[初二数学]PU6已知三角函数值求角

1、三角函数 p已知三角函数值求角 问题： 已知： ，求角x。（1） 2 3 sinx （2） 已知： ，求角x。 2 3 cosx （3） 已知： ，求角x。1tanx kxorkx2 3 2 2 3 kx2 6 kxorkx2 4 5 2 4 练习： （1）已知 ，则x=_; 2 1 sinx （2）已知 ，且 ，则x=_; 2 2 cosx2 , 0 x （3）已知 ，且 ，则x=_; 3tanx )2 , 0(x kork2 6 7 2 6 4 5 4 3 or 3 5 3 2 or 三角函数的反函数反三角函数反三角函数 0 0 -1 1 -1 1 24 6 246 24246 y=sin

2、x, x R y=cosx, x R xytan 2 2 2 2 2 3 2 3 反函数反函数一对一一对一 小结小结 ;sin, 2 , 2 arcsin 1 , 1) 1 ( axa axa ，即且这个角的正弦值为内这个角在 角，是一个用弧度数表示的时，当 ;cos,0 arccos 1 , 1)2( axa axa ，即且这个角的余弦值为内这个角在 角，是一个用弧度数表示的时，当 ;tan,) 2 , 2 ( tan),()3( axa aarcxa ，即且这个角的正切值为内这个角在 角，是一个用弧度数表示的时，当 ;cot,), 0( cot),()4( axa aarcxa ，即且这个

3、角的余切值为内这个角在 角，是一个用弧度数表示的时，当 ），值域：（定义域：）（ ）；，值域：（定义域：）（ ；，值域：，定义域：）（ ；，值域：，定义域： 反三角函数 0,cot4 22 ,arctan3 0 11,arccos2 22 11,arcsin) 1 ( Rxarcy Rxy xy xy 三角函数的反函数反三角函数反三角函数 例例1 1：求下列各式的值：求下列各式的值 ) 2 3 arcsin()3( )1arcsin()2( 3 1 arcsin 2 一般地，如果1,1 ,x 则有 arcsin（x）=arcsinx 例例2：求下列各式的值：求下列各式的值 3 1 arccos

4、 2 3 2 arccos 2 1,1 ,x arccosarccosxx 一般地，当 则有 例例3：求下列各式的值：求下列各式的值 1 arctan3)3cot()2(arc 例例4：求下列各式的值：求下列各式的值 2 1 arcsinsin) 1 ( 2 1 arccoscos)2( 6 sinarcsin)3( 6 7 sinarcsin)4( 4 5 tanarctan)5( 4 cotcot)6( arc 练习：求下列各式的值练习：求下列各式的值 ) 2 3 (sinarccos) 1 ( 2 3 cotarcsin)2( ) 5 4 arcsin2sin()3( . 25 24 ;

5、 3 3 ; 2 1 :key 练习：练习： （1）若）若 ，则，则x的值（的值（ ） , 0, 3 2 cos xx 3 2 arccos.A 3 2 arccos. B 3 2 arccos. C 3 2 arccos. D （2）若）若 ，集合，集合 且且 ，则，则x的值为的值为 ) 2 , 2 ( xsin, 0, 5 1 xBA BA B 5 1 arcsin 的值。求 )3cot( ) 2 1 arccos( 2 3 arcsin arc (3) 5 2 4 tan arctan1 5 1 arctan tan 4 2cot cot 4 arc 一般地，tan（arctanx）=x

6、 cot（arccotx）=x arctan（x）=arctanx arccot（x）= cotarcx _sin2 , 010的取值范围是的上满足，在若xaxaB arcsin, 0)aAarcsin,arcsin)aaB ,arcsin)aCarcsin 2 ,arcsin)aaD 例： 求解三角方程 )0( )tan( )cos( )sin( ax ax ax 含有未知角的三角函数的方程称为三角方程。 sin2sin 60 xx 的解集。、求例ax sin1 ；时，解集为1| ) 1 (a ；时，解集为 Zkkxxa,2 2 |1)2( ；时，解集为 Zkkxxa,2 2 |1)3( Z

7、kkaxx Zkkaxx a ,2arcsin| ,2arcsin| 1| )4( 时，解集为 的解集。、求例ax cos2 ；时，解集为1| ) 1 (a ；时，解集为Zkkxxa,2|1)2( ；时，解集为Zkkxxa,2|1)3( Zkkaxx a ,2arccos| 1| )4( 时，解集为 aarckxax akxax cotcot arctantan 的解为： 的解为： 同理， 的解集。、求例 2 1 sin3x 的解集。、求例 2 1 cos4x ZkkxxZkkxx,2 6 5 |,2 6 | ZkkxxZkkxx,2 3 2 |,2 3 2 | 的解集。、求例 3 3 tan

8、5x Zkkxx, 6 | 的解集。例、求2) 6 3sin(2 x kxkx x 2 4 5 6 32 46 3 2 2 ) 6 3sin( 或 3 2 36 13 3 2 36 5k x k x或 由给定条件求三角形的未知边未知边与未知角未知角 解三角形 正弦定理 余弦定理 )ABC( ,2 sinsinsin ABC 外接圆半径为 中， R R C c B b A a 余弦定理推论 Cabbac Baccab Abccba cos2 cos2 cos2 ABC 222 222 222 中， ab cba C ac bca B bc acb A 2 cos 2 cos 2 cos ABC

9、222 222 222 中， A B C （1）已知两边与夹角，）已知两边与夹角， 求其余边、角求其余边、角 （2）已知三边，求三个角）已知三边，求三个角 （1）已知两角与任一边，）已知两角与任一边， 求其它两边与一角求其它两边与一角 （2）已知两边与其中一边的对角，）已知两边与其中一边的对角， 求其它两角与一边求其它两角与一边 中，、已知例ABC1 _,150, 2, 33bBca則 7 中，、已知例ABC2 _,30,135, 5ACBCAB則 2 25 中，、已知例ABC3 _BC,21, 4, 5ADACBCAB邊上的中線則 19 A B C 反三角函数反三角函数 xyarcsin 反

10、反正正弦弦函函数数 xyarcsin xyarccos 反反余余弦弦函函数数 xyarccos 20 xyarctan 反反正正切切函函数数 xyarctan xycot 反反余余切切函函数数arc xarcycot ._,arcsin) 5 4 arccos( 5 4 arccos的值是则例：若xx 不存在) 25 24 ) 25 24 )0)DCBA D )()A _)arcsin(sin, 2 xDxCxBx xx 。的值是则例：若D xyDxyC xyBxyA xxy arccos2)arccos) arccos)arccos) _)2(cos 。的反函数是例：函数D 。进入调整，使或

11、 令 2 , 2 ,2,2 sinsin,)arcsin(sin:int kxkx xxh kyxkyx2arccos2arccos或 的值。求练习：)7arccos(sin ; 7 2 5 ),7 2 cos(7sincos x 的值。，求练习：若xx 2 1 )sin(arccos 2 3 2 6 arccosxkx， 为了使符合条件为了使符合条件sinx=a(-1a1）的角有且只）的角有且只 有一个，选择闭区间有一个，选择闭区间 作为基本的范围，作为基本的范围， 在这个闭区间上，符合条件在这个闭区间上，符合条件 sinx=a(-1a1）的角）的角x， 叫做实数叫做实数a的的反正弦反正弦，

12、 2 , 2 记作记作arcsina,即即x=arcsina， 其中其中x 且且a=sinx. 2 , 2 为了使符合条件为了使符合条件cosx=a(-1a1）的角）的角 有且只有一个有且只有一个,选择闭区间选择闭区间0，作为基作为基 本的范围，在这个闭区间上本的范围，在这个闭区间上,符合条件符合条件 cosx=a(-1a1）的角）的角x，叫做实数，叫做实数a的的反余弦反余弦. 记作记作arccosx,，即，即x=arccosa， 其中其中x 0,，且，且a=cosx. y x 根据正弦函数的图象和性质寻找区间使其满足：根据正弦函数的图象和性质寻找区间使其满足： 使符合条件的使符合条件的 的角

13、的角x有且只有一个，而且有且只有一个，而且 包括锐角包括锐角 ax sin)11( a 已知三角函数值求角已知三角函数值求角 在闭区间在闭区间 上，符合条件上，符合条件 的角的角x，叫做，叫做 实数实数 a 的反正弦，记作的反正弦，记作 ，即，即 ，其中，其中 ， 且且 2 , 2 )11(sin aax aarcsinaxarcsin 2 , 2 x xasin aarcsin 的意义：的意义： 首先首先 表示一个角，角的正弦值为表示一个角，角的正弦值为a ，即，即 角的范围是角的范围是 aarcsin 2 , 2 arcsin a )11( a aa )sin(arcsin 已知三角函数值

14、求角已知三角函数值求角 aarccos的意义：的意义： 首先首先 表示一个角，角的余弦值为表示一个角，角的余弦值为a ，即，即 角的范围是角的范围是 aarccos , 0arccos a )11( a aa )cos(arccos 根据余弦函数的图象和性质寻找区间使其满足：根据余弦函数的图象和性质寻找区间使其满足： 使符合条件的使符合条件的 的角的角x有且只有一个，而且有且只有一个，而且 包括锐角包括锐角 ax cos)11( a y x 在闭区间在闭区间 上，符合条件上，符合条件 的角的角x，叫做，叫做 实数实数 a 的反余弦，记作的反余弦，记作 ，即，即 ，其中，其中 ， 且且 , 0

15、)11(cos aax aarccosaxarccos , 0 x xacos 已知三角函数值求角已知三角函数值求角 练习：练习： （1） 表示什么意思？表示什么意思？ 2 1 arcsin 表示表示 上正弦值等于上正弦值等于 的那个角，即角的那个角，即角 ， 2 , 2 2 1 6 2 1 arcsin 62 1 arcsin 故故 （2）若）若 2 , 2 , 2 3 sin xx，则，则x= 3 ) 2 3 arcsin( （3）若）若 2 , 2 , 7 . 0sin xx ，则，则x=7 . 0arcsin 可知符合条件的角有且只有一个，可知符合条件的角有且只有一个， 而且角为钝角，

16、而且角为钝角， 解解： （1）由于余弦函数在闭区间）由于余弦函数在闭区间 上是减函数和上是减函数和 7660. 0cos x , 0 已知三角函数值求角已知三角函数值求角 例例2. （1）已知）已知 ，且，且 ，求，求x.7660. 0cos x, 0 x （2）已知）已知 ，且，且 ，求，求x 的取值集合的取值集合7660. 0cos x2 , 0 x 7660. 0cos)cos( xx 可得可得)40( 9 2 x 9 7 9 2 x，所以，所以 利用计算器并由：利用计算器并由： （2）因为）因为 ，所以，所以x是第二象限或第三是第二象限或第三 象限角象限角 07660. 0cos x

17、故故x 的集合是的集合是 9 11 , 9 7 9 7 cos) 9 2 cos() 9 2 cos( 可知符合条件的角有且只有两个，即第二象限角可知符合条件的角有且只有两个，即第二象限角 或或 第三象限角第三象限角 9 7 9 11 由余弦函数的单调性和由余弦函数的单调性和 已知三角函数值求角已知三角函数值求角 练习：练习： （1）已知）已知 ， ，求，求x 2 1 cos x2 , 0 x 3 5 3 或或 x （2）已知）已知 ， ，求，求x的取值集合的取值集合 61coscos x2 , 0 x （3）已知）已知 ， ，求，求x的取值集合的取值集合4665. 0cos x2 , 0 x

18、 299,61 )4665. 0arccos(2),4665. 0arccos( 反正弦函数反正弦函数 x 2 2 2 2 2 3 2 3 y 1-1 xyarcsin 定义域：定义域： 值域：值域： 1 , 1 2 , 2 l 反三角函数反三角函数 反余弦函数反余弦函数 x 2 2 2 2 2 3 2 3 y 1-1 xyarccos 定义域：定义域： 值域：值域： 1 , 1 , 反正切函数反正切函数 xyarctan 定义域：定义域： 值域：值域： ),( ) 2 , 2 ( x 2 2 2 3 2 3 y xarcycot 定义域：定义域： 值域：值域： ),( ), 0( 反余切函数

19、反余切函数 x 2 2 2 3 y 2 的取值。求例：已知xxx,2 , 0, 2 1 cos X Y O 1 -1 2 2 2 3 2 1 3 3 2 3 4 3 4 3 2 : 和key 练习练习 ._),20( 3 3 tan) 1 (所有可能的值是则若xxx 6 7 6 或 问题1: 2 2 sinx已知 ?x角 k2 4 3 k2 4 2 2 sinx若 kx2 4 则 kx2 4 3 或者 ., 2 , 2 , 2 2 sin:的取值则求且若问xxx : , 2 , 2 只有一个值因此满足条件的 区间是正弦函数的一个单调 x 4 x 问题: ., 2 2 sin的集合分别在以下范围

20、内的角求角已知xx 2 , 0)4( , 0)3( 2 , 2 )2( 2 , 0) 1 ( x x x x X O 2 2 1 -1 2 2 4 Y 4 x(1) 问题: ., 2 2 sin的集合分别在以下范围内的角求角已知xx 2 , 2 )2( x X O 2 2 1 -1 2 2 4 Y 4 x 问题: ., 2 2 sin的集合分别在以下范围内的角求角已知xx ,0)3(x 4 3 4 或x X O 2 2 1 -1 2 2 4 Y 4 3 4 4 问题: ., 2 2 sin的集合分别在以下范围内的角求角已知xx 2,0)4(x 4 3 4 或x X O 2 2 1 -1 2 2 4 Y 4 3 4 4 因此已知三角函数值求角时一定要注意角因此已知三角函数值求角时一定要注意角 的范围。的范围。 （1）sinX= ， 且X 0 ， 2 2 2 （2）sinX= ， 且X ， 2 2 2 2 （3）sinX= ， 且X ， 0 2 2 （4）sinX= ， 且X ， 2 2 2 0 所求角X的集合是 ， 4 4 3 所求角X的集合是 ， 4 3 4 所求角X的集合是 4 所求的角X的集合是 4 因此已知三角函数值求角时一定要注意角 的范围。 已知三角函