正弦定理(省参赛获奖课件)完整版

1、 A B C3 C2 C1 C BC的长度与角A的 大小有关吗? 三角形中角A与它的对 边BC的长度是否存在 定量关系? 在RtABC中,各角与其对边的关系: c a A sin c b B sin 1sinC 不难得到: C c B b A a sinsinsin CB A a b c c c 在非直角三角形ABC中有这样的关系吗? A c b a C B 正弦定理: 在一个三角形中,各边和它所对角的 正弦的比相等. C c B b A a sinsinsin 即 (1) 若直角三角形,已证得结论成立. b AD c AD CBsin,sin 所以AD=csinB=bsinC, 即 , si

2、nsinC c B b 同理可得, sinsinC c A a C c B b A a sinsinsin 即： D A c b CB 图1 过点A作ADBC于D, 此时有 证法1: (2)若三角形是锐角三角形, 如图1, 由(1)(2)(3)知，结论成立 CC b AD sinsin ）（且 C c B b A a sinsinsin 仿(2)可得 D (3) 若三角形是钝角三角形,且角C是钝角如图2, 此时也有 c AD B sin 交BC延长线于D,过点A作ADBC， C A c b B 图2 A a sinB b sinC c sin （2R为为ABC外接圆直径）外接圆直径） 2R 思

3、考 求证: 证明：证明： O C/ c b a C B A R C c R c CC CCCBA 2 sin 2 sinsin ,90 R C c B b A a R B b R A a 2 sinsinsin 2 sin ,2 sin 同理 作外接圆O, 过B作直径BC/,连AC/, A c b CB D a 向量法 证法2: 利用向量的数量积，产生边的长 与内角的三角函数的关系来证明. 证明： BacAbcCabS ABC sin 2 1 sin 2 1 sin 2 1 B A CD a b c aABC ahS 2 1 而 CbBcADhasinsin CabBacS ABC sin 2

4、 1 sin 2 1 同理 BacAbcCabS ABC sin 2 1 sin 2 1 sin 2 1 ha AbcS ABC sin 2 1 证法3: 剖析定理、加深理解 正弦定理可以解决三角形中哪类问题： 已知两角和一边，求其他角和边. 已知两边和其中一边的对角，求另一边 的对角，进而可求其他的边和角. C c B b A a sinsinsin 定理的应用 例 1在ABC 中，已知c = 10,A = 45。, C = 30。求 a , b (精确到0.01）. 解： 且 105C)(A180 B C c B b sinsin b = C Bc sin sin 19.32 = 30si

5、n 105sin10 已知两角和任意边，已知两角和任意边， 求其他两边和一角求其他两边和一角 C c A a sinsin a = C Ac sin sin 14.14=210 30sin 45sin10 B A C b c )26(5 a 在ABC中，已知 A=75，B= 45，c= 求a ， b. 23 在ABC中，已知 A=30，B=120，b=12 求a ， c. a= ,c= 3434 3233ba 练习 例 2 已知a=16， b= ， A=30 . 求角B，C和边c 已知两边和其中一边已知两边和其中一边 的对角的对角,求其他边和角求其他边和角 解：由正弦定理 B b A a si

6、nsin 得 2 3 16 30sin316sin sin a Ab B 所以60,或120 当 时60 C=90.32c C=30 .16 sin sin A Ca c 316 当120时 B 16 300 A B C 16 316 变式: a=30, b=26, A=30求角B，C和边c 300 AB C 26 30 解：由正弦定理 B b A a sinsin 得 30 13 30 30sin26sin sin a Ab B 所以25.70, 或180025.70=154.30 由于154.30 +3001800故B只有一解（如图） C=124.30,57.49 sin sin A Ca

7、 c 变式: a=30, b=26, A=30求角B，C和边c 300 AB C 26 30 解：由正弦定理 B b A a sinsin 得 30 13 30 30sin26sin sin a Ab B 所以25.70,C=124.30, 57.49 sin sin A Ca c a b A B , 三角形中大边对大角 已知两边和其中一边的对角已知两边和其中一边的对角,求其他边和求其他边和 角角 1.根据下列条件解三角形 (1)b=13，a=26，B=30. B=90，C=60，c= 313 (2) b=40，c=20，C=45. 练习 注：三角形中角的正弦值小于时，角可能有两解 无解 课堂

8、小结 （1）三角形常用公式： （2）正弦定理应用范围： 已知两角和任意边，求其他两边和一角 已知两边和其中一边的对角，求另一边 的对角。(注意解的情况) 正弦定理： ABC 111 sinsinsin 222 ABC SabCbcAacB sinsinsin abc ABC 2R 已知两边和其中一边的对角已知两边和其中一边的对角,求其求其 他边和角时他边和角时,三角形三角形什么情况下有什么情况下有 一解一解,二解二解,无解无解? 课后思考课后思考 A C a b absinA无解无解 A C a b a=bsinA一解一解 A C a b bsinA a b 两解两解 B B1 B2 B A

9、C b a ab一解一解 a A B a b C A B a b C A B a b C ab 一解一解 正弦定理的综合应用正弦定理的综合应用 22 1.tantan, . ABCaBbA ABC 在中，已知 试判断的形状 1.3,3 3,30 , . ABCbcB ABC 在中，已知 试判断的形状 2 1.( cos)cos0 , , . xbA xaB a bABC ABa b ABC 已知方程的两根 之积等于两根之和，且为的边， ， 为的对角， 试判断的形状 1., , , sinsinsin . ABCa b cABCa abc b c BCA ABC 在中，为边长， ， ， 为 所对

10、的角，若 试判断的形状 222222 2. 0. coscoscoscoscoscos ABC abbcca ABBCCA 在中， 求证： 2. (sinsin)(sinsin)(sinsin)0. ABC aBCbCAcAB 在中，求证： 3.12057, . ABCAABBC ABCS 在中，若， 求的面积 3. sin()sinsin . ABCCAB PABAPC BPC PCPBPA 一条直线上有三点 ， ， ，点 在 ， 之间,点 是直线之外一点，设， ，求证： CBA P 3.,3, 3 .4 3sin()3.4 3sin()3 36 .6sin()3.6sin()3 36 AB

11、CABCABC ABBB CBDB 中，则的周长为 4. . ABCADBAC ABBD ACDC 在中，是的平分线， 用正弦定理证明： A CB D 1. (1)sinsin. (2)sinsin . ABCABAB 判断正误： 若，则；反之也成立 在中，若，则； 反之也成立 35 2.sincos, 513 sin. ABCAB C 在中，已知， 求 . 65 63 )sin(sin . 5 4 cos, sinsin sinsin, 5 3 sin . 13 12 sin), 0(, 13 5 cos BAC AABA ba B b A a BAA BBB 只能为锐角， 可知由正弦定理

12、又 解： .sin, 13 12 sin, 5 4 cosCBAABC求中，已知变：在 . 65 33 65 63 sin . 65 33 )sin(sin 13 5 cos)2( . 65 63 )sin(sin 13 5 cos) 1 ( . 13 5 cos ,sinsin, 13 12 sin 5 3 sin), 0(, 5 4 cos 或 时， 时， 角，可以为锐角也可以为钝 又 解： C BACB BACB BB BAbaBAB AAA 3., , ,2 cos(60). o ABCABC a b cbcaCA 在中，设所对的边分别为 ，若，求 .120 150302103030

13、. 2 1 )30sin(1cossin30sin sinsin)cossin3( cossin3cossin sinsincoscossin )sin(sin )sin60sincos60(cossin2sinsin 0 00000 0 00 A AA AAAC CCAA CACA CCACA CAB CCACB 又 即 略解：由正弦定理得 22 1 4.(). 4 ABCSbcABC已知的面积，试确定的形状 . 20sin1 0)sin1 ( 2 1 , 0)( 4 1 0)sin1 ( 2 1 )( 4 1 sin 2 1 )( 4 1 2 2 22 为等腰直角三角形 且 解： ABC

14、cbA A cb Abccb Abccb AbccbS 实际问题实际问题 例例1、如图，要测底部不能到达的烟囱的高、如图，要测底部不能到达的烟囱的高AB，从与烟囱底部在，从与烟囱底部在 同一水平直线上的同一水平直线上的C、D两处，测得烟囱的仰角分别是两处，测得烟囱的仰角分别是和45 60 ，CD间的距离是间的距离是12m.已知测角仪器高已知测角仪器高1.5m,求烟囱的高。求烟囱的高。 图中给出了怎样的一个图中给出了怎样的一个 几何图形？已知什么，几何图形？已知什么， 求什么？求什么？ 想一想想一想 实例讲解实例讲解 A A1 B C D C1D1 分析：分析：如图，因为AB=AA1+A1B，又

15、 已知AA1=1.5m,所以只要求出A1B即可。 解： 15sin 120sin12 sin sin sinsin : ,154560, 111 1 1 111 1111 B DDC BC D BC B DC BDCDBC 由正弦定理可得 中在 66218 4 .283618 2 2 11 BCBA )(9 .295 . 14 .28 11 mAABAAB 答：烟囱的高为 29.9m. A B C D E 65 20 35 2. 35201000 65 , (1 ). AB DD BCm 例 某登山队在山脚 处测得山顶 的仰角为 ，沿倾斜角为的斜坡前进米 后到达 处，又测得 处的仰角为 求山的

16、高度精确到 A B C D E 65 20 35 B E D C 2.57,1.89, 2.01,45 ,120 , . BCcm CDcm BEcm BC 某地出土一块玉佩（如图），其中一角破损， 现测得如下数据； 为了复原， 计算原另两边的长 B E D C A 解斜三角形的问题，通常都要根据题意，从实际问题中抽象解斜三角形的问题，通常都要根据题意，从实际问题中抽象 出出一个或几个三角形一个或几个三角形，然后通过解这些三角形，得出所要求的量，然后通过解这些三角形，得出所要求的量， 从而得到实际问题的解。从而得到实际问题的解。 在这个过程中，贯穿了在这个过程中，贯穿了数学建模数学建模的思想。这种思想即是从实际的思想。这种思想即是从实际 问题出发，经过抽象概括，把它转化为具体问题中的数学模型，问题出发，经过抽象概括，把它转化为具体问题中的数学模型， 然后通过推理演算，得出数学模型的解，再还原成实际问题的解。然后通过推理演算，得出数学模型的解，再还