大学物理(上)习题讲解(刚体力学部分)

1、南昌大学南昌大学 陈国云陈国云 2014年年4月月5日日 例题例题5-15-1 求质量为求质量为m、长为、长为 l 的均匀细棒对下面的均匀细棒对下面 三种转轴的转动惯量：三种转轴的转动惯量： （1 1）转轴通过棒的中心并和棒垂直；）转轴通过棒的中心并和棒垂直； （2 2）转轴通过棒的一端并和棒垂直）转轴通过棒的一端并和棒垂直； （3 3）转轴通过棒上距中心为转轴通过棒上距中心为h的一点的一点 并和棒垂直。并和棒垂直。 x o 解解:(1)建立坐标系，分割质量元建立坐标系，分割质量元 dx x 2d Jxm 2 12 1 ml 2 2 2 d l l m xx l x o h x o dx x

2、2d Jxm 2 0 d l m xx l 2 3 1 ml J 与刚体质量、质量分布、轴的位置有关与刚体质量、质量分布、轴的位置有关 (2)建立坐标系，分割质量元建立坐标系，分割质量元 （3）建立坐标系，分割质量元）建立坐标系，分割质量元 dx x 2d Jxm 22 1 12 mlmh 2 2 2 d lh lh m xx l 例题例题5-25-2 求圆盘对于通过中心并与盘面垂直的转轴的求圆盘对于通过中心并与盘面垂直的转轴的 转动惯量。设圆盘的半径为转动惯量。设圆盘的半径为R，质量为质量为m，密度均匀。密度均匀。 r R dr 解：解：设圆盘的质量面密度为设圆盘的质量面密度为 ，在圆盘上取

3、一半径为在圆盘上取一半径为r、 宽度为宽度为d dr的圆环（如图），环的面积为的圆环（如图），环的面积为2 rdr，环的环的 质量质量dm= 2 rdr 。可得可得 4 232 0 1 d2d 22 R R JrmrrmR 例题例题5-35-3 一轻绳跨过一定滑轮，滑轮视为圆盘，绳的两一轻绳跨过一定滑轮，滑轮视为圆盘，绳的两 端分别悬有质量为端分别悬有质量为m1和和m2的物体的物体1 1和和2 2，m1m1，物体物体1 1向上运动，物体向上运动，物体2 2向下运动，滑轮以顺向下运动，滑轮以顺 时针方向旋转时针方向旋转，Mr的指向如图所示。可列出下列方程的指向如图所示。可列出下列方程 JMrTr

4、T amTG amGT 12 222 111 式中式中 是滑轮的角加速度是滑轮的角加速度，a是物体的加速度。滑轮是物体的加速度。滑轮 边缘上的切向加速度和物体的加速度相等，即边缘上的切向加速度和物体的加速度相等，即 从以上各式即可解得从以上各式即可解得 ra mmm rMgmm r J mm rMgmm a r 2 1 / 12 12 212 12 mmm rMgmmm agmT 2 1 / 2 1 2 12 12 12 mmm rMgmmm agmT 2 1 / 2 1 2 12 21 11 而而 rmmm rMgmm r a 2 1 / 12 12 当不计滑轮质量及摩擦阻力矩即令当不计滑轮

5、质量及摩擦阻力矩即令m=0=0、M =0=0时，有时，有 g mm mm TT 12 21 21 2 g mm mm a 12 12 上题中的装置叫阿特伍德机，是一种可用来测上题中的装置叫阿特伍德机，是一种可用来测 量重力加速度量重力加速度g g的简单装置。因为在已知的简单装置。因为在已知m1、 m2 、 r和和J的情况下，能通过实验测出物体的情况下，能通过实验测出物体1 1和和2 2的加速度的加速度a， 再通过加速度把再通过加速度把g g算出来。在实验中可使两物体的算出来。在实验中可使两物体的m1 和和m2相近，从而使它们的加速度相近，从而使它们的加速度a和速度和速度v都较小，都较小， 这样

6、就能角精确地测出这样就能角精确地测出a来来。 例题例题5-45-4 一半径为一半径为R，质量为质量为m匀质圆盘，平放在粗匀质圆盘，平放在粗 糙的水平桌面上。设盘与桌面间摩擦系数为糙的水平桌面上。设盘与桌面间摩擦系数为 ，令令 圆盘最初以角速度圆盘最初以角速度 0 0绕通过中心且垂直盘面的轴旋绕通过中心且垂直盘面的轴旋 转，问它经过多少时间才停止转动？转，问它经过多少时间才停止转动？ r R dr d e 解：解：由于摩擦力不是集中作用于一点，而是分布在由于摩擦力不是集中作用于一点，而是分布在 整个圆盘与桌子的接触面上，力矩的计算要用积分整个圆盘与桌子的接触面上，力矩的计算要用积分 法。在图中，

7、把圆盘分成许多环形质元，每个质元法。在图中，把圆盘分成许多环形质元，每个质元 的质量的质量dm= rd dre，所受到的阻力矩是所受到的阻力矩是r dmg 。 此处此处e是盘的厚度。圆盘所受阻力矩就是是盘的厚度。圆盘所受阻力矩就是 2 2 00 3 ddd dd 2 3 R Mrmggrrer gerr geR 因因m= e R2，代入得代入得mgRM 3 2 根据定轴转动定律，阻力矩使圆盘减速，即根据定轴转动定律，阻力矩使圆盘减速，即 获得负的角加速度获得负的角加速度. . 2 21d 32d mgRJmR t 设圆盘经过时间设圆盘经过时间t t停止转动，则有停止转动，则有 0 0 0 21

8、 dd 32 t gtR 由此求得由此求得0 4 3 g R t 例题例题5-55-5 一匀质细棒长为一匀质细棒长为l ，质量为，质量为m，可绕通过，可绕通过 其端点其端点O的水平轴转动，如图所示。当棒从水平位的水平轴转动，如图所示。当棒从水平位 置自由释放后，它在竖直位置上与放在地面上的物置自由释放后，它在竖直位置上与放在地面上的物 体相撞。该物体的质量也为体相撞。该物体的质量也为m ，它与地面的摩擦系，它与地面的摩擦系 数为数为 。相撞后物体沿地面滑行一距离。相撞后物体沿地面滑行一距离s而停止。而停止。 求相撞后棒的质心求相撞后棒的质心C 离地面的最大高度离地面的最大高度h，并说明，并说明

9、 棒在碰撞后将向左摆或向右摆的条件。棒在碰撞后将向左摆或向右摆的条件。 解：解：这个问题可分为三个阶段这个问题可分为三个阶段 进行分析。第一阶段是棒自由进行分析。第一阶段是棒自由 摆落的过程。这时除重力外，摆落的过程。这时除重力外， 其余内力与外力都不作功，所其余内力与外力都不作功，所 以机械能守恒。我们把棒在竖以机械能守恒。我们把棒在竖 直位置时质心所在处取为势能直位置时质心所在处取为势能 C O 零点，用零点，用 表示棒这时的角速度表示棒这时的角速度, ,则则 222 3 1 2 1 2 1 2 mlJ l mg （1 1） 第二阶段是第二阶段是碰撞过程。碰撞过程。因碰撞时间极短，自由因碰

10、撞时间极短，自由 的冲力极大，物体虽然受到地面的摩擦力，但可以的冲力极大，物体虽然受到地面的摩擦力，但可以 忽略。这样，棒与物体相撞时，它们组成的系统所忽略。这样，棒与物体相撞时，它们组成的系统所 受的对转轴受的对转轴O的外力矩为零，所以，这个系统的对的外力矩为零，所以，这个系统的对O 轴的角动量守恒。我们用轴的角动量守恒。我们用v表示物体碰撞后的速度，表示物体碰撞后的速度， 则则 （2 2） 22 3 1 3 1 mlmvlml 式中式中 为为棒在碰撞后的角速度，它可正可负。棒在碰撞后的角速度，它可正可负。 取正值，表示碰后棒向左摆；反之，表示向右摆。取正值，表示碰后棒向左摆；反之，表示向右

11、摆。 第三阶段是物体在碰撞后的第三阶段是物体在碰撞后的滑行过程。滑行过程。物体作匀减物体作匀减 速直线运动，加速度由牛顿第二定律求得为速直线运动，加速度由牛顿第二定律求得为 mamg （3 3） 由匀减速直线运动的公式得由匀减速直线运动的公式得 asv20 2 gsv 2 2 （4）亦即亦即 由式（由式（1 1）、（）、（2 2）与（）与（4 4）联合求解，即得）联合求解，即得 l gsgl 233 （5） 亦即亦即l 66 s；当当 取负值，则棒向右摆，其条件 取负值，则棒向右摆，其条件 为为 0233 gsgl 亦即亦即l 6 s 棒的质心棒的质心C上升的最大高度，与第一阶段情上升的最大高

12、度，与第一阶段情 况相似，也可由机械能守恒定律求得：况相似，也可由机械能守恒定律求得： 22 3 1 2 1 mlmgh 把式（把式（5 5）代入上式，所求结果为）代入上式，所求结果为 sls l h63 2 当当 取正值，则棒向左摆，其条件为取正值，则棒向左摆，其条件为 0233 gsgl (6)(6) 例题例题5-65-6 工程上，常用摩擦啮合器使两飞轮以相同的工程上，常用摩擦啮合器使两飞轮以相同的 转速一起转动。如图所示，转速一起转动。如图所示，A和和B两飞轮的轴杆在同一两飞轮的轴杆在同一 中心线上，中心线上，A轮的转动惯量为轮的转动惯量为JA=10kg m2，B的转动惯的转动惯 量为量

13、为JB=20kg m2 。开始时。开始时A轮的转速为轮的转速为600r/min，B 轮静止。轮静止。C为摩擦啮合器。求两轮啮合后的转速；在为摩擦啮合器。求两轮啮合后的转速；在 啮合过程中，两轮的机械能有何变化？啮合过程中，两轮的机械能有何变化？ A A C B A C B 或共同转速为或共同转速为 200r/ minn 在啮合过程中，摩擦力矩作功，所以机在啮合过程中，摩擦力矩作功，所以机 械能不守恒，部分机械能将转化为热量，损械能不守恒，部分机械能将转化为热量，损 失的机械能为失的机械能为 222 4 111 222 1.32 10 J AB ABAB EJJJJ 例题例题5-75-7 恒星晚

14、期在一定条件下，会发生超新星爆恒星晚期在一定条件下，会发生超新星爆 发，这时星体中有大量物质喷入星际空间，同时星发，这时星体中有大量物质喷入星际空间，同时星 的内核却向内坍缩，成为体积很小的中子星。中子的内核却向内坍缩，成为体积很小的中子星。中子 星是一种异常致密的星体，一汤匙中子星物体就有星是一种异常致密的星体，一汤匙中子星物体就有 几亿吨质量！设某恒星绕自转轴每几亿吨质量！设某恒星绕自转轴每4545天转一周，它天转一周，它 的内核半径的内核半径R 0约为 约为2 2 1010 7 7 m，坍缩成半径坍缩成半径R仅为仅为 6 6 10103 3m的中子星。试求中子星的角速度。坍缩前后的中子星

15、。试求中子星的角速度。坍缩前后 的星体内核均看作是匀质圆球。的星体内核均看作是匀质圆球。 解：解：在星际空间中，恒星不会受到显著的外力矩，因在星际空间中，恒星不会受到显著的外力矩，因 此恒星的角动量应该守恒，则它的内核在坍缩前后的此恒星的角动量应该守恒，则它的内核在坍缩前后的 角动量角动量J0 0和和J 应相等。因应相等。因 22 0 5 2 5 2 0 mRJmRJ， 代入代入J0 0=J 中，整理后得中，整理后得 2 0 0 3r/s R R 由于中子星的致密性和极快的自转角速度，在由于中子星的致密性和极快的自转角速度，在 星体周围形成极强的磁场，并沿着磁轴的方向发出星体周围形成极强的磁场

16、，并沿着磁轴的方向发出 很强的无线电波、光或很强的无线电波、光或X X射线。当这个辐射束扫过地射线。当这个辐射束扫过地 球时，就能检测到脉冲信号，由此，中子星又叫脉球时，就能检测到脉冲信号，由此，中子星又叫脉 冲星。目前已探测到的脉冲星超过冲星。目前已探测到的脉冲星超过300300个。个。 例题例题5-8 图中的宇宙飞船对其中心轴的转动惯量为图中的宇宙飞船对其中心轴的转动惯量为 J=2 103kg m2 ，它以它以 =0.2rad/s的角速度绕中心轴旋的角速度绕中心轴旋 转。宇航员用两个切向的控制喷管使飞船停止旋转。转。宇航员用两个切向的控制喷管使飞船停止旋转。 每个喷管的位置与轴线距离都是每

17、个喷管的位置与轴线距离都是r=1.5m。两喷管的喷两喷管的喷 气流量恒定，共是气流量恒定，共是 =2kg/s 。废气的喷射速率（相对废气的喷射速率（相对 于飞船周边）于飞船周边）u=50m/s，并且恒定。问喷管应喷射多并且恒定。问喷管应喷射多 长时间才能使飞船停止旋转。长时间才能使飞船停止旋转。 r dm/2 dm/2 u u L0Lg 解：解：把飞船和排出的把飞船和排出的 废气看作一个系统，废气看作一个系统， 废气质量为废气质量为m。可以。可以 认为废气质量远小于认为废气质量远小于 飞船的质量飞船的质量， 所以原来系统对于飞船中心轴的角动量近似地等所以原来系统对于飞船中心轴的角动量近似地等 于飞船自身的角动量，即于飞船自身的角动量，即 在喷气过程中，以在喷气过程中，以dm表示表示dt时间内喷出的气时间内喷出的气 体，这些气体对中心轴的角动量为体，这些气体对中心轴的角动量为dmr(u+v)，方方 向与飞船的角动量相同。因向与飞船的角动量相同。因u=50m/s远大于飞船的远大于飞船的 速率速率v(= r) ，所以此角动量近似地等于所以此角动量近似地等于dmru。在在 整个喷气过程中喷出废气的总的角动量整个喷气过程中喷出废气的总的角动量Lg应为应为 0 d