不等式证明——比较法、综合法、分析法

1、不等式证明（不等式证明（1） 比较法、综合法、分析法比较法、综合法、分析法 什什 么么 考考通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法：通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法： 比较法、综合法、分析法比较法、综合法、分析法 高考题选高考题选 1.1.设设a、b是非负实数，求证：是非负实数，求证： 3322 ()abab ab。 0,0ab 11 ab ab 33 ab , a b 236ab 若若，且，且 () 求求的最小值；的最小值； ，使得，使得 ？并说明理由？并说明理由. 2014年普通高等学校招生全国统一考试全国课标年普通高等学校招生全国统一考试全国课标1 （）是否存在）是否存在 什什

2、 么么 考考通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法：通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法： 比较法、综合法、分析法比较法、综合法、分析法 高考题选高考题选 设设a、b是非负实数，求证：是非负实数，求证： 3322 ()abab ab。 )()( 44662233 uttuutbaabba 则则证证明明：设设,buat )()( 55 tuuutt )-)( 55 utut（ 0)tuutut)( 4322342 utut（ )( 2233 baabba 差值比较法差值比较法 0,0ab 11 ab ab 33 ab , a b 236ab 若若，且，且 (1) 求求的最小值；的最小值；

3、，使得，使得 ？并说明理由？并说明理由. 2014年普通高等学校招生全国统一考试全国课标年普通高等学校招生全国统一考试全国课标1 （2）是否存在）是否存在 112 0,0,abab abab 2,2abab当且仅当时，等号成立。 33333 22()4 2aba bab 2ab 33 min 当且仅当时，(a +b )=4 2。 (2)1232 62 246abab由（）知： (1) 不存在满足题设的实数不存在满足题设的实数a,b。 温温 新新 知知 故故 1、求差法：、求差法：ab ab0 它的基本步骤：它的基本步骤： 作差作差变形变形判断，差的变形的判断，差的变形的 主要方法有配方法，分解

4、因式法，分子有理化等主要方法有配方法，分解因式法，分子有理化等 01 b b a 并并且且2、求商法：、求商法：ab0 它的基本步骤：它的基本步骤： 作商作商变形变形判断商与判断商与1的大小的大小. 它它 在证明幂、指数不等式中经常用到在证明幂、指数不等式中经常用到 3、综合法：、综合法：综合法证题的指导思想是综合法证题的指导思想是“由因导果由因导果”，即，即 从已知条件或基本不等式出发，利用不等式的性质，推从已知条件或基本不等式出发，利用不等式的性质，推 出要证明的结论出要证明的结论 4、分析法：、分析法：分析法证题的指导思想是分析法证题的指导思想是“由果索因由果索因”， 即从求证的不等式出

5、发即从求证的不等式出发,分析使这个不等式成立的充分条分析使这个不等式成立的充分条 件，把证明不等式转化为判定这些充分条件是否具备的件，把证明不等式转化为判定这些充分条件是否具备的 问题，如果能够确定这些充分条件都已具备，那么就可问题，如果能够确定这些充分条件都已具备，那么就可 以判定所要证的不等式成立以判定所要证的不等式成立 3、综合法：、综合法： 4、分析法：、分析法： 课课 练练 训训 堂堂 课课 练练 训训 堂堂 达标训练（达标训练（10分钟）分钟） 11 , xy ab xy xayb 与与的的大大小小。 1. 已知已知a、b、x、yR+且且，比较比较 2. 已知：已知：a、b是正实数

6、，求证：是正实数，求证： ab ab ba 1,1,xy 111 xyxy xyxy 1abc loglogloglogloglog abcbca bcaabc 3.()()设设证明证明 ()()，证明，证明 点点 究究 探探 拨拨 与与 11 , xy ab xy xayb 与与的的大大小小。 1. 已知已知a、b、x、yR+且且，比较比较 0 ()() xybxay xaybxayb 11 ,0, ,0 xya bRba ab aybx xy xayb 点点 究究 探探 拨拨 与与 2. 已知：已知：a、b是正实数，求证：是正实数，求证： ab ab ba 证法证法1：)(ba a b b

7、 a ab abbaba)( 33 ）（）（ ab bababa)(2)( 22 ）（ 0 )( 2 ab baba）（ ab ab ba 差值比较法差值比较法 点点 究究 探探 拨拨 与与 2. 已知：已知：a、b是正实数，求证：是正实数，求证： ab ab ba 33 () ab ab ba ababab 证法证法2： 22 abab ab 2 ( 1 abab ab ） ab ab ba 证法证法3： ab ab ba 2 a ba b 2 b ab a 由由+，整理得：，整理得： 比值比较法比值比较法 综合法综合法 点点 究究 探探 拨拨 与与 1,1,xy 111 xyxy xyxy

8、 1abc loglogloglogloglog abcbca bcaabc 3.()()设设证明证明 ()()，证明，证明 证明证明()x1,y ()x1,y 1 111 xyxy xyxy 2 () 1()xy xyxyxy 2 () () 1 ()0 xy xyxyxy (1)() (1)(1)0 xyxyxyxy (1)() (1)0 xyxyxy (1)(1)(1)0 xyxy x1,y x1,y 1 111 xyxy xyxy 分析法分析法 综合法综合法 点点 究究 探探 拨拨 与与 1,1,xy 111 xyxy xyxy 1abc loglogloglogloglog abcb

9、ca bcaabc 3.()()设设证明证明 ()()，证明，证明 1abc ()() ，且，且则则令令1, 1,log,log yxcybx ba xyc xycbc a a a bab b c log, 1 loglog 1 log log log (*) 不等式（不等式（*）等价于：）等价于： 111 xyxy xyxy 由由()知道不等式（知道不等式（*）得证。）得证。 考考 己己 自自 考考 （四）当堂检测（时量：（四）当堂检测（时量：10分钟分钟 满分：满分：10分）分） 1. 不等式不等式: x332x ; a5b5a3b2a2b3 ; 2| a b b a A. B. C. D

10、. a2b22(ab1)； 恒成立的有恒成立的有( ) 2. a、b、c、d、m、n全是正数，比较全是正数，比较 cdabp n d m b ncmaq 与与 的大小。的大小。 3. 已知正数已知正数a、b、c满足满足a + b 2x ; a5b52x 中令中令x= - 2，显然不等式不成立。，显然不等式不成立。 故排除故排除A、B、D。 C. 本题改为填空题呢？本题改为填空题呢？ 在在中令中令a=b，则等号成立。，则等号成立。 0)1()1()1(2 2222 bababa 22 a b b a a b b a a b b a 点点 究究 探探 拨拨 与与 2. a、b、c、d、m、n全是正

11、数，比较全是正数，比较 cdabp n d m b ncmaq 与与 的大小。的大小。 cd m nbc n mad ab n d m b ncma ）（ 2 )2cdabcd m nbc n mad ab （ 2 ）（）（cdab n d m b ncma cdab n d m b ncma 3. 已知正数已知正数a、b、c满足满足a + b 2c，求证：，求证： abc 2 1 ）（abccaabcc 22 2 ）（ 证明证明:由已知得由已知得 0 2 ba cab ba c 2 2 2 abccaabcc 22 2 ）（ abccaabc 22 abcca 2 abccaca 222 2

12、 bca 2 cba2 点点 究究 探探 拨拨 与与 点点 究究 探探 拨拨 与与 点点 究究 探探 拨拨 与与 课课 升升 提提 堂堂课课 升升 提提 堂堂 课后作业课后作业 另行印发另行印发 1.比较法是证明不等式的一个最基本的方法比较法是证明不等式的一个最基本的方法,而又以作而又以作 差比较最为常见差比较最为常见.作差比较的关键在于作差后如何变形作差比较的关键在于作差后如何变形 来达到判断差值符号之目的来达到判断差值符号之目的,变形的方向主要是因式分变形的方向主要是因式分 解和配方解和配方. 3.分析法是分析法是“执果索因执果索因”重在对命题成立条件的探索重在对命题成立条件的探索, 寻求不等式成立的充分条件寻求不等式成立的充分条件,因此有时须先对原不等式因此有时须先对原不等式 化简化简.常用的方法有常用的方法有:平方平方,合并合并,有理化去分母等有理化去分母等.但要注但要注 意所有这些变形必须能够逆推意所有这些变形必须能够逆推,书写格式要严谨规范书写格式要严谨