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文档简介
1、2012年全国各地中考数学压轴题专集答案四、二次函数1(北京)已知二次函数y( t1)x 22( t2)x 在x0和x2时的函数值相等(1)求二次函数的解析式;(2)若一次函数ykx6的图象与二次函数的图象都经过点A(3,m),求m和k的值;(3)设二次函数的图象与x轴交于点B,C(点B在点C的左侧),将二次函数的图象在点B,C间的部分(含点B和点C)向左平移n(n0)个单位后得到的图象记为G,同时将(2)中得到的直线ykx6向上平移n个单位请结合图象回答:平移后的直线与图象G有公共点时,n的取值范围xOy11解:(1)由题意得( t1)2 22( t2)2 解得t 二次函数的解析式为y x
2、2x 1OCBxyB图1(2)A(3,m)在二次函数y x 2x 的图象上m (3)2(3) 6点A的坐标为(3,6)点A在一次函数ykx6的图象上63k6,k4(3)由题意,可得点B,C的坐标分别为(1,0),(3,0)平移后,点B,C的对应点分别为B(1n,0),C(3n,0)将直线y4x6平移后得到直线y4x6n1OCBxyC图2如图1,当直线y4x6n经过点B(1n,0)时,图象G(点B 除外)在该直线右侧由04(1n)6n,得n 如图2,当直线y4x6n经过点C(3n,0)时,图象G(点C 除外)在该直线左侧由04(3n)6n,得n6由图象可知,符合题意的n的取值范围是 n 62(北
3、京模拟)已知抛物线yx 2( m2)x3( m1)(1)求证:无论m为任何实数,抛物线与x轴总有交点;(2)设抛物线与y轴交于点C,当抛物线与x轴有两个交点A、B(点A在点B的左侧)时,如果CAB或CBA这两角中有一个角是钝角,求m的取值范围;(3)在(2)的条件下,P是抛物线的顶点,当PAO的面积与ABC的面积相等时,求该抛物线的解析式(1)证明:( m2)24(1)3( m1)( m4)20无论m为任何实数,抛物线与x轴总有交点OCBxyA(2)解:由题意,m10当m4,图象与x轴只有一个交点m1且m-4(3)解:令yx 2( m2)x3( m1)解得x1m1,x23可求得顶点P( ,)当
4、A(m1,0)、B(3,0)时SPAO SABC , ( m1) (m4)3( m1)解得m16yx 218x45当A(3,0)、B(m1,0)时同理得 3 ( m4)3( m1)解得m yx 2 x 3(上海模拟)如图,在平面直角坐标系xOy中,二次函数y x 2bxc的图象经过点A(1,1)和点B(2,2),该函数图象的对称轴与直线OA、OB分别交于点C和点DyxOAB11-1-1(1)求这个二次函数的解析式和它的对称轴;(2)求证:ABOCBO;(3)如果点P在直线AB上,且POB与BCD相似,求点P的坐标(1)解:由题意,得 解得 二次函数的解析式为y x 2 x2对称轴为直线x1(2
5、)证明:易得直线OA的解析式为yx,从而C的坐标为(1,1)由A(1,1),B(2,2),C(1,1)得ABBC,OAOCABO=CBO(3)解:由直线OB的表达式yx,得点D的坐标为(1,1)yxOAB11-1-1PEDCFH由A(1,1),B(2,2),得直线AB的解析式为y x 从而直线AB与x轴的交点E的坐标为(4,0)POBBCD相似,ABOCBOBOPBDC或BOPBCD当BOPBDC时由BDC135,得BOP135此时点P与点E重合点P的坐标为(4,0)当BOPBCD时由POBBCD,得 而BO2,BD,BC,BP 又BE2,PE 作PHx轴,垂足为点H,BFx轴,垂足为点F则P
6、HBF, 而BF2,EF6,PH ,EH ,OH 点P的坐标为( ,)综上所述,点P的坐标为(4,0)或( ,)4(安徽)如图,排球运动员站在点O处练习发球,将球从O点正上方2m的A处发出,把球看成点,其运行的高度y(m)与运行的水平距离x(m)满足关系式ya( x6)2h已知球网与O点的水平距离为9m,高度为2.43m,球场的边界距O点的水平距离为18m(1)当h2.6时,求y与x的关系式(不要求写出自变量x的取值范围);(2)当h2.6时,球能否越过球网?球会不会出界?请说明理由;(3)若球一定能越过球网,又不出边界,求h的取值范围xOyA26918球网边界解:(1)当h2.6时,ya(
7、x6)22.6由其图象过点(0,2),得36a2.62,解得a y ( x6)22.6(2)当h2.6时,由(1)知y ( x6)22.6由于当x9时,y ( 96)22.62.452.43,球能越过球网由 ( x6)22.60,x 0,得x6 18或由x18时,y ( 186)22.60.20,球落地时会出界(3)根据题设知ya( x6)2h由图象经过点(0,2),得36ah2 由球能越过球网,得9ah 2.43 由球不出边界,得144ah 0 解得h ,所以h的取值范围是h 5(安徽某校自主招生)已知二次函数yx 22mx1记当xc时,相应的函数值为yc,那么,是否存在实数m,使得对于满足
8、0x 1的任意实数a、b,总有yayb 1如果存在,求出实数m的取值范围;如果不存在,请说明理由解:设f( x )在0x 1的最小值为M,原问题等价于2M 1,即M 二次函数yx 22mx1的图象是一条开口向上的抛物线当对称轴xm 0时,由图象可知,x0时,y最小1,此时1 成立当对称轴xm在0m 1时,由图象可知xm时,y最小 且y最小1m 2此时有1m 2 ,即m 2 ,故有0m 当对称轴xm在m 1时,由图象可知,x1时,y最小 且y最小22m此时有22m ,即m ,与m 1矛盾,故舍去综上可知,满足条件的m存在,且m的取值范围是m 6(浙江模拟)已知二次函数yx 2axa2(1)证明:
9、不论a取何值,抛物线yx 2axa2的顶点P总在x轴的下方;(2)设抛物线yx 2axa2与y轴交于点C,如果过点C且平行于x轴的直线与该抛物线有两个不同的交点,并设另一个交点为点D,问:QCD能否是等边三角形?若能,请求出相应的二次函数解析式;若不能,请说明理由;(3)在第(2)的条件下,设抛物线与x轴的交点之一为点A,则能使ACD的面积等于 的抛物线有几条?请证明你的结论解:(1)判别式a 24( a2)( a2)240抛物线与x轴总有两个交点又抛物线开口向上,抛物线的顶点在x轴下方(或由二次函数解析式得:y( x )2 a 2a2抛物线顶点的纵坐标为 a 2a2 ( a2)210,当a取
10、任何实数时总成立不论a取何值,抛物线的顶点P总在x轴的下方)(2)由条件得:抛物线顶点Q( , a 2a2),点C( 0,a2)当a0时,过点C存在平行于x轴的直线与抛物线相交于另一点D此时CD|a|,点Q到CD的距离为|( a2)( a 2a2) a 2过Q作QPCD于P要使QCD为等边三角形,则需OP CD,即 a 2 |a|由a0,解得a2(或由CDCQ,或由CP CO等求得a的值)QCD可以是等边三角形此时相应的二次函数解析式为yx 22x22或yx 22x22(3)CD|a|,点A到CD的距离为|a2|由SACD |a( a2)| ,解得a1 或a1 满足条件的抛物线有四条7(江苏镇
11、江)对于二次函数yx 23x2和一次函数y2x4,把yt( x 23x2)( 1t )( 2x4 )称为这两个函数的“再生二次函数”,其中t是不为零的实数,其图象记作抛物线E现有点A(2,0)和抛物线E上的点B(1,n),请完成下列任务:【尝试】(1)当t2时,抛物线yt( x 23x2)( 1t )( 2x4 )的顶点坐标为_;(2)判断点A是否在抛物线E上;(3)求n的值;【发现】通过(2)和(3)的演算可知,对于t取任何不为零的实数,抛物线E总过定点,坐标为_【应用1】二次函数y3x 25x2是二次函数yx 23x2和一次函数y2x4的一个“再生二次函数”吗?如果是,求出t的值;如果不是
12、,说明理由;【应用2】以AB为边作矩形ABCD,使得其中一个顶点落在y轴上,若抛物线E经过A、B、C、D其中的三点,求出所有符合条件的t的值OA11xy解:尝试(1)(1,2)(2)将x2代入yt( x 23x2)( 1t )( 2x4 ),得y0,所以点A(2,0)在抛物线E上(3)将x1代入nt( x 23x2)( 1t )( 2x4 )6发现A(2,0),B(1,6)应用1x1代入y3x 25x2,计算得y66抛物线y3x 25x2不经过点B二次函数y3x 25x2不是二次函数yx 23x2和一次函数y2x4的一个“再生二次函数”应用2如图,作矩形ABC1D1和ABC2D2,过点B作BK
13、y轴于点K,过点B作RMx轴于点MOGD1D2AMC1C2BKTH11xy易得AM3,BM6,BK1,KBC1MBA则 ,即 ,求得C1K ,点C1(0,)易知KBC1GAD1,得AG1,D1G ,点D1(3,)易知OAD2GAD1,得 由AG1,OA2,D1G ,求得OD21,点D2(0,1)易知TBC2OD2A,得TC2AO2,BTOD21,点C2(3,5)抛物线E总过定点A(2,0),B(1,6)符合条件的三点只可能是A、B、C或A、B、D当抛物线E经过A、B、C1时,将C1(0,)代入yt( x 23x2)( 1t )( 2x4 ),求得t1 当抛物线E经过A、B、D1,A、B、C2,
14、A、B、D2时,可分别求得t2 ,t3 ,t4 满足条件的所有t的值为: , , ,8(江苏模拟)如图,建立平面直角坐标系xOy,x轴在地平面上,y轴垂直于地平面,单位长度为1千米某炮位于坐标原点,把发射后的炮弹看成点,其飞行的高度y(千米)与飞行的水平距离x(千米)满足关系式ykx (1k 2)x 2(k0),其中k与发射方向有关,炮的射程是指炮弹落地点的横坐标Ox(千米)y(千米)(1)求炮的最大射程;(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小),其飞行高度为3.2千米,试问它的横坐标a不超过多少时,炮弹可以击中它?请说明理由解:(1)令y0,得kx (1k 2)x 20由实际意义和题设条件
15、知x0,k0x 10,当且仅当k1时取等号炮的最大射程为10千米(2)a0,炮弹可以击中目标存在k0,使ka (1k 2)a 23.2成立关于k的二次方程a 2k 220aka 2640有正根(20a )24a 2( a 264)0,解得a6当它的横坐标a不超过6千米时,炮弹可以击中它9(江苏模拟)已知一次函数y1kxm与二次函数y22ax 22bxc(b为整数)的图象交于A(22 ,32 )、B(22 ,32 )两点,二次函数y22ax 22bxc和二次函数y3ax 2bxc1的最小值的差为l(1)求y1、y2、y3的解析式;(2)若y1与y3的图象交于C、D两点,求CD的长;(3)P是y轴
16、上一点,过点P任意作一射线分别交y2、y3的图象于M、N,过点M作直线y1的垂线,垂足为G,过点N作直线y3的垂线,垂足为H是否存在这样的点P,使PMMG、PNNH恒成立,若存在,求出P点的坐标,并探究 是否为定值;若不存在,请说明理由解:(1)将A(22 ,32 )、B(22 ,32 )代入y1kxm,得 解得:y1x1将A、B两点的坐标代入y22ax 22bxc,整理得:8a2b1易得y22ax 22bxc的最小值为c ,y3ax 2bxc1的最小值为c1 由题意,|c ( c1 )|1,即|1 |1又8a2b1,得|1 |11 1,解得b0或1 1,整理得b 22b10,此方程无整数解b
17、0,代入8a2b1,得a y2 x 2c令x1 x 2c,得x 24x4c40x1x24,x1x24c4( x1x2 )2( x1x2 )24x1x2 22 ( 22 )2324 24( 4c4 )32,c0y2 x 2,y3 x 21(2)令x1 x 21,得x 28x160x3x48,x3x416( x3x4 )2( x3x4 )24x3x4 8 24(16)128| x3x4|8 | CD|8 16PGHENMFOxyy1y3y2 x 2y3 x 21(3)设P(0,t),M(x,y)则PM 2x 2( ty )2x 2t 22tyy 2MG 2( y1)2y 22y1y x 2,x 2
18、4yPM 24yt 22tyy 2y 22y12y2tyt 210,即2y(1t )( t 21)0要使2y(1t )( t 21)0对任意y恒成立则1t0且t 210,t1当点P的坐标为(0,1)时,PMMG恒成立此时PN 2x 2( 1y )2x 212yy 2NH 2( y3)2y 26y9y x 21,x 28y8PN 28y812yy 2y 26y9PN 2NH 2,即PNNH故存在点P(0,1),使PMMG、PNNH恒成立设直线y1、y3分别与y轴交于E、F,连接PG、PHMG、NH分别是直线y1、y3的垂线MGNH,PMGPNHPMMG,PNNH,MPGMGP,NPHNHPMPG
19、NPH,P、G、H三点在同一直线上 ,又PE112,PF134 ,即 为定值 10(四川某校自主招生)一开口向上抛物线与x轴交于A(m2,0)、B(m2,0)两点,顶点为C,且ACBC(1)若m为常数,求抛物线的解析式;(2)点Q在直线ykx1上移动,O为原点,当m4时,直线ykx1上只存在一个点Q使得OQB90,求此时直线ykx1的解析式解:(1)设抛物线的解析式为ya( xm2)( xm2)a( xm )24aACBC,由抛物线对称性知ABC是等腰直角三角形,又抛物线开口向上,AB( m2)( m2)4C(m,2),4a2,a 抛物线的解析式为y ( xm )22(2)当m4时,B(6,0
20、),设直线ykx1与x轴交于H(t,0),与y轴交于E(0,1)并设OB中点为G,以OB为直径作GOxyGBHEQ当直线与G切于点Q时,只存在一个点Q使得OQB90设HOt,HQ是G的切线,GQH90EOH又QHGOHE,QHGOHE 而QG3,OE1,QH3OH3t在Rt中,QH 2QG 2HG 2(3t )23 2(3t )2,解得t0(舍去)或t H( ,0),把H( ,0)代入ykx1,得 k10,k 所求直线为y x1Oxy11(湖南娄底)已知二次函数yx 2( m 22)x2m的图象与x轴交于点A(x1,0)和点B(x2,0),x1x2,与y轴交于点C,且满足 (1)求这个二次函数
21、的解析式;(2)探究:在直线yx3上是否存在一点P,使四边形PACB为平行四边形?如果有,求出点P的坐标;如果没有,请说明理由解:(1)由已知得:x1x2m 22,x1x22mOxyBCAP ,即 , 解得m1,或m2当m1时,yx 2x2,得A(2,0),B(1,0)当m2时,yx 22x4,与x轴无交点,舍去这个二次函数的解析式为yx 2x2(2)由(1)得A(2,0),B(1,0),C(0,2)假设存在一点P,使四边形PACB是平行四边形,则PBAC且PBAC根据平移知识可得P(1,2)经验证P(1,2)在直线yx3上故在直线yx3上存在一点P(1,2),使四边形PACB为平行四边形12
22、(湖北荆州、荆门)已知:y关于x的函数y( k1)x 22kxk2的图象与x轴有交点(1)求k的取值范围;(2)若x1,x2是函数图象与x轴两个交点的横坐标,且满足( k1)x122kx2k24x1x2求k的值;当kx k2时,请结合函数图象确定y的最大值与最小值解:(1)当k1时,函数为一次函数y2x3,其图象与x轴有一个交点当k1时,函数为二次函数,其图象与x轴有一个或两个交点令y0,得( k1)x 22kxk20(2k )24( k1)( k2)0,解得k 2,即k 2且k1综上所述:k的取值范围为k 2(2)x1x2,由(1)知k 2且k1由题意得( k1)x12( k2)2kx1 (
23、*)将(*)代入( k1)x122kx2( k2)4x1x2中得:Oy11x1x 32k( x1x2)4x1x2又x1x2 ,x1x2 2k 4 ,解得:k11,k22(不合题意,舍去)所求k值为1k1,y2x 22x12( x )2 且1x 1由图象知:当x1时,y最小3;当x 时,y最大 y的最大值为,最小值为313(湖北随州)在次数学活动课上,老师出了道题:(1)解方程x 22x30巡视后,老师发现同学们解此题的方法有公式法、配方法和十字相乘法(分解因式法)接着,老师请大家用自己熟悉的方法解第二道题:(2)解关于x的方程mx 2( m3)x30(m为常数,且m0)老师继续巡视,及时观察、
24、点拨大家再接着,老师将第二道题变式为第三道题:(3)已知关于x的函数ymx 2( m3)x3(m为常数)求证:不论m为何值,此函数的图象恒过x轴、y轴上的两个定点(设x轴上的定点为A,y轴上的定点为C);xy33636360若m0时,设此函数的图象与x轴的另一个交点为B,当ABC为锐角三角形时,求m的取值范围;当ABC为钝角三角形时,观察图象,直接写出m的取值范围请你也用自己熟悉的方法解上述三道题.解:(1)由x 22x30,得( x1)( x3)0,x11,x23(2)方法一:由mx 2( m3)x30得( x1)( mx3)0m0,x11,x2 xy1363630BAC方法2:由公式法:x
25、1,2 x11,x2 (3)1 当m0时,函数ymx 2( m3)x3为y3x3令y0,得x1,令x0,得y3直线y3x3过定点A(1,0),C(0,3)2 当m0时,函数ymx 2( m3)x3为y( x1)( mx3)抛物线y( x1)( mx3)恒过两定点A(1,0),C(0,3)和B( ,0)当m0时,由可知抛物线开口向上,且过点A(1,0),C(0,3)和B( ,0)观察图象可知,当ABC为直角三角形时,有AOCCOBxy1363630BAC9B ,|OC|2|OA|OB|3 21|OB|,OB9,即B(9,0)当0 9,即m 时,ABC为锐角三角形观察图象可知,当0m 时,B点在(
26、9,0)的右侧,ACB90当m0且m3时,点B在x轴的负半轴上,B与A不重合ABC中ABC90或BAC90,ABC为钝角三角形当0m 或m0且m3时,ABC为钝角三角形14(广东肇庆)已知二次函数ymx 2nxp图象的顶点横坐标是2,与x轴交于A(x1,0)、B(x2,0),x10x2,与y轴交于点C,O为坐标原点,tanCAOtanCBO1(1)求证:n4m0;(2)求m、n的值;(3)当p0且二次函数图象与直线yx3仅有一个交点时,求二次函数的最大值解:(1)将2代入顶点横坐标得: 2,n4m0(2)已知二次函数图象与x轴交于A(x1,0)、B(x2,0),且由(1)知n4mx1x2 4,
27、x1x2 x10x2,在RtACO中,tanCAO 在RtCBO中,tanCBO tanCAOtanCBO1, 1x10x2,OC| p|0 ,即 ,p4m| p|当p0时,m ,此时n1当p0时,m ,此时n1(3)当p0时,二次函数的表达式为:y x 2xp二次函数图象与直线yx3仅有一个交点,方程组 仅有一个解一元二次方程x3 x 2xp即 x 2p30有两个相等根0 24( )( p3 )0,解得:p3此时二次函数的表达式为:y x 2x3 ( x2)24a 0,y有最大值415(福建模拟)在平面直角坐标系中,已知函数y12x和函数y2x6,不论x取何值,y0都取y1与y2二者之中的较
28、小值(1)求y0关于x的函数关系式;(2)现有二次函数yx 28xc,若函数y0和y都随着x的增大而减小,求自变量x的取值范围;(3)在(2)的结论下,若函数y0和y的图象有且只有一个公共点,求c的取值范围解:(1)y0 (说明:两个自变量取值范围都含有等号或其中一个含等号均不扣分,都没等号扣1分)(2)对于函数y0,y0随x的增大而减小,y0x6(x 2)又函数yx 28xc的对称轴为直线x4,且a10当x 4时,y随x的增大而减小2x 4(3)若函数yx 28xc与y0x6只有一个交点,且交点在2x 4范围内则x 28xcx6,即x 27x( c6)0(7)24( c6)734c0,得c 此时x1x2 ,符合2x 4c 若函数yx 28xc与y0x6有两个交点,其中一个在2x 4范围内,另一个在2x 4范围外则734c0,得c 方法一:对于函数y
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