第二章二次函数二次函数

1、1 第二章第二章 二次函数二次函数 二次函数二次函数 2 1课堂讲解课堂讲解 u二次函数的定义二次函数的定义 u二次函数的一般形式及函数值二次函数的一般形式及函数值 u利用二次函数的表达式表示实际问题利用二次函数的表达式表示实际问题 2课时流程课时流程 逐点逐点 导讲练导讲练 课堂课堂 小结小结 作业作业 提升提升 3 我们已经学习了哪些函数？它们的解析式是什么？我们已经学习了哪些函数？它们的解析式是什么？ 回顾旧知回顾旧知 一次函数一次函数 ykxb(k0) 正比例函数正比例函数 ykx (k0) 反比例函数反比例函数 (0). k yk x 一条直线一条直线 双曲线双曲线 4 导入新知导入

2、新知 正方体的六个面是全等的正方形正方体的六个面是全等的正方形(如图如图)，设正，设正 方体的棱长为方体的棱长为x，表面积为，表面积为y. 显然，对于显然，对于x的的 每一个值，每一个值，y都有一个对应值，即都有一个对应值，即y是是x的函数，的函数， 它们的具体关系可以表示为它们的具体关系可以表示为 y6x2. 5 这个函数与我们学过的函数不同，其中自变这个函数与我们学过的函数不同，其中自变 量量x的最高次数是的最高次数是2. 这类函数具有哪些性质呢？这就是本章要学这类函数具有哪些性质呢？这就是本章要学 习的二次函数习的二次函数 6 1 知识点知识点二次函数的定义二次函数的定义 知知1 1导导

3、 问题问题1 1 n个球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛，比个球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛，比 赛的场次数赛的场次数m与球队数与球队数n有什么关系？有什么关系？ 比赛的场次数比赛的场次数 m n(n1)， 即即m n2 n. 1 2 1 2 1 2 7 知知1 1导导 问题问题2 2 某种产品现在的年产量是某种产品现在的年产量是20 t，计划今后两年，计划今后两年 增加产量如果每年都比上一年的产量增加增加产量如果每年都比上一年的产量增加x倍，倍， 那么两年后这种产品的产量那么两年后这种产品的产量y将随计划所定的将随计划所定的x的的 值而确定，值而确定，y与与x之间的关系应怎样表示？之

4、间的关系应怎样表示？ 两年后的产量两年后的产量 y20(1x)2， 即即y20 x240 x20. 8 知知1 1导导 思考：思考：函数函数y=6x2，m n2 n, y20 x240 x20有什么共同点？有什么共同点？ 1 2 1 2 1、函数解析式是整式；、函数解析式是整式； 2、化简后自变量的最高次数是、化简后自变量的最高次数是2； 3、二次项系数不为、二次项系数不为0. 可以发现可以发现 9 一般地，形如一般地，形如yax2bxc(a，b，c是常数，是常数， a0)的函数，叫做的函数，叫做二次函数二次函数其中，其中，x是自变是自变 量，量，a，b，c分别是函数解析式的分别是函数解析式的

5、二次项系数二次项系数、 一次项系数一次项系数和和常数项常数项 知知1 1讲讲 定义定义 10 下列函数中，哪些是二次函数？并指出二次函下列函数中，哪些是二次函数？并指出二次函 数的二次项系数、一次项系数和常数项数的二次项系数、一次项系数和常数项 (1)y7x1； (2)y5x2； (3)y3a32a2； (4)yx 2 x； (5)y3(x2)(x5)； (6)yx2 . 知知1 1讲讲 2 1 x 例例1 11 知知1 1讲讲 解：解： (1)y7x1； (2)y5x2； (3)y3a32a2； 自变量的最高次数是自变量的最高次数是1 自变量的最高次数是自变量的最高次数是2 自变量的最高次数

6、是自变量的最高次数是3 (4)yx 2 x； x 2不是整式 不是整式 (5)y3(x2)(x5)； 整理得到整理得到y3x221x30，是二次函数，是二次函数 (6)yx2 不是整式不是整式 2 1 x 2 1 x 12 知知1 1讲讲 （来自（来自点拨点拨） 解：解： 二次项系数二次项系数 二次项系数二次项系数 一次项系数一次项系数常数项常数项 (2) y5x2 所以所以y5x2的二次项系数为的二次项系数为5，一次项系，一次项系 数为数为0，常数项为，常数项为0. (5)化为一般式，得到化为一般式，得到y3x221x30， 所以所以y3(x2)(x5)的二次项系数为的二次项系数为3， 一次

7、项系数为一次项系数为21，常数项为，常数项为30. 13 下列函数中下列函数中(x，t是自变量是自变量)，哪些是二次函数，哪些是二次函数? 知知1 1练练 （来自（来自教材教材） 1 ， ， 223 11 325 22 yxyxx ， 22 2215yxstt. 解：解： 是是 二二 次次 函函 数数 ； 2 1 3 2 yx 是是 二二 次次 函函 数数 . . 其其 余余 则则 不不 是是 . . 2 15stt 14 2 (中考中考兰州兰州)下列函数表达式中，一定为二次函数的是下列函数表达式中，一定为二次函数的是() Ay3x1 Byax2bxc Cs2t22t1 Dyx2 3 下列各式

8、中，下列各式中，y是是x的二次函数的是的二次函数的是() Ay Byx2 1 Cy2x21 Dy 4 下列各式中，下列各式中，y是是x的二次函数的是的二次函数的是() Ayax2bxc Bx2y20 Cy2ax2 Dx2y210 知知1 1练练 （来自（来自典中点典中点） x 1 x 2 1 x 1 x 2 1 C C B 15 5 若函数若函数y(m2)x24x5(m是常数是常数)是二次函数，是二次函数， 则则() Am2 Bm2 Cm3 Dm3 6 若若y(m1)x m2 1是二次函数，则 是二次函数，则m的值是的值是() A1 B1 C1或或1 D2 知知1 1练练 （来自（来自典中点典

9、中点） B B 16 7 对于任意实数对于任意实数m，下列函数一定是二次函数的是，下列函数一定是二次函数的是 () Aymx23x1 By(m1)x2 Cy(m1)2x2 Dy(m21)x2 知知1 1练练 （来自（来自典中点典中点） D 17 2知识点知识点二次函数的一般形式及函数值二次函数的一般形式及函数值 知知2 2导导 一般地，任何一个二次函数，经过整理，都能一般地，任何一个二次函数，经过整理，都能 化成如下形式：化成如下形式：y=ax+bx+c0 (a0) 这种形式叫做二这种形式叫做二 次函数的一般形式次函数的一般形式 . 为什么规定为什么规定a0，b， c可以为可以为0吗？吗？ 1

10、8 知知2 2讲讲 二次函数的项和各项系数二次函数的项和各项系数 y=a x+b x+ c 二次项二次项 系数系数 一次项系一次项系 数数 a0 二次项二次项一次项一次项 常数项常数项 指出方程各项的指出方程各项的 系数时要带上前系数时要带上前 面的符号面的符号. 19 知知2 2讲讲 函数值：函数值：确定一个确定一个x的值，代入二次函数表达式中的值，代入二次函数表达式中 所得的所得的y值为函数值值为函数值. 20 例例2 当当x2和和1时，对于二次函数时，对于二次函数yx2x2 对应的函数值是多少？对应的函数值是多少？ 知知2 2讲讲 当当x2时，时，y4(2)24， 当当x1时，时，y11

11、2 2. 所以，当所以，当x2时，函数值时，函数值y4， 当当x1时，函数值时，函数值y 2. 解：解： 21 已知二次函数已知二次函数y13x5x2，则它的二次项系，则它的二次项系 数数a，一次项系数，一次项系数b，常数项，常数项c分别是分别是() Aa1，b3，c5 Ba1，b3，c5 Ca5，b3，c1 Da5，b3，c1 知知2 2练练 （来自（来自典中点典中点） 1 D 22 关于函数关于函数y(50010 x)(40 x)，下列说法不正，下列说法不正 确的是确的是() Ay是是x的二次函数的二次函数 B二次项系数是二次项系数是10 C一次项是一次项是100 D常数项是常数项是20

12、000 知知2 2练练 （来自（来自典中点典中点） 2 C 23 已知已知x是实数，且满足是实数，且满足(x2)(x3) 0， 则相应的函数则相应的函数yx2x1的值为的值为() A13或或3 B7或或3 C3 D13或或7或或3 知知2 2练练 （来自（来自典中点典中点） 3 1x C 24 3 知识点知识点利用二次函数的表达式表示实际问题利用二次函数的表达式表示实际问题 知知3 3讲讲 根据实际问题列二次函数的解析式，一般要经历根据实际问题列二次函数的解析式，一般要经历 以下几个步骤：以下几个步骤： (1)确定自变量与函数代表的实际意义；确定自变量与函数代表的实际意义； (2)找到自变量与

13、因变量之间的等量关系，根据等找到自变量与因变量之间的等量关系，根据等 量关系列出方程或等式量关系列出方程或等式 (3)将方程或等式整理成二次函数的一般形式将方程或等式整理成二次函数的一般形式 25 例例3 填空：填空： (1)已知圆柱的高为已知圆柱的高为14 cm，则圆柱的体积，则圆柱的体积V(cm3)与底面半与底面半 径径r(cm)之间的函数关系式是之间的函数关系式是_； (2)已知正方形的边长为已知正方形的边长为10，若边长减少，若边长减少x，则面积减少，则面积减少y， y与与x之间的函数关系式是之间的函数关系式是_ (1)根据圆柱体积公式根据圆柱体积公式Vr2h求解；求解； (2)有三种

14、思路：如图，有三种思路：如图，减少的面积减少的面积y S四边形 四边形AEMG S四边形 四边形GMFD S四边形 四边形MHCF x(10 x) x2x(10 x)x220 x，减少的面积减少的面积y S四边形 四边形AEFD S四边形 四边形GHCD S四边形 四边形GMFD 10 x10 xx2x2 20 x，减少的面积减少的面积yS四边形 四边形ABCD S四边形 四边形EBHM 102(10 x)2x220 x. V14r2(r0) yx220 x(0 x10) （来自（来自点拨点拨） 导引：导引： 知知3 3讲讲 26 求几何问题中二次函数的解析式，求几何问题中二次函数的解析式，除

15、了根据有关除了根据有关 面积、体积公式写出二次函数解析式以外，还应面积、体积公式写出二次函数解析式以外，还应 考虑考虑 问题的实际意义，明确自变量的取值问题的实际意义，明确自变量的取值(在一些在一些 问题中问题中, 自变量的取值可能是整数或者是在一定的自变量的取值可能是整数或者是在一定的 范围内范围内)； (2) 判断自变量的取值范围，判断自变量的取值范围，应结合问题，考虑全面，应结合问题，考虑全面， 不要漏掉一些约束条件不要漏掉一些约束条件列不等式组是求自变量的列不等式组是求自变量的 取值范围的常见方法取值范围的常见方法 总总 结结 知知3 3讲讲 （来自（来自点拨点拨） 27 圆的半径是圆

16、的半径是1cm，假设半径增加，假设半径增加x cm时，圆的面积增时，圆的面积增 加加 y cm2. (1)写出写出y与与x之间的关系式；之间的关系式； 知知3 3练练 （来自（来自教材教材） 1 (1) y(1x)212x22x， 即即y与与x之间的关系式为之间的关系式为yx22x. 解：解： 28 (2)当圆的半径分别增加当圆的半径分别增加1cm， cm， 2cm时，圆的时，圆的 面积各增加多少面积各增加多少? 知知3 3练练 （来自（来自教材教材） 2 (2)当当x1时，时，y23； 当当x 时，时，y22 (22 )； 2 m200 cm， 当当x200时，时，y40 00040040

17、400. 故当圆的半径分别增加故当圆的半径分别增加1 cm， cm，2 m时，圆的时，圆的 面积各增加面积各增加3 cm2，(22 ) cm2，40 400 cm2. 解：解： 2 2 222 29 2 一台机器原价一台机器原价60万元，如果每年的折旧率为万元，如果每年的折旧率为x，两年，两年 后这台机器的价格为后这台机器的价格为y万元，则万元，则y与与x之间的函数表达之间的函数表达 式为式为() Ay60(1x)2 By60(1x) Cy60 x2 Dy60(1x)2 知知3 3练练 （来自（来自典中点典中点） A 30 如图，在如图，在RtAOB中，中，ABOB，且，且ABOB3，设，设

18、直线直线xt(0t3)截此三角形所得阴影部分的面积为截此三角形所得阴影部分的面积为 S，则，则S与与t之间的函数关系式为之间的函数关系式为() ASt BS t2 CSt2 DS t21 知知3 3练练 （来自（来自典中点典中点） 3 1 2 1 2 B 31 1.关于二次函数的定义要理解三点：关于二次函数的定义要理解三点： (1)函数表达式必须是整式，自变量的取值是全体实数，而在实际应用函数表达式必须是整式，自变量的取值是全体实数，而在实际应用 中，自变量的取值必须符合实际意义中，自变量的取值必须符合实际意义 (2)确定二次函数表达式的各项系数及常数项时，要把函数表达式化为确定二次函数表达式的各项系数及常数项时，要把函数表达式化为 一般式一般式 (3)二次项系数不为二次项系数不为0. 1 知识小结知识小结 32 2.根据实际问题列二次函数的关系式，一般要经历以下几个步骤：根据实际问题列二次函数的关系式，一般要经历以下几个步骤： (1)确定自变量与因变量代表的实际意义；确定自变量