山东大学工科研究生数学物理方法class4第1节(数学物理方程的导出)

1、 某个物理量随时间变化，这导致以时间为自变量的某个物理量随时间变化，这导致以时间为自变量的常微分方程常微分方程 （例：质点的运动方程，电路微分方程）（例：质点的运动方程，电路微分方程） 但实际中，往往要求但实际中，往往要求空间空间连续分步的状态和过程，电场强度，连续分步的状态和过程，电场强度， 电磁波的电场强度和磁感应强度在空间和时间的四维空间的电磁波的电场强度和磁感应强度在空间和时间的四维空间的 变化情况。研究物理量在空间某个区域的情况，以及随时间变化情况。研究物理量在空间某个区域的情况，以及随时间 的变化情况，自变量不仅仅是时间，还有的变化情况，自变量不仅仅是时间，还有空间坐标空间坐标。

2、为解决这些问题，首先应掌握物理量在空间的分部规律和时间为解决这些问题，首先应掌握物理量在空间的分部规律和时间 的变化规律（的变化规律（物理规律物理规律），具体问题既有），具体问题既有共性共性又有特殊性又有特殊性 （个性个性） 边界条件边界条件： 在具体的问题中，必须考虑研究的区域的边界的状况，周围在具体的问题中，必须考虑研究的区域的边界的状况，周围 的的“环境环境”的影响体现于边界所处的物理状况，即的影响体现于边界所处的物理状况，即边界条件边界条件。 初始条件：初始条件： 为了了解随时间发展变化的问题，还必须考虑研究对象的为了了解随时间发展变化的问题，还必须考虑研究对象的 特定特定历史历史（不

3、能割裂历史），即在某个所谓（不能割裂历史），即在某个所谓“初始初始”时刻的时刻的 状态，状态，初始条件初始条件 定解条件：定解条件： 边界条件和初始条件合称为边界条件和初始条件合称为定解条件定解条件。 物理规律应用物理规律应用偏微分方程偏微分方程来表达出来，叫做来表达出来，叫做数学物理方程数学物理方程， 作为同一类物理现象的共性，跟具体的条件无关，数学上，作为同一类物理现象的共性，跟具体的条件无关，数学上， 数学物理方程本身数学物理方程本身 （不带定解条件）叫做（不带定解条件）叫做泛定方程泛定方程。 本书本书任务任务：在给定的：在给定的定解定解条件下，求解数学物理方程，条件下，求解数学物理方程

4、， 这叫作数学物理这叫作数学物理定解问题定解问题 导出步骤：导出步骤： 首先确定首先确定物理量物理量u，从研究的系统中划出一小部分，根据物理，从研究的系统中划出一小部分，根据物理 规律分析其他临近部分和这小部分的规律分析其他临近部分和这小部分的相互作用相互作用（忽略次要因素）（忽略次要因素） 我们所研究的相互作用在一个短的时间段内怎样影响物理量我们所研究的相互作用在一个短的时间段内怎样影响物理量u， 把这种影响用把这种影响用算式表达算式表达出来，然后简化整理就得到出来，然后简化整理就得到数学物理方程数学物理方程 波动方程、输运方程、稳定场方程波动方程、输运方程、稳定场方程 双曲型、抛物型、椭圆

5、型偏微分方程双曲型、抛物型、椭圆型偏微分方程 方程类型：方程类型： (一一)、均匀弦的微小横振动、均匀弦的微小横振动 弦乐器弦乐器,声带等都是弦的振动声带等都是弦的振动, 下面导出弦的振动方程下面导出弦的振动方程. 设弦是设弦是柔软柔软的的,崩紧以后崩紧以后, 弦上小段之间存在弦上小段之间存在张力张力,如果如果 重量跟弦张力相比很小重量跟弦张力相比很小,可以可以 忽略为没有重量的弦忽略为没有重量的弦,如果弦如果弦 静止静止,则是一直线则是一直线,取做取做x轴轴,各各 点的横向位移记作点的横向位移记作u,是是x跟时间跟时间t的函数的函数,要导出的是要导出的是u所满足的方程所满足的方程. 机械运动

6、的基本定律为机械运动的基本定律为F=ma,但弦不是质点但弦不是质点,对整体不使对整体不使 用用,但可以细分为小段但可以细分为小段,每段抽象成质点每段抽象成质点,整体由许多互相联系的整体由许多互相联系的 质点组成质点组成,就可以应用牛顿定律就可以应用牛顿定律. xx+dx A B 1 2 T1 T2 C u x O xx+dx A B 1 2 T1 T2 C u x O 拿区间拿区间x,x+dx-B作为代表元素研究作为代表元素研究, 没有重量没有重量,并且柔软并且柔软,则只受临段则只受临段A和和 C的拉力的拉力T1和和T2 每个小段没有纵向运动每个小段没有纵向运动,纵向合力为零纵向合力为零 弦的

7、横向加速度为弦的横向加速度为Utt(二阶导数缩写二阶导数缩写) 由由F=ma,小段小段B的纵向和横向运动方程分别为的纵向和横向运动方程分别为 tt udsTT TT )(sinsin 0coscos 1122 1122 其中其中线密度线密度,ds为小段弧长为小段弧长我们仅考虑小的振动我们仅考虑小的振动 2, 1 为小量为小量,则忽略高阶小量则忽略高阶小量1! 2/1cos 2 11 1cos 2 11 3 111 ! 3/sintg (1) (2) 222 sintg dxdxududxds x 222 )(1)()(其中其中 tgxuux/ 又又 dxxxxx utgutg 21 , 则方程

8、则方程(1)(2)化为化为 dxuuTuT TT ttxxdxxx 12 12 0 (3) (4) T2=T1张力不随时间变化且相等张力不随时间变化且相等,另外振动过程中另外振动过程中,dsdx 即长度即长度ds不随时间变化不随时间变化,作用于作用于B段的张力也不变段的张力也不变,张力既跟张力既跟x无关无关 又跟又跟t无关无关,故为常数故为常数,记为记为T,则则(4)变为变为 dxuuuT ttxxdxxx )( 由于由于dx很小很小,则则dxuxdxuuu xxxxxdxxx / 则则B小段的运动方程成为小段的运动方程成为 0 xxtt Tuu (6) 由于由于B的任意性的任意性,故上述方程

9、故上述方程(5)就是就是弦的振动方程弦的振动方程. 对于均匀弦对于均匀弦, 为常数为常数,(5)可写为可写为 0 2 xxtt uau (5) 其中其中/ 2 Ta (a就是振动在弦的传播速度就是振动在弦的传播速度-波速波速) 弦的位移是时间弦的位移是时间t和左边和左边x两个自变量的函数两个自变量的函数,是弦上彼此互相是弦上彼此互相 影响的质点的运动方程影响的质点的运动方程,反映在反映在Uxx项上项上. tt udstxFTT)(),(cossin 1122 则方程则方程(6)就可修改为就可修改为 ),(txfTuu xxtt (7) 其中其中/ ),(),(txFtxf称为力密度称为力密度,

10、时刻时刻t作用于作用于x处单位处单位 质量上的横向外力质量上的横向外力,(7)称为称为受迫振动方程受迫振动方程, 而而(6)称为称为自由振动方程自由振动方程. 如果在振动过程中如果在振动过程中,弦还受到外加横向力的作用弦还受到外加横向力的作用,单位长度弦单位长度弦 所受横向力为所受横向力为F(x,t),则则(2)相应修改为相应修改为 (二二)、均匀杆的纵振动、均匀杆的纵振动 ABC ABC uduu xx+dx 要推导的是杆上各点沿杆长方向要推导的是杆上各点沿杆长方向 的纵向位移的纵向位移U(x,t)所满足的方程所满足的方程. 把杆细分为小段把杆细分为小段,区间区间x,x+dx作为作为 代表来

11、研究代表来研究,振动过程中振动过程中,B两端位移两端位移 分别记为分别记为U(x,t)和和U(x+dx,t)=U+dU|t显然显然,B段的伸长即为段的伸长即为dU|t 而相对伸长则为而相对伸长则为 U(x+dx,t)-U(x,t)/dx=dU|t/dx=Uxdx/dx=Ux 相对伸长相对伸长Ux随地点不同也不同随地点不同也不同,在在B的两端的两端,相对伸长不同相对伸长不同,分别是分别是 Ux|x和和Ux|x+dx,如果杆的扬氏模量是如果杆的扬氏模量是Y,由胡克定律得由胡克定律得,B两端的张两端的张 应力应力(单位面积两方的作用力单位面积两方的作用力)分别是分别是YUx|x和和YUx|x+dx,

12、则则B方程为方程为 ABC ABC uduu xx+dx xdxuYSYSuYSuuSdx xxxdxxxtt /)( 其中其中,为杆的密度为杆的密度,S为横截面积为横截面积 上式同除上式同除Sdx可得可得 0 xxtt Yuu(8) 此即为此即为杆的纵向振动方程杆的纵向振动方程 对于均匀的杆对于均匀的杆,Y和和是常数是常数,则则(8)可变为可变为 0 2 xxtt uau (9) 其中其中Y/ 2 a于弦的振动方程于弦的振动方程(6)完全一样完全一样,a也是波速也是波速 受迫振动方程受迫振动方程跟弦的完全一样跟弦的完全一样,其中其中F(x,t)是杆单位长度上单位是杆单位长度上单位 横截面积所

13、受的纵向外力横截面积所受的纵向外力),(txfTuu xxtt (三三)、传输线方程、传输线方程(电报方程电报方程) (四四)、均匀薄膜的微小横振动、均匀薄膜的微小横振动 0 2 xxtt uau 0 2 2 uautt 其中其中 2222 /yx二维拉普拉斯算符二维拉普拉斯算符 222222 /zyx 三维拉普拉斯算符三维拉普拉斯算符 薄膜受迫振动方程薄膜受迫振动方程 ),( 2 2 tyxfuautt f(x,y,t)=F(x,y,t)/ 为单位质量上的横向外力为单位质量上的横向外力 (五五)、流体力学与声学方程、流体力学与声学方程 空气处于平衡位置的压强和密度分别为空气处于平衡位置的压强

14、和密度分别为 00, P且空气密度且空气密度 相对变化量相对变化量 00 / )(ss)(1 0 振动速度振动速度0,此为有源的情况此为有源的情况,一维和三维方程为一维和三维方程为: 放射性衰变中放射性衰变中,粒子浓度按指数规律减少粒子浓度按指数规律减少 t euu 0 其中其中(ln2)/半衰期半衰期 之后之后,浓度减少为原来一半浓度减少为原来一半 则相应的一维和三维扩散方程为则相应的一维和三维扩散方程为: 0 2ln 0 2ln 2 2 uuau uuau t xxt (八八)、热传导方程、热传导方程 温度高低不同，热量从温度高的地方向温度低的转移温度高低不同，热量从温度高的地方向温度低的

15、转移热传导热传导 热传导问题中，研究的是问题在空间中的分布和在时间中的热传导问题中，研究的是问题在空间中的分布和在时间中的 变化变化U（x,y,z,t） 温度不均匀的程度可用温度不均匀的程度可用温度梯度温度梯度 u 表示，热传导的强弱表示，热传导的强弱 用用热流强度热流强度q（单位时间通过单位横截面积的热量）（单位时间通过单位横截面积的热量） 热传导现象遵循热传导现象遵循热传导定律热传导定律（傅里叶定律）：（傅里叶定律）： ukq K为热传导系数，仿照扩散问题，可以导出没有汇和源的一维为热传导系数，仿照扩散问题，可以导出没有汇和源的一维 三维热传导方程：三维热传导方程： ),(txFku x

16、uc xt ),(tzyxFku z ku y ku x uc zyxt C是比热，是比热，是密度，对于均匀物体，都是常数，方程可写为：是密度，对于均匀物体，都是常数，方程可写为： 0 2 xxt uau 0 3 2 uaut )( 2 c k a 跟扩散方程完全一样。若存在跟扩散方程完全一样。若存在热源热源，强度为，强度为F(x,y,z,t),则：则： 0 xt ku x uc 0 zyxt ku z ku y ku x uc 均匀物体则：均匀物体则： ),( 2 txfuau xxt ),( 3 2 tzyxfuaut (九九)、稳定浓度分布、稳定浓度分布 如果扩散源强度如果扩散源强度F(

17、x,y,z)不随时间变化，扩散运动持续进行下不随时间变化，扩散运动持续进行下 去，最终将达到稳定状态，空间中各点的浓度不随时间变化，去，最终将达到稳定状态，空间中各点的浓度不随时间变化， 即即Ut0，则方程成为：，则方程成为： FuD 泊松方程泊松方程 若无源，则若无源，则0u 拉普拉斯方程拉普拉斯方程 (十十)、稳定温度分布、稳定温度分布 如果热源强度如果热源强度F(x,y,z)不随时间变化，热传导持续进行下不随时间变化，热传导持续进行下 去，最终将达到稳定状态，空间中各点的温度不随时间变化，去，最终将达到稳定状态，空间中各点的温度不随时间变化， 即即Ut0，则方程成为：，则方程成为： Fu

18、k 0u 与稳定浓度方程相同与稳定浓度方程相同 (十一十一)、静电场、静电场 静电场是有源无旋场，高斯定理为：静电场是有源无旋场，高斯定理为： T dVdSE 0 1 穿过闭合曲面向外的电通量等于闭合曲面所围空间中电量的穿过闭合曲面向外的电通量等于闭合曲面所围空间中电量的 0 /1倍（真空介电常数）倍（真空介电常数） 则：则： TT dVEdV 0 1 故故 0 1 E 又电场强度又电场强度E是无旋，是无旋， 则则 0E 即是静电场的基本方程即是静电场的基本方程 (十二十二)、稳恒电流场、稳恒电流场 0E 均匀导电媒质，则均匀导电媒质，则 为常数为常数0 拉普拉斯方程拉普拉斯方程 (十三十三)、不可压缩流体的无旋稳恒流