万能公式和数列证明答题模板.doc

1、万能公式答题模板（亦称为Sn 法）必备理论：（整体代换）数列 ann2 2n ，则S1=3n-1 3（ n 1）2 2 （ n 1） =3 n2 8n+ 5 中， S 3n 2=1， S【题头】数列 an 中， Sn 与 a n（或 Sn 与 n）的关系式形式，求 a n 的表达式（通项公式）【模板】当 n=1 时， a1=S1=a1=当 n 2 时， an =S n Sn-1an =（代题头，自身成换变Sn-1 ） = 化简为最简形式（* ）（ * ）部分经常见到的为四种形式【形式一 】an= 关于 n 的表达式（ # ） - 譬如 an =2n-1结论答法一：经检验 n=1时，满足a n，

2、数列 a n 的通项公式为（#）结论答法二：经检验 n=1a 的值，1时，不满足an， 数列 a n 的通项公式为n 21（# ），n【形式二 A 】an= a n-1+常数-譬如 a n = a n-1 +1数列 a n 为等差数列，且公差为常数an = a 1+ （ n 1） 公差【形式二 B】 a n+1 = 常数 a n-譬如 a n= 2a n-1数列 a n 为等比数列，且公比为常数an = a 1 公比n-1【形式三】 an= Aa n-1+B 或者- 譬如 an = 2a n-1 +3（an+常数 ） = A （ an-1 + 常数）B常数为A1数列 an +常数 为等比数列，

3、且公比为Aan +常数 =( a 1+常数 )An-1 an=【形式四 A 】 an= a n-1+ f （ n）譬如 a n= a n-1 +n （方法：累和法）a2 a1 = f （ 2 ）【形式四B 】 an = f （ n） a n-1譬如 an = na n-1（方法：累积法）a 2 = f （ 2 ）a1a3 a2 = f （ 3）a= f （ 3 ）3a2a4 a3 = f （ 4）a= f （ 4 ）4a3?aan an-1 = f （ n）an = f （ n）1n将以上各式相加，整理得将以上各式相乘，整理得an a1 = f （ 2） + f （ 3） +?an = f （

4、 2 ） f （ 3） ?f （ n）+ f （ n）a1an=an=证明等差（比）数列模板必备理论：（整体代换）数列 an 中， a n 3n2 2n ，则a=3 2=1 ， a 3 （ n 1 ） 2 2 （ n 1） =3 n2 8n+ 51n-1【题头1 】数列 an 中，条件 A, 条件 B ，条件C ， 求证：数列b n是等差（比）数列【模板说明】由定义出发，倒序法进行证明，即证明n1， b n+1n或 b = 常数证明 n 2 ， bn bn-1 =常数，通过逆推：条件 C, 条件 B,条件 A, 得到常数，即证明等差（比）数列【模板】自身替换是指，将n 换成 n+1 ，或 n

5、换成 n-1（ 1）等差数列bn+1 bn=自身代换代入题头=不动代入题头= 常数，结论（抄题）如果化简困难：代入n=1 ，求解常数（ 2）等差数列bn bn-1 =代入题头自身代换=代入题头 不动=常数，结论（抄题）如果化简困难：代入n=2，求解常数（ 3）等比数列b1自身代换不动，结论（抄题）n=常数b代入题头代入题头n（ 4）等比数列b代入题头代入题头n=常数 ，结论（抄题）b1自身代换不动n【样题】数列aa 1a3a2n 3 n 2b ann，n1n，求证：数列 b 是等比数列满足1n， nn【分析】由于出现的为n 和 n-1 ，所以采用（4）完成模版证明证明：ba n3a2n 3 n

6、数列 bnnn 1，b1 =3n n 是等比数列an - 1- 1n 是等比数列-1-（）a（ n）n 1n温馨提示：如果常数你化不出来，可以代入n=2 ，利用a1 进行求解常数【练习1 】数列aa15n*- 3n，a12a3 nN ，n满足n求证：数列n是等比数列nnb ab n【练习2 】数列na满足11，a 2a12 n 2，求证：数列2aannn是等差数列；nn【题头2 】数列 an 中， Sn 与 an（或 Sn 与 n ）的关系式形式，求证：数列a n 是等差数列【模板】万能公式法（也叫作Sn 法）当 n=1时， a 1=S 1 =a1 =当 n 2 时， an =S n Sn-1

7、an =（代题头，自身变换成Sn-1 ）， 化简（会出现两种情况）【形式A 】an= a n-1+常数-譬如 an = a n-1+1数列 a n 为等差数列，且公差为 常数 an= a 1+（ n 1）公差【形式二B】 an+1 = 常数 a n-譬如 an= 2a n-1抢分环节n-1数列 a n 为等比数列，且公比为常数 an= a 1公比【样题】数列a 的前 n 项和S ，且 Sn1a 等比数列a1,证明数列nnnn31a 1 a 1= -1证明：当 n=1时， a1=S 1 =-(1分 )123当 n 2时， an =S n Sn-1 -(1分 )111a1an =a1 a1aan-

8、(2分 )nn- 133nn 1a22n1 数列等比数列分 )11（1n-1 = （ -1-(1且公比为 an=-a-2-）2n22【练习1 】数列aS的前 n1 ，正整数n 对应的n,a n , Sn 成等差数列 .项和为n ， a1nn）-(1分 )证明Sn2n成等比数列【练习2 】数列a，Sn项和，且*S4a 2 n N ， a 1nn 是它的前11nn（）设*b是等比数列；ba 1 2an N，求证：数列nnnn（）设ac 是等差数列；nnc，求证：数列nn2【练习3 】数列a前 n 和 Sn1a是等差数列中，a1( n 1)( a1) 1，求证：数列n3，n2n【练习4 】数列a 中， a15,*an 1 是等比数列S 1S n 5(n N ) ，证明数列n