高中数学几种排列组合综合问题的解法

1、几种排列组合综合问题的解法 2021-7-292 从n个不同元素中,任取m个元素,按照一定的 顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取出m 个元素的一个排列. 2.2.组合的定义组合的定义: :从n个不同元素中,任取m个元素,并成一组, 叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个 组合. 3.3.排列数公式排列数公式: : 4.4.组合数公式组合数公式: : 1.1.排列的定义排列的定义: : )!( ! )1()2)(1( mn n mnnnnA m n 排列与组合的区别与联系排列与组合的区别与联系: :与顺序有关的与顺序有关的 为排列问题为排列问题, ,与顺序无关的为组合问题与顺序无关的为组合问题

2、. . )!( ! ! ! )1()2)(1( mnm n m mnnnn A A C m m m n m n 2021-7-293 例例1 . 7人排成一排人排成一排.甲、乙两人不相邻，有多少种不同的排法？甲、乙两人不相邻，有多少种不同的排法？ 解：解：分两步进行：分两步进行： 几个元素不能相邻几个元素不能相邻 时时,先排一般元素，先排一般元素， 再让特殊元素插空再让特殊元素插空. 第第1步，把除甲乙外的一般人排列：步，把除甲乙外的一般人排列： 5 5 A有=120种排法 第第2步，将甲乙分别插入到不同的间隙或两端中步，将甲乙分别插入到不同的间隙或两端中(插空插空)： 2 6 A有=30种插

3、入法 120 303600共有种排法 解决一些不相邻问题时，可以先排解决一些不相邻问题时，可以先排“一一 般般”元素然后插入元素然后插入“特殊特殊”元素，使问题得以元素，使问题得以 解决解决. 1.插空法：插空法： 2021-7-294 变变 学校组织老师学生一起看电影，同一排电影票12张。 8个学生，4个老师，要求老师在学生之间，且老师互不 相邻，共有多少种不同的坐法？ 解解 先排学生共有 种排法,然后把老师插入学生 之间的空档，共有7个空档可插,选其中的4个空档,共 有 种选法.根据乘法原理,共有的不同坐法为 种. 8 8 A 4 7 A 4 7 8 8 AA 结论结论1 1 插空法插空法

4、: :对于某两个元素或者几个元素要求不 相邻的问题,可以用插入法.即先排好没有限制条件的 元素,然后将有限制条件的元素按要求插入排好元素 的空档之中即可. 分析分析 此题涉及到的是不相邻问题,并且是对老师有特殊 的要求,因此老师是特殊元素,在解决时就要特殊对待. 所涉及问题是排列问题. 2021-7-295 相邻元素的排列，可以采用相邻元素的排列，可以采用“局部到整体局部到整体”的的 排法，即将相邻的元素局部排列当成排法，即将相邻的元素局部排列当成“一个一个”元素，元素， 然后再进行整体排列然后再进行整体排列. 2.捆绑法捆绑法 例例2 . 6人排成一排人排成一排.甲、乙两人必须相邻甲、乙两人

5、必须相邻,有多少种不的排法有多少种不的排法? 解：解：（1）分两步进行：分两步进行： 甲甲 乙乙 第一步，把甲乙排列第一步，把甲乙排列(捆绑捆绑)： 5 5 A有120种排法 第二步，甲乙两个人的梱看作一个元素与其它的排队：第二步，甲乙两个人的梱看作一个元素与其它的排队： 2 2 A有2种捆法 2 120240共有种排法 几个元素必须相邻时几个元素必须相邻时,先先 捆绑成一个元素，再与捆绑成一个元素，再与 其它的进行排列其它的进行排列. 2021-7-296 变 5个男生3个女生排成一排,3个女生要排在一起, 有多少种不同的排法? 解 因为女生要排在一起,所以可以将3个女生看成是 一个人,与5

6、个男生作全排列,有 种排法,其中女生内 部也有 种排法,根据乘法原理,共有 种不同的排 法. 结论2 捆绑法捆绑法: :要求某几个元素必须排在一起的问 题,可以用捆绑法来解决问题.即将需要相邻的元素合 并为一个元素,再与其它元素一起作排列,同时要注意 合并元素内部也可以作排列. 分析 此题涉及到的是排队问题,对于女生有特殊的限 制,因此,女生是特殊元素,并且要求她们要相邻,因此 可以将她们看成是一个元素来解决问题. 6 6 A 3 3 A 3 3 6 6 AA 2021-7-297 例例4.5个人站成一排，甲总站在乙的右侧的有多少个人站成一排，甲总站在乙的右侧的有多少 种站法？种站法？ 几个元

7、素几个元素顺序一定顺序一定的排列问题，一般是先排列，再的排列问题，一般是先排列，再 消去这几个元素的顺序消去这几个元素的顺序.或者，先让其它元素选取位置或者，先让其它元素选取位置 排列，留下来的空位置自然就是顺序一定的了排列，留下来的空位置自然就是顺序一定的了. 3.除法消序法除法消序法(留空法留空法) 解法解法1：将将5个人依次站成一排，有个人依次站成一排，有 解法解法2：先让甲乙之外的三人从先让甲乙之外的三人从5个位置选出个位置选出3个站好，个站好， 有有 5 5 A 种站法，种站法， 然后再消去甲乙之间的顺序数然后再消去甲乙之间的顺序数 2 2 A 甲总站在乙的右侧的有站法总数为甲总站在

8、乙的右侧的有站法总数为 5 3 5 5 2 2 5 4 3 A A A 3 5 A 种站法，留下的两个位置自然给甲乙有种站法，留下的两个位置自然给甲乙有1种站法种站法 甲总站在乙的右侧的有站法总数为甲总站在乙的右侧的有站法总数为 33 55 1AA 2021-7-298 变式：变式：如下图所示如下图所示,有有5 横横8竖构成的方格图竖构成的方格图,从从 A到到B只能上行或右行只能上行或右行 共有多少条不同的路线共有多少条不同的路线? 解解: 如图所示如图所示 1 2 3 4 5 6 7 将一条路经抽象为如下的一个将一条路经抽象为如下的一个 排法排法(5-1)+(8-1)=11格格: 其中必有四

9、个其中必有四个和七个和七个组成组成! 所以所以, 四个四个和七个和七个一个排序就对应一条路经一个排序就对应一条路经, 所以从所以从A到到B共有共有 5 14 (5 1) (8 1)11 CC 条不同的路径条不同的路径. 也可以看作是也可以看作是 1,2,3,4,5,6,7, 顺序一定的排列，顺序一定的排列， 有有 种排法种排法. 11 11 47 47 A AA 2021-7-299 n个个 相同小球放入相同小球放入m(mn)个盒子里个盒子里,要求每个要求每个 盒子里至少有一个小球的放法等价于盒子里至少有一个小球的放法等价于n个相同小球个相同小球 串成一串从间隙里选串成一串从间隙里选m-1个结

10、点剪截成个结点剪截成m段段. 例例4. 某校准备参加今年高中数学联赛某校准备参加今年高中数学联赛,把把16个选手个选手 名额分配到高三年级的名额分配到高三年级的1-4 个教学班个教学班,每班至少一个每班至少一个 名额名额,则不同的分配方案共有则不同的分配方案共有_种种. 4. 隔板法：隔板法： 解：解： 问题等价于把问题等价于把16个相同小球放入个相同小球放入4个盒子里个盒子里, 每个盒子至少有一个小球的放法种数问题每个盒子至少有一个小球的放法种数问题. 将将16个小球串成一串，截为个小球串成一串，截为4段有段有 3 15 455C 种截断法，对应放到种截断法，对应放到4个盒子里个盒子里. 因

11、此，不同的分配方案共有因此，不同的分配方案共有455种种 . 2021-7-2910 n个个 相同小球放入相同小球放入m(mn)个盒子里个盒子里,要求每个要求每个 盒子里至少有一个小球的放法等价于盒子里至少有一个小球的放法等价于n个相同小球个相同小球 串成一串从间隙里选串成一串从间隙里选m-1个结点剪截成个结点剪截成m段段. 变式：变式： 某校准备参加今年高中数学联赛某校准备参加今年高中数学联赛,把把16个选个选 手名额分配到高三年级的手名额分配到高三年级的1-4 个教学班个教学班,每班的名额每班的名额 不少于该班的序号数不少于该班的序号数,则不同的分配方案共有则不同的分配方案共有_种种. 解

12、：解： 问题等价于先给问题等价于先给2班班1个，个，3班班2个，个，4班班3个，个， 再把余下的再把余下的10个相同小球放入个相同小球放入4个盒子里个盒子里,每个盒子每个盒子 至少有一个小球的放法种数问题至少有一个小球的放法种数问题. 将将10个小球串成一串，截为个小球串成一串，截为4段有段有 3 9 84C 种截断法，对应放到种截断法，对应放到4个盒子里个盒子里. 因此，不同的分配方案共有因此，不同的分配方案共有84种种 . 2021-7-2911 变： 在高二年级中的8个班,组织一个12个人的年级学 生分会,每班要求至少1人,名额分配方案有多少种? 解 此题可以转化为:将12个相同的白球分

13、成8份,有多 少种不同的分法问题,因此须把这12个白球排成一排, 在11个空档中放上7个相同的黑球,每个空档最多放一 个,即可将白球分成8份,显然有 种不同的放法,所以 名额分配方案有 种. 7 11 C 7 11 C 结论3 隔板转化模型法隔板转化模型法: :对于某些较复杂的、或较抽 象的排列组合问题，可以利用转化思想,将其化归为简 单的、具体的问题来求解. 分析 此题若直接去考虑的话,就会比较复杂.但如果 我们将其转换为等价的其他问题,就会显得比较清楚, 方法简单,结果容易理解. 2021-7-2912 5.另两种转化模型另两种转化模型 法法 2021-7-2913 例5（1） 袋中有不同

14、的5分硬币23个,不同的1角硬 币10个,如果从袋中取出2元钱,有多少种取法? 解 把所有的硬币全部取出来,将得到 0.0523+0.1010=2.15元,所以比2元多0.15元,所 以剩下0.15元即剩下3个5分或1个5分与1个1角,所以 共有 种取法. 1 10 1 23 3 23 CCC 结论4 剩余法剩余法: :在组合问题中,有多少取法,就有多少 种剩法,他们是一一对应的,因此,当求取法困难时,可 转化为求剩法. 分析 此题是一个组合问题,若是直接考虑取钱的问题 的话,情况比较多,也显得比较凌乱,难以理出头绪来. 但是如果根据组合数性质考虑剩余问题的话,就会很 容易解决问题. 2021

15、-7-2914 例5（2） 期中安排考试科目9门,语文要在数学之前 考,有多少种不同的安排顺序? 解 不加任何限制条件,整个排法有 种,“语文安排 在数学之前考”,与“数学安排在语文之前考”的排法 是相等的,所以语文安排在数学之前考的排法共有 种. 9 9 A 9 9 2 1 A 结论5 对等法对等法: :在有些题目中,它的限制条件的肯定与 否定是对等的,各占全体的二分之一.在求解中只要求 出全体,就可以得到所求. 分析 对于任何一个排列问题,就其中的两个元素来讲 的话,他们的排列顺序只有两种情况,并且在整个排列 中,他们出现的机会是均等的,因此要求其中的某一种 情况,能够得到全体,那么问题就

16、可以解决了.并且也避 免了问题的复杂性. 2021-7-2915 6.剔除法剔除法 从总体中排除不符合条件的方法数，这是一从总体中排除不符合条件的方法数，这是一 种间接解题的方法种间接解题的方法. 例例6. 从集合从集合0,1,2,3,5,7,11中任取中任取3个元素分别作为直个元素分别作为直 线方程线方程Ax+By+C=0中的中的A、B、C，所得的经过坐标，所得的经过坐标 原点的直线有原点的直线有_条条. 解：所有这样的直线共有解：所有这样的直线共有 条，条， 其中不过原点的直线有其中不过原点的直线有 条，条， 3 7 210A 所得的经过坐标原点的直线有所得的经过坐标原点的直线有210-1

17、8030条条. 12 66 180AA 排列组合应用题往往和代数、三角、立体几何、平面解排列组合应用题往往和代数、三角、立体几何、平面解 析几何的某些知识联系，从而增加了问题的综合性，解答这析几何的某些知识联系，从而增加了问题的综合性，解答这 类应用题时，要注意使用相关知识对答案进行取舍类应用题时，要注意使用相关知识对答案进行取舍. 2021-7-2916 变： 某班里有43位同学,从中任抽5人,正、副班长、 团支部书记至少有一人在内的抽法有多少种? 解 43人中任抽5人的方法有 种,正副班长,团支部 书记都不在内的抽法有 种,所以正副班长,团支部书 记至少有1人在内的抽法有 种. 5 43

18、C 5 40 C 5 40 5 43 CC 结论6 排除法排除法: :有些问题,正面直接考虑比较复杂,而它 的反面往往比较简捷,可以先求出它的反面,再从整体中 排除. 分析 此题若是直接去考虑的话,就要将问题分成好几 种情况,这样解题的话,容易造成各种情况遗漏或者重 复的情况.而如果从此问题相反的方面去考虑的话,不 但容易理解,而且在计算中也是非常的简便.这样就可 以简化计算过程. 2021-7-2917 互斥分类互斥分类-分类法分类法 先后有序先后有序-位置法位置法 反面明了反面明了-排除法排除法 相邻排列相邻排列-捆绑法捆绑法 分隔排列分隔排列-插空法插空法 。 2021-7-2918 小

19、结小结: : 本节课我们学习了解决排列组合应用题的一些解 题技巧,具体有插入法插入法, ,捆绑法捆绑法, ,转化法转化法, ,剩余法剩余法, ,对等法对等法, , 排异法排异法;对于不同的题目,根据它们的条件,我们就可以 选取不同的技巧来解决问题.对于一些比较复杂的问题, 我们可以将几种技巧结合起来应用,便于我们迅速准确 地解题.在这些技巧中所涉及到的数学思想方法,例如: 分类讨论思想,变换思想,特殊化思想等等,要在应用中 注意掌握. 2021-7-2919 要明确堆的顺序时，必须先分堆后再把堆数当要明确堆的顺序时，必须先分堆后再把堆数当 作元素个数作全排列作元素个数作全排列. 若干个不同的元

20、素局部若干个不同的元素局部“等分等分”有有 个均等个均等 堆堆,要将选取出每一个堆的组合数的乘积除以要将选取出每一个堆的组合数的乘积除以m! 若干个不同的元素若干个不同的元素“等分等分”为为 个堆个堆,要将要将 选取出每一个堆的组合数的乘积除以选取出每一个堆的组合数的乘积除以m! 非均分堆问题，只要按比例取出分完再用乘非均分堆问题，只要按比例取出分完再用乘 法原理作积法原理作积. 分组（堆）问题的六个模型：分组（堆）问题的六个模型：无序不等分；无序不等分； 无序等分；无序局部等分；无序等分；无序局部等分；(有序不等分；有序不等分； 有序等分；有序局部等分有序等分；有序局部等分.) 处理问题的原则：处理问题的原则： 分组（堆）问题分组（堆）问题 2021