II) b n =log 3 a 1+log 3a2 + -+log3Sn求数列答案(I )数列a n的公比因条件可知 q0,故q.由=9a 2 a 6 得=9由 2a 1 +3a 2 =1 得 2a 1 +3a 1 q=1, 所以 a 1= Y故数列a n的通公式(II) b n =log 3 a 1+log 3a2 + +log 3an=-(1

11、+2+n)= n(n+l)=22n园）+佛L+耐所以数列的前n和13.等差数列a n的各均正数 ,a 1=3,其前n和Sn ,b n等比数列,bi =1,且 b 2 S2 =16,b 3 S3 =60.(I )求 an 和 b n ；ITI I 111(n) ,+ s：,+ 几.答案(I ) an的公差d,且d正数,b n的公比q, a n =3+(n1)d,b n=q依意有 b 2 S2 =q -(6+d)=16, b 3 S3 =q $ (9+3d)=60,(2 分)解得 d=2,q=2.(4 分)故 a n =3+2(n-1 )=2n+1 ,b n =2 n 1(6 分)(H)S n =3+5+ - +(2n+1)=n(n+2),(8分)11 J= 1X3+3X5+ +n(n+Z)亠卜扑叱需2）（10分）(1+Zn + rn+23211+S1 2(n*l)(n+2)(12 分)等比数列b n 的前n和T n，公比14.数列a n的前 n 和 Sn 足：S n =na n -2n(n-1). a 1 ,且 T5 =T 3 +2b 5 求数列an的通公式；（2）数列7*的前 n 和 M n ,求：M n2 ,a n =S n -S n-1 =na n -(n-1 )a n-1 -4(n-