高等数学(1)考试(核)说明及模拟试卷

1、高等数学（1）考试（核）说明及模拟试卷 东海电大 陈晓文 高等数学（1）课程是江苏电大开放专科工科各专业的一门必修课，课程的内容有一元函数微积分、级数和微分方程，全部教学内容为8章。下面逐章提出具体的复习要求，并指出教材的重点内容。希望同学们在复习过程中动手多做些习题，必要时结合例题来理解课程的内容。第一章 函数本章教学要求： 一、理解函数的概念，了解确定函数的要素是定义域和对应关系，能根据这两要素判别两个函数是否相等。能熟练地求出函数的定义域。 二、了解函数的主要性质(单调性、奇偶性、周期性、有界性)，会判断函数的奇偶性及奇偶函数的图形特点。 三、掌握六类基本初等函数的解析表达式、定义域、主

2、要性质及其图形。 四、了解复合函数与初等函数的概念，会分析复合函数的复合过程。能把一个复合函数分解成简单函数。五、对一些较简单的实际问题，会列出函数关系式。本章重点：函数的概念，基本初等函数。综合举例：例1:下列函数对中，哪些表示同一个函数？.解:定义域为第二章 极限与连续本章教学要求： 一、了解极限的概念，知道左右极限的概念，知道在x0点极限存在的充要条件是f(x)在x0 的左、右极限存在且相等。二、理解无穷小的概念，了解无穷小量的运算性质，知道无穷小量之间的比较（高阶无穷小、低阶无穷小、同阶无穷小、等价无穷小）。三、熟练掌握极限的四则运算法则，注意法则的条件是各部分极限都存在，且分母的极限

3、不为零。四、知道极限存在的两个准则：夹逼定理及单调数列极限存在定理。熟练掌握两个重要极限：五、能熟练地运用初等方法（极限的四则运算、无穷小的运算性质、两个重要极限、函数的连续性）及洛必塔法则计算函数的极限。 六、理解函数在一点连续的定义，它包括三部分内容：1）f(x)在x0的一个邻域内有定义；2）在x0存在极限；3）极限值等于x0点的函数值，这三点缺一不可。了解函数在区间上连续的概念，在闭区间上端点是单侧连续。由函数在一点x0处连续的定义，会讨论分段函数的连续性。七、会求函数的间断点，x0不是函数的连续点，就称x0为函数的间断点。会判断函数间断点的类型。八、知道连续函数的和、差、积、商(分母不

4、为零)仍是连续函数。两个连续函数的复合函数仍为连续函数，初等函数在其定义域内是连续的。知道闭区间上连续函数的性质(最大最小值存在定理、零点定理、介值定理)。本章重点：求函数的极限,函数在一点x0的连续性。综合举例：第三章 导数与微分本章教学要求： 一、理解导数与微分的定义。导数与微分dy这两个概念是等价的。了解导数的几何意义及物理意义，会求曲线的切线方程和法线方程。了解函数在x0点连续是可导的必要条件，但不是充分条件，即f(x)在x0处可导，则f(x)在x0处必连续，反之不然。 二、牢记导数与微分的基本公式，熟练掌握导数与微分的四则运算法则。 三、熟练掌握复合函数求导法则。并会推广到多个中间变

5、量的情形。 四、掌握隐函数的微分法，正确地求出隐函数的一阶导数。 五、了解一阶微分形式的不变性。 六、在掌握基本导数公式、求导法则的基础上，熟练地求出初等函数的一阶导数和微分，并会求导数值。 七、了解高阶导数的概念，会求初等函数的二阶导数。八、对于幂指函数、多个函数相乘除或较复杂的无理函数，会用取对数求导法求出导数或微分。九、会求用参数方程表示的函数的一阶导数。本章重点：导数与微分的概念及计算。综合举例：第四章 导数的应用本章教学要求： 一、了解拉格朗日中值定理的条件和结论，会用拉格朗日中值定理证明简单的不等式。知道罗尔定理、柯西定理的条件和结论。二、掌握洛必塔法则，能用该法则求型不定式的极限

6、以及较简单的型不定式的极限。 三、知道函数在一点处的泰勒公式和麦克劳林公式。记住ex、ln(1+x)、sinx、cosx的麦克劳林公式。 四、掌握用一阶导数判别函数增减性的方法，会求函数的增减区间。 五、理解函数极值点及极值的概念和极值点的必要条件，熟练掌握求函数极值的方法(极值的充分条件)。知道驻点和极值点的区别和联系。 六、了解曲线凹凸的概念，掌握用二阶导数判断曲线凹凸的方法，会求曲线的拐点。 七、会求曲线的水平渐近线和垂直渐近线，能用微分法描绘简单的函数图形。 八、了解最大值、最小值的概念，会求闭区间上连续函数的最大值和最小值。 九、熟练掌握求解一些较简单的实际问题中的最大值和最小值的方

7、法。这些实际问题以几何问题为主。十、了解曲率的概念。本章重点：用导数判断函数的增减性及曲线的凹凸性；求函数的极值点及极值；求几何问题中的最大值和最小值。综合举例：例6:做一个容积为V的无盖圆柱形容器,底的单位面积造价为a元,侧面的单位面积造价为b元,试问如何设计底半径和高,才能使总造价最小.解:设圆柱形容器底半径为r,则由题意高为.第五章 不定积分本章教学要求： 一、理解原函数与不定积分的概念及关系，了解不定积分的性质。了解不定积分的几何意义。 二、熟记基本积分公式。三、熟练掌握第一换元积分法和分部积分法，掌握第二换元积分法。会利用不定积分性质、基本积分公式、第一换元积分法、第二换元积分法和分

8、部积分法计算各种不定积分。四、会求简单的有理分式函数积分，方法是用待定系数法化成部分分式后再积分。本章重点：原函数与不定积分的概念，不定积分的计算。综合举例：第六章 定积分及其应用本章教学要求： 一、理解定积分的概念(包括定义、几何意义等)。了解定积分的主要性质。二、了解变上限定积分，了解原函数存在定理。三、熟练掌握牛顿莱布尼兹公式：四、熟练掌握定积分的换元积分法：注意作变量替换时，积分上、下限要作相应的改变。 五、熟练掌握定积分的分部积分法：注意每一部分都带有积分上、下限。六、了解广义积分（无穷积分和瑕积分）的概念，会判别一些无穷积分的敛散性，会计算较简单的无穷积分。 七、熟练掌握用定积分计

9、算平面曲线围成的平面区域的面积。八、熟练掌握用定积分计算平面图形绕坐标轴旋转形成的旋转体体积。本章重点：定积分的概念，牛顿莱布尼兹公式，定积分的计算，计算平面区域的面积和绕坐标轴旋转所成旋转体的体积。综合举例：第七章 级数本章教学要求： 一、了解无穷级数的概念：级数收敛与发散的定义及收敛级数的性质，了解级数收敛的必要条件（级数发散的充分条件）。 二、掌握正项级数的比值判别法，了解正项级数的比较判别法。三、记住几何级数与P级数的收敛性： 四、了解交错级数的判别法。 五、理解幂级数的概念：包括收敛点，发散点，收敛半径，收敛域等。六、掌握求幂级数收敛半径的方法： 七、记住函数ex,ln(1+x),s

10、inx,cosx的泰勒级数（麦克劳林级数）及这些级数的收敛域，会利用这些级数将简单的初等函数展开成幂级数。八、知道幂级数在收敛区间内的性质。本章重点：无穷级数的概念，几何级数和p级数的收敛性，正项级数的比值判别法，幂级数的收敛半径。综合举例：解:C第八章 常微分方程本章教学要求： 一、了解微分方程的基本概念：微分方程，微分方程的阶、解、特解、通解、初始条件和初值问题，线性微分方程。 二、熟练掌握一阶可分离变量微分方程的解法。三、熟练掌握一阶线性非齐次微分方程：的解法常数变易法和公式法。 四、理解线性微分方程解的性质和解的结构。五、熟练掌握二阶线性常系数齐次微分方程：的解法特征根法。会根据特征根

11、的三种情况，熟练地写出方程的通解，并根据定解的条件写出方程特解。六、熟练掌握二阶线性常系数非齐次微分方程：，当自由项f(x)为某些特殊情况时的解法待定系数法。所谓f(x)为某些特殊情况是指f(x)为多项式函数，指数函数。关键是依据f(x)的形式及特征根的情况，设出特解y*,代入原方程，定出y*的系数。本章重点：一阶可分离变量微分方程、一阶线性微分方程、二阶线性常系数微分方程的解法。综合举例：解:B解:C解:B高等数学（1）模拟试题一、填空题（每小题2分，共12分）1若23函数f(x)=在点_处取得极小值.4若56_是级数收敛的必要条件.二、单选题（每小题2分，共12分）1在（ ）时为无穷小量.

12、2若f(x)在x=处连续，则有（ ）.3曲线A.单调增加且凸的 B. 单调增加且凹的C.单调减少且凸的 D. 单调减少且凹的4设5以下命题正确的是（ ）.收敛B.收敛级数部分和有极限C.p级数当p1时收敛D.级数与级数发散，则级数发散6下列微分方程中，（ ）是可分离变量的微分方程.三、计算题（本题6分） 求幂级数 的收敛区间。四、计算题（每小题6分，共18分）123由方程五、计算题（每小题6分，共18分）123六、计算题（每小题8分，共16分）1求满足的特解.2求的通解.七、应用题（每小题9分，共18分）1求内接于抛物线与X轴所围区域内的矩形的最大面积.2求由曲线所围成平面图形的面积.高等数学

13、（1）模拟试题答案一、填空题（每小题2分，共12分）120 3x=-14516二、单选题（每小题2分，共12分）1B 2C 3B 4A 5B 6A三、计算题（每小题6分，共18分）1 =-3/22 3 四、计算题（每小题6分，共18分）1 2 3 五、计算题（每小题8分，共16分）1 2对应齐次方程的通解为： 设原方程的一个特解为 故原方程的一个特解为因此原方程的通解为：六、计算题（本题6分）七、应用题（每小题9分，共18分）1 1 设矩形与抛物线在第一象限的交点为（x,y）则所求面积S=2xy=因此最大矩形面积为2 2 所围面积 =1/3考试题型：分为填空题、单项选择题和计算题（包括应用题），其中填空题和单项选择题的分数占总分数的30%左右，此类题目主要考查课程中所学的概念，公式，性质等知识，并配有一些经过简单计算就能得出结果的小计算题目；试卷中计算题（包括应用题）的分数占总分数的70%左右，主要考查学生对课程中所学过的基本计算方法和技能的掌握情况。 总之，同学们要在认真完成平时作业的基础上，对照考核说明有的放矢地重点复习。考虑到成人和开放教育的特点，本课程是半开卷考试，建议同学们认真整理并利用好A4纸。最后祝同学们考出好成绩