独立性检验的基本思想及其初步应用-课件(人教A版选修2-3)精编版

1、 2 2 定定量量变变量量回回归归分分析析（画画散散点点图图、相相关关系系数数r r、 变变量量 相相关关指指数数R R 、残残差差分分析析） 分分类类变变量量 研究两个变量的相关关系： 定量变量：体重、身高、温度、考试成绩等等。定量变量：体重、身高、温度、考试成绩等等。 变量 分类变量：性别、是否吸烟、是否患肺癌、变量 分类变量：性别、是否吸烟、是否患肺癌、 宗教信仰、国籍等等。宗教信仰、国籍等等。 两种变量： 独立性检验独立性检验 本节研究的是两个分类变量的独立性检验问题。 在日常生活中，我们常常关心在日常生活中，我们常常关心分类变量之间是否有关系分类变量之间是否有关系： 例如，吸烟是否与

2、患肺癌有关系？例如，吸烟是否与患肺癌有关系？ 性别是否对于喜欢数学课程有影响？等等。性别是否对于喜欢数学课程有影响？等等。 吸烟与肺癌列联表吸烟与肺癌列联表 不患肺癌不患肺癌患肺癌患肺癌总计总计 不吸烟不吸烟77757775424278177817 吸烟吸烟20992099494921482148 总计总计98749874919199659965 为了调查吸烟是否对肺癌有影响，某肿瘤研究所随机为了调查吸烟是否对肺癌有影响，某肿瘤研究所随机 地调查了地调查了99659965人，得到如下结果（单位：人）人，得到如下结果（单位：人） 列联表列联表 在不吸烟者中患肺癌的比重是在不吸烟者中患肺癌的比重是

3、 在吸烟者中患肺癌的比重是在吸烟者中患肺癌的比重是 说明：吸烟者和不吸烟者患肺癌的可能性存在差异，吸烟者患说明：吸烟者和不吸烟者患肺癌的可能性存在差异，吸烟者患 肺癌的可能性大。肺癌的可能性大。 0.54%0.54% 2.28%2.28% 探究探究 不患肺癌不患肺癌患肺癌患肺癌总计总计 不吸烟不吸烟7775427817 吸烟吸烟2099492148 总计总计9874919965 1、列联表 2、三维柱形图3、二维条形图 不患肺癌 患肺癌 吸烟 不吸烟 不患肺癌 患肺癌 吸烟不吸烟 0 8000 7000 6000 5000 4000 3000 2000 1000 从三维柱形图能清晰看出从三维柱

4、形图能清晰看出 各个频数的相对大小。各个频数的相对大小。 从二维条形图能看出，吸烟者中从二维条形图能看出，吸烟者中 患肺癌的比例高于不患肺癌的比例患肺癌的比例高于不患肺癌的比例。 通过图形直观判断两个分类变量是否相关： 不吸烟吸烟 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 不吸烟不吸烟吸烟吸烟 患肺癌 比例 不患肺癌 比例 4、等高条形图 等高条形图更清晰地表达了两种情况下患肺癌的比例。 上面我们通过分析数据和图形，得到的直观印象是吸烟和上面我们通过分析数据和图形，得到的直观印象是吸烟和 患肺癌有关，那么事实是否真的如此呢？患肺癌有关，那么事实是否真的如此

5、呢？这需要用统计观点这需要用统计观点 来考察这个问题。来考察这个问题。 现在想要知道能够以多大的把握认为现在想要知道能够以多大的把握认为“吸烟与患肺癌有关吸烟与患肺癌有关”， 为此先假设为此先假设 H0：吸烟与患肺癌没有关系：吸烟与患肺癌没有关系. 不患肺癌不患肺癌患肺癌患肺癌总计总计 不吸烟不吸烟aba+b 吸烟吸烟cdc+d 总计总计a+cb+da+b+c+d 把表中的数字用字母代替，得到如下用字母表示的列联表把表中的数字用字母代替，得到如下用字母表示的列联表 用用A表示不吸烟，表示不吸烟，B表示不患肺癌，则表示不患肺癌，则“吸烟与患肺癌没有关系吸烟与患肺癌没有关系” 等价于等价于“吸烟与

6、患肺癌独立吸烟与患肺癌独立”，即假设，即假设H0等价于等价于 P(AB)=P(A)P(B). 因此因此|ad-bc|越小，说明吸烟与患肺癌之间关系越弱；越小，说明吸烟与患肺癌之间关系越弱； |ad-bc|越大，说明吸烟与患肺癌之间关系越强。越大，说明吸烟与患肺癌之间关系越强。 不患肺癌不患肺癌患肺癌患肺癌总计总计 不吸烟不吸烟aba+b 吸烟吸烟cdc+d 总计总计a+cb+da+b+c+d adbc即 a aa a+ +b ba a+ +c c n nn nn n a+ba+b P(A),P(A), n n a+ca+c P(B),P(B), n n . a a P(AB)P(AB) n n

7、 其中为样本容量，即n = a+b+c+dn = a+b+c+d 在表中，在表中，a恰好为事件恰好为事件AB发生的频数；发生的频数；a+b和和a+c恰好分别为事恰好分别为事 件件A和和B发生的频数。由于频率接近于概率，所以在发生的频数。由于频率接近于概率，所以在H0成立的条成立的条 件下应该有件下应该有 (a+b+c+d)a(a+b)(a+c), 为了使不同样本容量的数据有统一的评判标准，基于上述分为了使不同样本容量的数据有统一的评判标准，基于上述分 析，我们构造一个随机变量析，我们构造一个随机变量-卡方统计量卡方统计量 2 2 () , ()()()() 其中为样本容量。 n adbc K

8、ab cdac bd nabcd （1） 若若 H0成立，即成立，即“吸烟与患肺癌没有关系吸烟与患肺癌没有关系”，则，则K2应很小。应很小。 根据表根据表3-7中的数据，利用公式（中的数据，利用公式（1）计算得到）计算得到K2的观测值为：的观测值为： 那么这个值到底能告诉我们什么呢？那么这个值到底能告诉我们什么呢？ 2 42 2099 56.632 7817 2148 9874 91 k 9965(7775 49） （2） 独立性检验独立性检验 在在H0成立的情况下，统计学家估算出如下的概率成立的情况下，统计学家估算出如下的概率 即在即在H0成立的情况下，成立的情况下，K2的值大于的值大于6.

9、635的概率非常小，近似的概率非常小，近似 于于0.01。 2 (6.635)0.01.P K （2） 也就是说，在也就是说，在H0成立的情况下，对随机变量成立的情况下，对随机变量K2进行多次观进行多次观 测，观测值超过测，观测值超过6.635的频率约为的频率约为0.01。 思考 2 0 6.635?KH如果，就断定不成立，这种判断出错的可能性有多大 答：判断出错的概率为0.01。 2 0 0 9965 7775 49 42 2099 56632 7817 2148 9874 91 () .k H H 现现在在观观测测值值太太大大了了， 在在成成立立的的情情况况下下能能够够出出现现这这样样的的

10、观观测测值值的的概概率率不不超超过过0 0. .0 01 1， 因因此此我我们们有有9 99 9% %的的把把握握认认为为不不成成立立，即即有有9 99 9% %的的把把握握认认为为“吸吸烟烟 与与患患肺肺癌癌有有关关系系”。 判断判断 是否成立的规则是否成立的规则 0 H 如果如果 ，就判断，就判断 不成立，即认为吸烟与不成立，即认为吸烟与 患肺癌有关系；否则，就判断患肺癌有关系；否则，就判断 成立，即认为吸烟成立，即认为吸烟 与患肺癌有关系。与患肺癌有关系。 6.635k 0 H 0 H 独立性检验的定义独立性检验的定义 上面这种利用随机变量上面这种利用随机变量K2来判断来判断“两个分类变

11、两个分类变 量有关系量有关系”的方法，称为两个分类变量的的方法，称为两个分类变量的独立性检独立性检 验验。 在该规则下，把结论在该规则下，把结论“ 成立成立”错判成错判成“ 不不 成立成立”的概率不会差过的概率不会差过 0 H 0 H 2 (6.635)0.01,P K 即有即有99%的把握认为的把握认为 不成立。不成立。 0 H 独立性检验的基本思想（类似独立性检验的基本思想（类似反证法反证法） (1)(1)假设结论不成立假设结论不成立, ,即即 “两个分类变量没有关系两个分类变量没有关系”. . 0 :H (2)(2)在此假设下我们所构造的随机变量在此假设下我们所构造的随机变量 K K2

12、2 应该很小应该很小, ,如果由如果由 观测数据计算得到观测数据计算得到K K2 2的观测值的观测值k k很大很大, ,则在一定可信程度上则在一定可信程度上 说明说明 不成立不成立. .即在一定可信程度上认为即在一定可信程度上认为“两个分类变量有两个分类变量有 关系关系”；如果；如果k k的值很小，则说明由样本观测数据没有发现反的值很小，则说明由样本观测数据没有发现反 对对 的充分证据。的充分证据。 0 H 0 H (3)(3)根据随机变量根据随机变量K K2 2的含义的含义, ,可以通过评价该假设不合理的可以通过评价该假设不合理的 程度程度, ,由实际计算出的由实际计算出的, ,说明假设不合

13、理的程度为说明假设不合理的程度为1%,1%,即即“两两 个分类变量有关系个分类变量有关系”这一结论成立的可信度为约为这一结论成立的可信度为约为99%.99%. 怎样判断怎样判断K K2 2的观测值的观测值k是大还是小呢？是大还是小呢？ 这仅需要确定一个正数这仅需要确定一个正数 ，当，当 时就认为时就认为K K2 2的观测的观测 值值 k大。此时相应于大。此时相应于 的判断规则为：的判断规则为： 0 k 0 kk 0 k 如果如果 ，就认为，就认为“两个分类变量之间有关系两个分类变量之间有关系”；否则；否则 就认为就认为“两个分类变量之间没有关系两个分类变量之间没有关系”。 0 kk 0 k -

14、临界值临界值 按照上述规则，把按照上述规则，把“两个分类变量之间没有关系两个分类变量之间没有关系”错误的判断错误的判断 为为“两个分类变量之间有关系两个分类变量之间有关系”的概率为的概率为P( ). 2 0 Kk 在实际应用中，我们把在实际应用中，我们把 解释为有解释为有 的把握认为的把握认为“两个分类变量之间有关系两个分类变量之间有关系”；把；把 解释为解释为 不能以不能以 的把握认为的把握认为“两个分类变量两个分类变量 之间有关系之间有关系”，或者样本观测数据没有提供，或者样本观测数据没有提供“两个分类变量两个分类变量 之间有关系之间有关系”的充分证据。的充分证据。 0 kk 2 (1()

15、 100%P Kk 0 kk 2 (1() 100%P Kk 思考：思考： 利用上面的结论，你能从列联表的三维柱形图中利用上面的结论，你能从列联表的三维柱形图中 看出两个分类变量是否相关呢？看出两个分类变量是否相关呢？ 表表1-11 2x2联表联表 一般地，假设有两个分类变量一般地，假设有两个分类变量X和和Y，它们的值域，它们的值域 分别为分别为x1,x2和和y1,y2,其样本频数列联表（称为其样本频数列联表（称为2x2列列 联表）为：联表）为： y1y2总计总计 x1aba+b x2cdc+d 总计总计a+cb+da+b+c+d 若要判断的结论为：H1：“X与Y有关系”，可以 按如下步骤判断

16、H1成立的可能性： a ab c cd 2、可以利用独立性检验来考察两个分类变量是否有关系，并、可以利用独立性检验来考察两个分类变量是否有关系，并 且能较精确地给出这种判断的可靠程度。且能较精确地给出这种判断的可靠程度。 1、通过三维柱形图和二维条形图，可以粗略地判断两个变、通过三维柱形图和二维条形图，可以粗略地判断两个变 量是否有关系量是否有关系,但是这种判断无法精确地给出所得结论的可靠但是这种判断无法精确地给出所得结论的可靠 程度。程度。 （1）在三维柱形图中，）在三维柱形图中， 主对角线上两个柱形高度的乘积主对角线上两个柱形高度的乘积 ad与副对角线上两个柱形高度的乘积与副对角线上两个柱

17、形高度的乘积bc相差越大，相差越大，H1成立的成立的 可能性就越大。可能性就越大。 （2）在二维条形图中）在二维条形图中,可以估计满足条件可以估计满足条件X=x1的个体中具的个体中具 有有Y=y1的个体所占的比例的个体所占的比例 ，也可以估计满足条件，也可以估计满足条件X=x2 的个体中具有的个体中具有Y=y1的个体所占的比例的个体所占的比例 。两个比例相差越。两个比例相差越 大，大，H1成立的可能性就越大。成立的可能性就越大。 a ab c cd 在实际应用中，要在获取样本数据之前通过下表确定临界值：在实际应用中，要在获取样本数据之前通过下表确定临界值： 0.500.400.250.150.

18、10 0.4550.7081.3232.0722.706 0.050.0250.0100.0050.001 3.8415.0246.6367.87910.828 0) k 2 P(K 0 k 0 k 0) k 2 P(K 具体作法是：具体作法是： (1)根据实际问题需要的可信程度确定临界值根据实际问题需要的可信程度确定临界值 ； (2)利用公式利用公式(1)，由观测数据计算得到随机变量，由观测数据计算得到随机变量 的观测值；的观测值； (3)如果如果 ，就以，就以 的把握认为的把握认为“X 与与Y有关系有关系”；否则就说样本观测数据没有提供；否则就说样本观测数据没有提供“X与与Y有关系有关系”

19、 的充分证据。的充分证据。 0 k 2 K 0 kk 2 0 (1() 100%P Kk 例例1 在某医院，因为患心脏病而住院的在某医院，因为患心脏病而住院的665名男性病人中，有名男性病人中，有214 人秃顶；而另外人秃顶；而另外772名不是因为患心脏病而住院的男性病人中有名不是因为患心脏病而住院的男性病人中有 175人秃顶。分别利用图形和独立性检验方法判断秃顶与患心脏人秃顶。分别利用图形和独立性检验方法判断秃顶与患心脏 病是否有关系？你所得的结论在什么范围内有效？病是否有关系？你所得的结论在什么范围内有效？ 解：根据题目所给数据得到如下列联表：解：根据题目所给数据得到如下列联表： 患心脏病

20、患心脏病不患心脏病不患心脏病总计总计 秃顶秃顶214175389 不秃顶不秃顶4515971048 总计总计6657721437 相应的三维柱形图如图所相应的三维柱形图如图所 示，比较来说，底面副对示，比较来说，底面副对 角线上两个柱体高度的乘角线上两个柱体高度的乘 积要大一些，因此可以在积要大一些，因此可以在 某种程度上认为某种程度上认为“秃顶与秃顶与 患心脏病有关患心脏病有关”。 秃头 不秃头 例例1 在某医院，因为患心脏病而住院的在某医院，因为患心脏病而住院的665名男性病人中，有名男性病人中，有214 人秃顶；而另外人秃顶；而另外772名不是因为患心脏病而住院的男性病人中有名不是因为患

21、心脏病而住院的男性病人中有 175人秃顶。分别利用图形和独立性检验方法判断秃顶与患心脏人秃顶。分别利用图形和独立性检验方法判断秃顶与患心脏 病是否有关系？你所得的结论在什么范围内有效？病是否有关系？你所得的结论在什么范围内有效？ 解：根据题目所给数据得到如下列联表：解：根据题目所给数据得到如下列联表： 患心脏病患心脏病不患心脏病不患心脏病总计总计 秃顶秃顶214175389 不秃顶不秃顶4515971048 总计总计6657721437 根据联表根据联表1-13中的数据，得到中的数据，得到 2 2 1437 (214 597 175 451) 16.3736.635. 389 1048 665

22、 772 K 所以有所以有99%的把握认为的把握认为“秃顶患心脏病有关秃顶患心脏病有关”。 例1.秃头与患心脏病 在解决实际问题时，可以直接 计算K 2的观测值k进行独立检 验，而不必写出K2的推导过程 。 本例中的边框中的注解，主要 是使得学生们注意统计结果的 适用范围（这由样本的代表性 所决定）。 因为这组数因为这组数 据来自住院据来自住院 的病人，因的病人，因 此所得到的此所得到的 结论适合住结论适合住 院的病人群院的病人群 体体 练习练习 为考察高中生的性别与是否喜欢数学课程之间的关系，为考察高中生的性别与是否喜欢数学课程之间的关系， 在某城市的某校高中生中随机抽取在某城市的某校高中生

23、中随机抽取300名学生，得到如下联表：名学生，得到如下联表： 喜欢数学课程喜欢数学课程不喜欢数学课程不喜欢数学课程总计总计 男男3785122 女女35143178 总计总计72228300 由表中数据计算由表中数据计算K2的观测值的观测值k 4.514。能够以。能够以95%的把握认为高的把握认为高 中生的性别与是否喜欢数学课程之间有关系吗？请详细阐述得出中生的性别与是否喜欢数学课程之间有关系吗？请详细阐述得出 结论的依据。结论的依据。 解：可以有解：可以有95%以上的把握认为以上的把握认为“性别与喜欢数学课程之间有关系性别与喜欢数学课程之间有关系”。 分别用分别用a,b,c,d表示样本中喜欢

24、数学课的男生人数、不喜欢数学课的男生表示样本中喜欢数学课的男生人数、不喜欢数学课的男生 人数、喜欢数学课的女生人数、不喜欢数学课的女生人数。人数、喜欢数学课的女生人数、不喜欢数学课的女生人数。 如果性别与是否喜欢数学课有关系，则男生中喜欢数学课的比例如果性别与是否喜欢数学课有关系，则男生中喜欢数学课的比例 与与 女生中喜欢数学课的比例女生中喜欢数学课的比例 应该相差很多，即应该相差很多，即 a ab c cd ()() acadbc abcdab cd ()()() ()() abcd ab cd ac bd 练习练习 为考察高中生的性别与是否喜欢数学课程之间的关系，为考察高中生的性别与是否喜

25、欢数学课程之间的关系， 在某城市的某校高中生中随机抽取在某城市的某校高中生中随机抽取300名学生，得到如下联表：名学生，得到如下联表： 喜欢数学课程喜欢数学课程不喜欢数学课程不喜欢数学课程总计总计 男男3785122 女女35143178 总计总计72228300 由表中数据计算由表中数据计算K2的观测值的观测值k 4.514。能够以。能够以95%的把握认为高的把握认为高 中生的性别与是否喜欢数学课程之间有关系吗？请详细阐述得出中生的性别与是否喜欢数学课程之间有关系吗？请详细阐述得出 结论的依据。结论的依据。 ()()() ()() abcd ab cd ac bd 2 2 () , ()()()() n adbc K