求函数值域的常用方法2

1、 求函数值域的常用求函数值域的常用 方法方法 特别提示2： 求函数值域没有通用求函数值域没有通用 的方法和固定的模式。只的方法和固定的模式。只 能依据函数解析式的结构能依据函数解析式的结构 特征来确定相应的解法。特征来确定相应的解法。 无论采用什么方法无论采用什么方法 求函数的值域，均应优求函数的值域，均应优 先考虑定义域。先考虑定义域。 特别提示1： 例1 求下列函数的值域： ; 1) 2 xy;2) 3 2 xy;21) 1xy 分析：本题是求解析式结构比较简单的函数的值域，分析：本题是求解析式结构比较简单的函数的值域， 可用直接法、不等式法或图像法求解。可用直接法、不等式法或图像法求解。

2、 .2| 2, 22, 0 .2- , 2)3( , 1 111|, 0|)2( .0| 002-11 22 2 yy yxx Rxxy yxx yy y 所以函数的值域为 即 另解（不等式性质） ，为（可以看出该函数的值域从图像 的图像如图所示：函数 ）故所求函数的值域为 ，即则由于 故所求函数的值域为 ，即）通过观察函数式可得解：（ x y 0 2 2 2 xy 分析：本题是求二次函数在区间上的分析：本题是求二次函数在区间上的值域问题，值域问题， 可用配方法或图像法求解。可用配方法或图像法求解。 例2 求函数的值域) 11( 2 1 2 xxxy 如图， y-3/4,3/2. , 2 3

3、, 1, 4 3 , 2 1 ,1 , 1, 4 3 ) 2 1 ( maxmin 2 yxyx xxy解： x-1 o y 1 4 3 2 1 x 2 3 ; 24 15 的值域求 x x y例3 分析：本题分子分母都是一次式的分式函数，此类函数的分析：本题分子分母都是一次式的分式函数，此类函数的 值域求解可采用分离常数法、反函数法（注意：值域求解可采用分离常数法、反函数法（注意： 原函数要有反函数）。原函数要有反函数）。 . 4 5 | 4 5 0 )24(2 7 )( )24(2 7 4 5 24 4 10 1)24( 4 5 24 15 yRyy y x ok x k y xx x x

4、 x y 且即函数的值域为 。的值域知：函数由反比例 ）数值域的方法函数的和，从而求得函 常数与另一个把已知函数分离成一个解一：（分离常数法： 解二：（反函数法） 故所求函数的值域为： 54 21 y y x 54 21 y y y 4 5 由原函数式可得： 则其反函数为： 其定义域为：x 4 5 yRyy且 例4 求函数 322 1 2 2 xx xx y 分析：函数是分式函数且都含有二次项，可用判别式法分析：函数是分式函数且都含有二次项，可用判别式法 和单调性法求解。和单调性法求解。 解法1：（判别式法）判别式法） 由函数知定义域为R,则变形可得： (2y-1)x2-(2y-1)x+(3y

5、1)=0. 当2y-1=0即y=1/2时，代入方程 左边1/23-10,故y1/2. 当2y-10,即y 1/2时，因xR,必有 =(2y-1)2-4(2y-1)(3y-1) 0得3/10y1/2, 综上所得，原函数的值域为y3/10,1/2). 例5的值域；求函数xxy142 分析：带有根式的函数，本身求值域较难，可考虑用分析：带有根式的函数，本身求值域较难，可考虑用 换元再利用配方法或图像法，平方升次再用判换元再利用配方法或图像法，平方升次再用判 别式法。别式法。 解法一：（换元，配方法） ，）（注意新元的取值范围设 2 101txtx 。则4)0(4) 1(2242 22 tttty 1

6、 4 t y o .4|yy故函数的值域为 函数图像如右图所示：函数图像如右图所示： 242 2 tty 解法二：（平方升次再用判别式）解法二：（平方升次再用判别式） 016)4(44 22 yxyx 。40)16( 44)4(4 222 yyy 。所以函数的值域为4 , )1 (16)2(142 2 xxyxxy 解法三：（整体配方）解法三：（整体配方） 2 2(1)4 122( 11)4yxxx 10 x因为， 2 2( 11)44x所以y=。 4.y|y故函数的值域为 课堂练习：求下列函数的值域 ; 12 32 )3 x x y ) 2 1 , 1, 12 2 xxxy 1 2)1 x

7、y ) 1( 1 52 )4 2 x x xx y 3 2 y y R y 答 案且 2 , 2-答案 0|yy答案 5|yy答案： 求函数值域方法很多，常用求函数值域方法很多，常用配方法、换元法、配方法、换元法、 判别式法、不等式法、反函数法、图像法（数形判别式法、不等式法、反函数法、图像法（数形 结合法）、结合法）、函数的单调性法以及均值不等式法等。函数的单调性法以及均值不等式法等。 这些方法分别具有极强的针对性，每一种方法又这些方法分别具有极强的针对性，每一种方法又 不是万能的。要顺利解答求函数值域的问题，必不是万能的。要顺利解答求函数值域的问题，必 须熟练掌握各种技能技巧，根据特点选择求值域须熟练掌握各种技能技巧，根据特点选择求值域 的方法。的方法。 有时一题有多种解法，而有时又要同时使用有时一题有多种解法，而有时又要同时使用 多种方法才能解决。只有灵活选用最合适的方法多种方法才能解决。只有灵活选用最合适的方法 才能快捷解题。才能快捷解题。 小结小结 1）求下列函数的