2012年全国各地中考数学压轴题专集答案二次函数(总14页)

1、2012年全国各地中考数学压轴题专集答案四、二次函数1（北京）已知二次函数y( t1)x 22( t2)x 在x0和x2时的函数值相等（1）求二次函数的解析式；（2）若一次函数ykx6的图象与二次函数的图象都经过点A（3，m），求m和k的值；（3）设二次函数的图象与x轴交于点B，C（点B在点C的左侧），将二次函数的图象在点B，C间的部分（含点B和点C）向左平移n（n0）个单位后得到的图象记为G，同时将（2）中得到的直线ykx6向上平移n个单位请结合图象回答：平移后的直线与图象G有公共点时，n的取值范围xOy11解：（1）由题意得( t1)2 22( t2)2 解得t 二次函数的解析式为y x

2、2x 1OCBxyB图1（2）A（3，m）在二次函数y x 2x 的图象上m (3)2(3) 6点A的坐标为（3，6）点A在一次函数ykx6的图象上63k6，k4（3）由题意，可得点B，C的坐标分别为（1，0），（3，0）平移后，点B，C的对应点分别为B（1n，0），C（3n，0）将直线y4x6平移后得到直线y4x6n1OCBxyC图2如图1，当直线y4x6n经过点B（1n，0）时，图象G（点B 除外）在该直线右侧由04(1n)6n，得n 如图2，当直线y4x6n经过点C（3n，0）时，图象G（点C 除外）在该直线左侧由04(3n)6n，得n6由图象可知，符合题意的n的取值范围是 n 62（北

3、京模拟）已知抛物线yx 2( m2)x3( m1)（1）求证：无论m为任何实数，抛物线与x轴总有交点；（2）设抛物线与y轴交于点C，当抛物线与x轴有两个交点A、B（点A在点B的左侧）时，如果CAB或CBA这两角中有一个角是钝角，求m的取值范围；（3）在（2）的条件下，P是抛物线的顶点，当PAO的面积与ABC的面积相等时，求该抛物线的解析式（1）证明：( m2)24(1)3( m1)( m4)20无论m为任何实数，抛物线与x轴总有交点OCBxyA（2）解：由题意，m10当m4，图象与x轴只有一个交点m1且m-4（3）解：令yx 2( m2)x3( m1)解得x1m1，x23可求得顶点P（ ，）当

4、A（m1，0）、B（3，0）时SPAO SABC ， ( m1) (m4)3( m1)解得m16yx 218x45当A（3，0）、B（m1，0）时同理得 3 ( m4)3( m1)解得m yx 2 x 3（上海模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y x 2bxc的图象经过点A（1，1）和点B（2，2），该函数图象的对称轴与直线OA、OB分别交于点C和点DyxOAB11-1-1（1）求这个二次函数的解析式和它的对称轴；（2）求证：ABOCBO；（3）如果点P在直线AB上，且POB与BCD相似，求点P的坐标（1）解：由题意，得 解得 二次函数的解析式为y x 2 x2对称轴为直线x1（2

5、）证明：易得直线OA的解析式为yx，从而C的坐标为（1，1）由A（1，1），B（2，2），C（1，1）得ABBC，OAOCABO=CBO（3）解：由直线OB的表达式yx，得点D的坐标为（1，1）yxOAB11-1-1PEDCFH由A（1，1），B（2，2），得直线AB的解析式为y x 从而直线AB与x轴的交点E的坐标为（4，0）POBBCD相似，ABOCBOBOPBDC或BOPBCD当BOPBDC时由BDC135，得BOP135此时点P与点E重合点P的坐标为（4，0）当BOPBCD时由POBBCD，得 而BO2，BD，BC，BP 又BE2，PE 作PHx轴，垂足为点H，BFx轴，垂足为点F则P

6、HBF， 而BF2，EF6，PH ，EH ，OH 点P的坐标为（ ，）综上所述，点P的坐标为（4，0）或（ ，）4（安徽）如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从O点正上方2m的A处发出，把球看成点，其运行的高度y（m）与运行的水平距离x（m）满足关系式ya( x6)2h已知球网与O点的水平距离为9m，高度为2.43m，球场的边界距O点的水平距离为18m（1）当h2.6时，求y与x的关系式（不要求写出自变量x的取值范围）；（2）当h2.6时，球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由；（3）若球一定能越过球网，又不出边界，求h的取值范围xOyA26918球网边界解：（1）当h2.6时，ya(

7、x6)22.6由其图象过点（0，2），得36a2.62，解得a y ( x6)22.6（2）当h2.6时，由（1）知y ( x6)22.6由于当x9时，y ( 96)22.62.452.43，球能越过球网由 ( x6)22.60，x 0，得x6 18或由x18时，y ( 186)22.60.20，球落地时会出界（3）根据题设知ya( x6)2h由图象经过点（0，2），得36ah2 由球能越过球网，得9ah 2.43 由球不出边界，得144ah 0 解得h ，所以h的取值范围是h 5（安徽某校自主招生）已知二次函数yx 22mx1记当xc时，相应的函数值为yc，那么，是否存在实数m，使得对于满足

8、0x 1的任意实数a、b，总有yayb 1如果存在，求出实数m的取值范围；如果不存在，请说明理由解：设f( x )在0x 1的最小值为M，原问题等价于2M 1，即M 二次函数yx 22mx1的图象是一条开口向上的抛物线当对称轴xm 0时，由图象可知，x0时，y最小1，此时1 成立当对称轴xm在0m 1时，由图象可知xm时，y最小 且y最小1m 2此时有1m 2 ，即m 2 ，故有0m 当对称轴xm在m 1时，由图象可知，x1时，y最小 且y最小22m此时有22m ，即m ，与m 1矛盾，故舍去综上可知，满足条件的m存在，且m的取值范围是m 6（浙江模拟）已知二次函数yx 2axa2（1）证明：

9、不论a取何值，抛物线yx 2axa2的顶点P总在x轴的下方；（2）设抛物线yx 2axa2与y轴交于点C，如果过点C且平行于x轴的直线与该抛物线有两个不同的交点，并设另一个交点为点D，问：QCD能否是等边三角形？若能，请求出相应的二次函数解析式；若不能，请说明理由；（3）在第（2）的条件下，设抛物线与x轴的交点之一为点A，则能使ACD的面积等于 的抛物线有几条？请证明你的结论解：（1）判别式a 24( a2)( a2)240抛物线与x轴总有两个交点又抛物线开口向上，抛物线的顶点在x轴下方（或由二次函数解析式得：y( x )2 a 2a2抛物线顶点的纵坐标为 a 2a2 ( a2)210，当a取

10、任何实数时总成立不论a取何值，抛物线的顶点P总在x轴的下方）（2）由条件得：抛物线顶点Q( ， a 2a2)，点C( 0，a2)当a0时，过点C存在平行于x轴的直线与抛物线相交于另一点D此时CD|a|，点Q到CD的距离为|( a2)( a 2a2) a 2过Q作QPCD于P要使QCD为等边三角形，则需OP CD，即 a 2 |a|由a0，解得a2（或由CDCQ，或由CP CO等求得a的值）QCD可以是等边三角形此时相应的二次函数解析式为yx 22x22或yx 22x22（3）CD|a|，点A到CD的距离为|a2|由SACD |a( a2)| ，解得a1 或a1 满足条件的抛物线有四条7（江苏镇

11、江）对于二次函数yx 23x2和一次函数y2x4，把yt( x 23x2)( 1t )( 2x4 )称为这两个函数的“再生二次函数”，其中t是不为零的实数，其图象记作抛物线E现有点A（2，0）和抛物线E上的点B（1，n），请完成下列任务：【尝试】（1）当t2时，抛物线yt( x 23x2)( 1t )( 2x4 )的顶点坐标为_；（2）判断点A是否在抛物线E上；（3）求n的值；【发现】通过（2）和（3）的演算可知，对于t取任何不为零的实数，抛物线E总过定点，坐标为_【应用1】二次函数y3x 25x2是二次函数yx 23x2和一次函数y2x4的一个“再生二次函数”吗？如果是，求出t的值；如果不是

12、，说明理由；【应用2】以AB为边作矩形ABCD，使得其中一个顶点落在y轴上，若抛物线E经过A、B、C、D其中的三点，求出所有符合条件的t的值OA11xy解：尝试（1）（1，2）（2）将x2代入yt( x 23x2)( 1t )( 2x4 )，得y0，所以点A（2，0）在抛物线E上（3）将x1代入nt( x 23x2)( 1t )( 2x4 )6发现A（2，0），B（1，6）应用1x1代入y3x 25x2，计算得y66抛物线y3x 25x2不经过点B二次函数y3x 25x2不是二次函数yx 23x2和一次函数y2x4的一个“再生二次函数”应用2如图，作矩形ABC1D1和ABC2D2，过点B作BK

13、y轴于点K，过点B作RMx轴于点MOGD1D2AMC1C2BKTH11xy易得AM3，BM6，BK1，KBC1MBA则 ，即 ，求得C1K ，点C1（0，）易知KBC1GAD1，得AG1，D1G ，点D1（3，）易知OAD2GAD1，得 由AG1，OA2，D1G ，求得OD21，点D2（0，1）易知TBC2OD2A，得TC2AO2，BTOD21，点C2（3，5）抛物线E总过定点A（2，0），B（1，6）符合条件的三点只可能是A、B、C或A、B、D当抛物线E经过A、B、C1时，将C1（0，）代入yt( x 23x2)( 1t )( 2x4 )，求得t1 当抛物线E经过A、B、D1，A、B、C2，

14、A、B、D2时，可分别求得t2 ，t3 ，t4 满足条件的所有t的值为： ， ， ，8（江苏模拟）如图，建立平面直角坐标系xOy，x轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位长度为1千米某炮位于坐标原点，把发射后的炮弹看成点，其飞行的高度y（千米）与飞行的水平距离x（千米）满足关系式ykx (1k 2)x 2（k0），其中k与发射方向有关，炮的射程是指炮弹落地点的横坐标Ox(千米)y(千米)（1）求炮的最大射程；（2）设在第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由解：（1）令y0，得kx (1k 2)x 20由实际意义和题设条件

15、知x0，k0x 10，当且仅当k1时取等号炮的最大射程为10千米（2）a0，炮弹可以击中目标存在k0，使ka (1k 2)a 23.2成立关于k的二次方程a 2k 220aka 2640有正根(20a )24a 2( a 264)0，解得a6当它的横坐标a不超过6千米时，炮弹可以击中它9（江苏模拟）已知一次函数y1kxm与二次函数y22ax 22bxc（b为整数）的图象交于A（22 ，32 ）、B（22 ，32 ）两点，二次函数y22ax 22bxc和二次函数y3ax 2bxc1的最小值的差为l（1）求y1、y2、y3的解析式；（2）若y1与y3的图象交于C、D两点，求CD的长；（3）P是y轴

16、上一点，过点P任意作一射线分别交y2、y3的图象于M、N，过点M作直线y1的垂线，垂足为G，过点N作直线y3的垂线，垂足为H是否存在这样的点P，使PMMG、PNNH恒成立，若存在，求出P点的坐标，并探究 是否为定值；若不存在，请说明理由解：（1）将A（22 ，32 ）、B（22 ，32 ）代入y1kxm，得 解得：y1x1将A、B两点的坐标代入y22ax 22bxc，整理得：8a2b1易得y22ax 22bxc的最小值为c ，y3ax 2bxc1的最小值为c1 由题意，|c ( c1 )|1，即|1 |1又8a2b1，得|1 |11 1，解得b0或1 1，整理得b 22b10，此方程无整数解b

17、0，代入8a2b1，得a y2 x 2c令x1 x 2c，得x 24x4c40x1x24，x1x24c4( x1x2 )2( x1x2 )24x1x2 22 ( 22 )2324 24( 4c4 )32，c0y2 x 2，y3 x 21（2）令x1 x 21，得x 28x160x3x48，x3x416( x3x4 )2( x3x4 )24x3x4 8 24(16)128| x3x4|8 | CD|8 16PGHENMFOxyy1y3y2 x 2y3 x 21（3）设P（0，t），M（x，y）则PM 2x 2( ty )2x 2t 22tyy 2MG 2( y1)2y 22y1y x 2，x 2

18、4yPM 24yt 22tyy 2y 22y12y2tyt 210，即2y(1t )( t 21)0要使2y(1t )( t 21)0对任意y恒成立则1t0且t 210，t1当点P的坐标为（0，1）时，PMMG恒成立此时PN 2x 2( 1y )2x 212yy 2NH 2( y3)2y 26y9y x 21，x 28y8PN 28y812yy 2y 26y9PN 2NH 2，即PNNH故存在点P（0，1），使PMMG、PNNH恒成立设直线y1、y3分别与y轴交于E、F，连接PG、PHMG、NH分别是直线y1、y3的垂线MGNH，PMGPNHPMMG，PNNH，MPGMGP，NPHNHPMPG

19、NPH，P、G、H三点在同一直线上 ，又PE112，PF134 ，即 为定值 10（四川某校自主招生）一开口向上抛物线与x轴交于A（m2，0）、B（m2，0）两点，顶点为C，且ACBC（1）若m为常数，求抛物线的解析式；（2）点Q在直线ykx1上移动，O为原点，当m4时，直线ykx1上只存在一个点Q使得OQB90，求此时直线ykx1的解析式解：（1）设抛物线的解析式为ya( xm2)( xm2)a( xm )24aACBC，由抛物线对称性知ABC是等腰直角三角形，又抛物线开口向上，AB( m2)( m2)4C（m，2），4a2，a 抛物线的解析式为y ( xm )22（2）当m4时，B（6，0

20、），设直线ykx1与x轴交于H（t，0），与y轴交于E（0，1）并设OB中点为G，以OB为直径作GOxyGBHEQ当直线与G切于点Q时，只存在一个点Q使得OQB90设HOt，HQ是G的切线，GQH90EOH又QHGOHE，QHGOHE 而QG3，OE1，QH3OH3t在Rt中，QH 2QG 2HG 2(3t )23 2(3t )2，解得t0（舍去）或t H（ ，0），把H（ ，0）代入ykx1，得 k10，k 所求直线为y x1Oxy11（湖南娄底）已知二次函数yx 2( m 22)x2m的图象与x轴交于点A（x1，0）和点B（x2，0），x1x2，与y轴交于点C，且满足 （1）求这个二次函数

21、的解析式；（2）探究：在直线yx3上是否存在一点P，使四边形PACB为平行四边形？如果有，求出点P的坐标；如果没有，请说明理由解：（1）由已知得：x1x2m 22，x1x22mOxyBCAP ，即 ， 解得m1，或m2当m1时，yx 2x2，得A（2，0），B（1，0）当m2时，yx 22x4，与x轴无交点，舍去这个二次函数的解析式为yx 2x2（2）由（1）得A（2，0），B（1，0），C（0，2）假设存在一点P，使四边形PACB是平行四边形，则PBAC且PBAC根据平移知识可得P（1，2）经验证P（1，2）在直线yx3上故在直线yx3上存在一点P（1，2），使四边形PACB为平行四边形12

22、（湖北荆州、荆门）已知：y关于x的函数y( k1)x 22kxk2的图象与x轴有交点（1）求k的取值范围；（2）若x1，x2是函数图象与x轴两个交点的横坐标，且满足( k1)x122kx2k24x1x2求k的值；当kx k2时，请结合函数图象确定y的最大值与最小值解：（1）当k1时，函数为一次函数y2x3，其图象与x轴有一个交点当k1时，函数为二次函数，其图象与x轴有一个或两个交点令y0，得( k1)x 22kxk20(2k )24( k1)( k2)0，解得k 2，即k 2且k1综上所述：k的取值范围为k 2（2）x1x2，由（1）知k 2且k1由题意得( k1)x12( k2)2kx1 （

23、*）将（*）代入( k1)x122kx2( k2)4x1x2中得：Oy11x1x 32k( x1x2)4x1x2又x1x2 ，x1x2 2k 4 ，解得：k11，k22（不合题意，舍去）所求k值为1k1，y2x 22x12( x )2 且1x 1由图象知：当x1时，y最小3；当x 时，y最大 y的最大值为，最小值为313（湖北随州）在次数学活动课上，老师出了道题：（1）解方程x 22x30巡视后，老师发现同学们解此题的方法有公式法、配方法和十字相乘法（分解因式法）接着，老师请大家用自己熟悉的方法解第二道题：（2）解关于x的方程mx 2( m3)x30（m为常数，且m0）老师继续巡视，及时观察、

24、点拨大家再接着，老师将第二道题变式为第三道题：（3）已知关于x的函数ymx 2( m3)x3（m为常数）求证：不论m为何值，此函数的图象恒过x轴、y轴上的两个定点（设x轴上的定点为A，y轴上的定点为C）；xy33636360若m0时，设此函数的图象与x轴的另一个交点为B，当ABC为锐角三角形时，求m的取值范围；当ABC为钝角三角形时，观察图象，直接写出m的取值范围请你也用自己熟悉的方法解上述三道题.解：（1）由x 22x30，得( x1)( x3)0，x11，x23（2）方法一：由mx 2( m3)x30得( x1)( mx3)0m0，x11，x2 xy1363630BAC方法2：由公式法：x

25、1,2 x11，x2 （3）1 当m0时，函数ymx 2( m3)x3为y3x3令y0，得x1，令x0，得y3直线y3x3过定点A（1，0），C（0，3）2 当m0时，函数ymx 2( m3)x3为y( x1)( mx3)抛物线y( x1)( mx3)恒过两定点A（1，0），C（0，3）和B（ ，0）当m0时，由可知抛物线开口向上，且过点A（1，0），C（0，3）和B（ ，0）观察图象可知，当ABC为直角三角形时，有AOCCOBxy1363630BAC9B ，|OC|2|OA|OB|3 21|OB|，OB9，即B（9，0）当0 9，即m 时，ABC为锐角三角形观察图象可知，当0m 时，B点在（

26、9，0）的右侧，ACB90当m0且m3时，点B在x轴的负半轴上，B与A不重合ABC中ABC90或BAC90，ABC为钝角三角形当0m 或m0且m3时，ABC为钝角三角形14（广东肇庆）已知二次函数ymx 2nxp图象的顶点横坐标是2，与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0），x10x2，与y轴交于点C，O为坐标原点，tanCAOtanCBO1（1）求证：n4m0；（2）求m、n的值；（3）当p0且二次函数图象与直线yx3仅有一个交点时，求二次函数的最大值解：（1）将2代入顶点横坐标得： 2，n4m0（2）已知二次函数图象与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0），且由（1）知n4mx1x2 4，

27、x1x2 x10x2，在RtACO中，tanCAO 在RtCBO中，tanCBO tanCAOtanCBO1， 1x10x2，OC| p|0 ，即 ，p4m| p|当p0时，m ，此时n1当p0时，m ，此时n1（3）当p0时，二次函数的表达式为：y x 2xp二次函数图象与直线yx3仅有一个交点，方程组 仅有一个解一元二次方程x3 x 2xp即 x 2p30有两个相等根0 24( )( p3 )0，解得：p3此时二次函数的表达式为：y x 2x3 ( x2)24a 0，y有最大值415（福建模拟）在平面直角坐标系中，已知函数y12x和函数y2x6，不论x取何值，y0都取y1与y2二者之中的较

28、小值（1）求y0关于x的函数关系式；（2）现有二次函数yx 28xc，若函数y0和y都随着x的增大而减小，求自变量x的取值范围；（3）在（2）的结论下，若函数y0和y的图象有且只有一个公共点，求c的取值范围解：（1）y0 （说明：两个自变量取值范围都含有等号或其中一个含等号均不扣分，都没等号扣1分）（2）对于函数y0，y0随x的增大而减小，y0x6（x 2）又函数yx 28xc的对称轴为直线x4，且a10当x 4时，y随x的增大而减小2x 4（3）若函数yx 28xc与y0x6只有一个交点，且交点在2x 4范围内则x 28xcx6，即x 27x( c6)0(7)24( c6)734c0，得c 此时x1x2 ，符合2x 4c 若函数yx 28xc与y0x6有两个交点，其中一个在2x 4范围内，另一个在2x 4范围外则734c0，得c 方法一：对于函数y