圆锥曲线解题技巧汇编

1、 (2004全国东北理科卷全国东北理科卷)设双曲线的焦点在设双曲线的焦点在x 轴上轴上,两条渐近线为两条渐近线为y = x，则该双曲线的离，则该双曲线的离 心率心率e=( ) A. 5 B. C. D.5 5 2 5 4 1 2 222 2 22 cab e aa =1+k2. 其中其中k为双曲线渐近线的斜率为双曲线渐近线的斜率. C e2=5/4. (2005全国全国卷文科卷文科)已知双曲线已知双曲线 的一条准线为的一条准线为 ，则该双曲线的离心率为，则该双曲线的离心率为 ( ) A B C D )0( 1 2 2 2 ay a x 2 3 x 2 3 2 3 2 6 3 32 x y o

2、F1F2 b a 1 k a 2 3 2 a c 2 ; 3 k e 将将k2=e2- -1代入上式代入上式, 整理得整理得 9e4- -9e2- -4=0e2=4/3. D 4 2 212 2 12 ,2 , 1 . 3 b PFFFc a PF FF 2 22 1 , 3 2 b a ab 42 3440kk 已知已知F1、F2为双曲线为双曲线 (a 0, b 0)的焦点，过的焦点，过F2作垂直于作垂直于 x 轴的直线交轴的直线交 双曲线于双曲线于P, 且且PF1F230(如图如图), 求双求双 曲线的渐近线方程曲线的渐近线方程. 22 22 1 xy ab x y o P F1F2 即即

3、 ec 3a, e23, 11 costan2. 3e 已知已知F1、F2为双曲线为双曲线 (a 0, b 0)的焦点，过的焦点，过F2作垂直于作垂直于 x 轴的直线交双曲轴的直线交双曲 线于线于P, 且且PF1F230(如图如图), 求双曲线的渐近求双曲线的渐近 线方程线方程. 22 22 1 xy ab x y o P F1F2 |PF1|2|PF2|， exP+a=2(exP- -a)， exP3a, k2=e2- -1=2. y= x.2 (2005福建理科福建理科) 已知已知F1、F2是双曲线是双曲线 - = - = 1(a0, b0)的两焦点的两焦点, 以线段以线段F1F2为边作正

4、三角为边作正三角 形形MF1F2, 若边若边MF1的中点在双曲线上，则双曲的中点在双曲线上，则双曲 线的离心率是线的离心率是 ( ) A. 4+2 B. - -1 C. D. +1 2 2 x a 2 2 y b 333 31 2 x y o F1F2 M A 30 x1 由已知由已知, |AF1|=c, |AF2|= c,3 即即 ex1- -a=c, ex1+a= c, 3 两式相减：两式相减：2a=( - -1)c, 3 两边同除以两边同除以a得得 e= 2 31. 31 (2005福建理科福建理科)已知已知F1、F2是双曲线是双曲线 (a 0,b 0)的两个焦点，以线段的两个焦点，以线

5、段F1F2为边作为边作正三正三 角形角形MF1F2, 若边若边MF1的的中点中点在双曲线上在双曲线上, 则双曲则双曲 线的离心率是线的离心率是 ( ) A. 4+2 B. - -1 C. D. +1 22 22 1 xy ab 333 31 2 因为因为|NF1|=exN- -a=c, 即即exN+a= c 3 y x o M F2 N F1 又又|NF2|= |NF1|, 3 D 3 2exN=( +1)c 将将xN=c/2代入即得代入即得. 要点提炼：设双曲线的离心率为设双曲线的离心率为e, 一条有一条有 较小倾斜角较小倾斜角 的渐近线的斜率为的渐近线的斜率为k,则双曲线的则双曲线的 如下

6、性质在解题时十分有用：如下性质在解题时十分有用： 过焦点作一条渐近线的垂线过焦点作一条渐近线的垂线,垂足在双曲线垂足在双曲线 的准线上的准线上, 垂线段的长等于半虚轴长；垂线段的长等于半虚轴长； arccos(1/e)； e2k21. 此外此外, 双曲线的焦半径公式：双曲线的焦半径公式：r1 |ex0a|，r2|ex0a| 在处理涉及双曲线的在处理涉及双曲线的 焦半径问题时是十分有用的焦半径问题时是十分有用的,必须要学生熟记必须要学生熟记 它它. 1122 ,PFr PFr设设 .162 21 2 2 2 1 rrrr 222 12 (2 )4 520,rrc, 2 21 rr 12 12 1

7、 2 F PF Sr r 设而不求 (1994全国全国)设设F1, F2为双曲线为双曲线 的两的两 个焦点，点个焦点，点P在双曲线上，且在双曲线上，且F1PF2=90则则 F1PF2的面积是的面积是 ( ) A. 1 B. C. 2 D. 1 4 2 2 y x 2 5 5 12 4rr =1. A x y o F1F2 P 1 2 12 1 2 PF FP SFFy 22 22 44, 5 xy xy 2 11 . 55 P yy 12 12 111 2 51. 225 PF FP SF Fy 以以F1F2为直径的圆为直径的圆 的方程是：的方程是： x2+y2=5, (2005全国全国卷卷)

8、已知双曲线已知双曲线 的焦的焦 点为点为F1、F2, 点点M在双曲线上且在双曲线上且MF1MF2=0,则点则点 M到到 x轴的距离为轴的距离为( ) A B C D 1 2 2 2 y x 4 3 5 3 2 3 3 3 x y o F1F2 M x2+y2=3 MF1MF2=0MF1MF2 x2+y2=3, 2x2- -y2=2 2 P y = 4 . 3 平几知识的应用 C 已知已知F1、F2为双曲线为双曲线 (a 0,b 0)的焦点，的焦点，M为双曲线上的点为双曲线上的点, , 若若F1MF2 90, 则则F1MF2的面积等于的面积等于_. 22 22 1 xy ab x y o F1F

9、2 M 一般化 x2+y2=c2, b2x2- -a2y2=a2b2 c2y2=b2(c2- -a2)=b4 y=b2/c S F1MF2=b2. (2005全国全国卷卷)已知双曲线已知双曲线 的焦的焦 点为点为F1、F2, 点点M在双曲线上且在双曲线上且MF1MF2=0,则点则点 M到到 x 轴的距离为轴的距离为( ) A B C D 1 2 2 2 y x 4 3 5 3 2 3 3 3 x y o F1F2 M C S F1MF2=b2=2 设点设点M到到 x 轴的距离为轴的距离为d, 则则 cd=S d= 2 . 3 将直角坐标系中的曲线平移将直角坐标系中的曲线平移(或平或平 移坐标轴

10、移坐标轴)，曲线上任意两点之间的距，曲线上任意两点之间的距 离（弦长）、两条定弦之间的夹角、离（弦长）、两条定弦之间的夹角、 以及曲线上任一点处的切线的斜率，以及曲线上任一点处的切线的斜率， 都是平移变换下的都是平移变换下的不变量不变量. (1995全国全国)直线直线l过抛物线过抛物线y2a(x+1) (a0)的焦点的焦点, 并且与并且与x轴垂直轴垂直, 若若l被抛物线被抛物线 截得的线段长为截得的线段长为4, 则则a . 直线直线l过抛物线过抛物线 y24(x+1)的焦点的焦点, 并且并且 与与x轴垂直轴垂直, 若若 l 被抛物线截得的线段长被抛物线截得的线段长 为为 . 4 4 y2a(x

11、- -3) （2003 新课程卷）设新课程卷）设a0，f(x)=ax2+bx+c, 曲曲 线线 y=f(x)在点在点 P(x0, f(x0)处的切线的倾斜角的处的切线的倾斜角的 取值范围为取值范围为 ，则点，则点P到曲线到曲线y=f(x)对称轴对称轴 距离的取值范围为距离的取值范围为 ( ) A. B. C. D. 0, 4 1 0, a 1 0, 2a 0, 2 b a 1 0, 2 b a 曲线曲线 y=f(x)在点在点 P(x0, f(x0)处处 的切线的斜率的切线的斜率 k=2ax0. 依题意依题意,0k1,1,即即 002ax01.1. 0 1 0. 2 x a B f (x)=2a

12、x, x y o FP y=ax2 y=- - 1 4a y =2ax, y | =1.1 2 x a 2 1 xy a 证明：点证明：点P处的切线斜率为处的切线斜率为1 x y o F P 证明：点证明：点P处的切线斜率为处的切线斜率为1 法一法一：由由 y2=2px 2yy =2p, , p y y 1. yp y 法二法二：由由2ypx 12 22 p y px 2 1.p x y F 回回 顾顾 y2=2px PF = p x y o A 2 p x x = - 命题命题1 设抛物线设抛物线y2=2px(p0)的通径为的通径为PQ，则则 抛物线在点抛物线在点P、Q处的切线的斜率分别为处

13、的切线的斜率分别为1和和- -1, 且切线通过抛物线的准线与且切线通过抛物线的准线与x轴的交点轴的交点. x y O P Q F 2 p x= - M x y o F P (2004 全国东部卷全国东部卷) 设抛物线设抛物线y2=8x的准线与的准线与x 轴交于点轴交于点Q，若过点，若过点Q的直线的直线l与抛物线有公共点，与抛物线有公共点， 则直线则直线l的斜率的取值范围是的斜率的取值范围是 ( ) A. B. - -2,2 C. - -1,1 D. - -4,4 1 1 , 2 2 y2=18x y2=8(x- -6) C 已知已知F为抛物线为抛物线C：y24x的焦点，的焦点，P为为C上的上的

14、 任一点，过点任一点，过点F且斜率为且斜率为1的直线与的直线与C交于交于A、B 两点，若两点，若 PAB的面积为的面积为4 ，则这样的点，则这样的点P有有 ( ) (A) 1个个 (B) 2个个 (C) 3个个 (D) 4个个 2 AB：x- -y- -1=0 求得求得|AB|=8 ；取点取点M(1,2) MAB的面积为的面积为42 C 2 点点M到直线到直线AB的距离为的距离为 x y o A B F M 引申引申1 1椭圆通径一个端点处切线的斜率椭圆通径一个端点处切线的斜率 x y o F1 P 22 , b yax a 由由 22 12 . 2 bx y a ax 得得 22 . xc

15、bc ye a ac 引申引申2 2 双曲线通径端点处切线的斜率为双曲线通径端点处切线的斜率为 e. 引申引申3 3 过椭圆过椭圆 上一点上一点 P (x0, y0) 的切线方程为：的切线方程为： 22 22 1(0) xy ab ab 00 22 1; x xy y ab 2 0 0 2 0 (). b x kfx a y 切 引申引申4 4 过双曲线过双曲线 上一点上一点 P (x0, y0) 的切线方程为：的切线方程为： 22 22 1(0,0) xy ab ab 00 22 1; x xy y ab 2 0 0 2 0 (). b x kfx a y 切 引申引申5 5 过抛物线过抛物

16、线y2=2px上一点上一点P (x0, y0)的切的切 线方程为：线方程为： y0y=p (x+x0 ) y0y=p (x+x0 )k切 切= 0 p y 命题命题2 若若PQ为焦点在为焦点在x轴上的圆锥曲线轴上的圆锥曲线 的通径，则曲线在点的通径，则曲线在点P、Q处的切线的斜率处的切线的斜率 为为e和和- -e，且切线通过相应准线与，且切线通过相应准线与x轴的交轴的交 点点. 或表述为：过焦点在或表述为：过焦点在x轴上的圆锥曲线轴上的圆锥曲线 的准线与的准线与x轴的交点，且斜率为轴的交点，且斜率为e(或或- -e)的的 直线，与圆锥曲线相切，且切点为圆锥曲直线，与圆锥曲线相切，且切点为圆锥曲

17、 线一条通径的端点线一条通径的端点. x y o 作离心率为作离心率为1/2的椭圆的椭圆 x y o F A B |OF|c, |FA|b, |OA|a. c|AB|2ab |AB| 2ab c 2 . b e 作离心率为作离心率为2的双曲线的双曲线 (2004湖南理科卷湖南理科卷)如图，过抛物线如图，过抛物线x2=4y的对的对 称轴上任一点称轴上任一点P(0,m) (m0)作直线与抛物线交于作直线与抛物线交于 A，B两点，点两点，点Q是点是点P关于原点的对称点关于原点的对称点. ( I ) 设点设点P分有向线段分有向线段AB所成的比为所成的比为 ，证明，证明 QP(QA- - QB)； (

18、II ) 设直线设直线AB的方程是的方程是 x- -2y+12=0，过过A、B两点两点 的圆的圆C与抛物线在点与抛物线在点A处有处有 共同的切线，求圆共同的切线，求圆C的方程的方程. x y o A P B Q x y o A P B Q(0,- -m) (x1,y1) (x2,y2) AP=(- -x1, m- -y1), PB=(x2, y2- -m), 由已知由已知, x1=- - x2, y1- -m=- - (y2- -m). 即即 22 2222 1212 ,.xxymym 因为因为A、P、B共线共线, 且且AP= PB. QP= QA+ QB= (QA+ QB). 1 11 1

19、1 欲证欲证QP(QA- - QB), 只须证只须证QP (QA- - QB)=0, 即证即证|QA|2- - 2|QB|2=0. 而而 |QA|2- - 2|QB|2= +(y1+m)2- - 2 +(y2+m)2 2 1 x 2 2 x 光 的 反 射 基本原理: ()光的传播遵循光的传播遵循“光行最速原理光行最速原理”; ()光的反射应满足：光的反射应满足：“入射角入射角=反射角反射角”; 由此推得由此推得 入射线与反射线关于入射线与反射线关于法线法线对称对称; 投影线为水平线时投影线为水平线时, k入射线 入射线+k反射线反射线=0. 光 的 反 射 基本技巧: 始始点点 终终点点 入

20、射线入射线; 始始点点终终点的对称点点的对称点 反射线反射线.始始点的对称点点的对称点终终点点 (1989全国全国) 自点自点A( -3, 3 )发出的光线发出的光线 l 射到射到x 轴上被轴上被 x 轴反射，其反射光线所在直线与圆轴反射，其反射光线所在直线与圆 x2+y2- -4x- -4y+7=0相切相切, 求光线求光线 l 所在直线的方程所在直线的方程. (x-2)2+(y-2)2=1 x1 y o 1 - -1 . . A . . A? 始点的对称点始点的对称点终终点点 -反射线反射线； 终终点的对称点点的对称点始始点点 -入射线入射线. (2005江苏江苏) 点点P(- -3,1)在

21、椭圆在椭圆 的左准线上的左准线上, 过点过点P且方向为且方向为a=(2,- -5)的光线的光线, 经经 直线直线y=- -2反射后通过椭圆的左焦点反射后通过椭圆的左焦点, 则这个椭圆则这个椭圆 的离心率为的离心率为 ( ) A. B. C. D. 22 22 10 xy ab ab 3 3 1 3 2 2 1 2 x y o P(- -3,1) F(- -c,0) M N l 解法一： 依题意依题意, 入射线方程为入射线方程为 y- -1=- - (x+3) 5 2 令令y=- -2, 得得M(- - , - -2); 9 5 令令y=0, 得得N(- - ,0). 13 5 F(- -1,0

22、) a2=3 2 3 a c 3 3 e x y o P(- -3,1) F(- -c,0) M N l 解法二： 点点F关于直线关于直线y=- -2的的 对称点为对称点为Q(- -c,- -4 ). c=1 a2=3 2 3 a c 依题意依题意, kPQ=- - , 5 2 Q 3 3 e 要点提炼： 光反射的理论依据，是物理学中的光反射的理论依据，是物理学中的光行最速光行最速 原理原理；数学中处理这类问题的基本方法是运用；数学中处理这类问题的基本方法是运用 平面几何中的平面几何中的对称性对称性，这就是，这就是“通法通法”. 只有把只有把 握住握住“通法通法”，不论题目如何变化，你才能在，

23、不论题目如何变化，你才能在 解题时得心应手，游刃有余解题时得心应手，游刃有余. (2004江苏卷江苏卷)已知椭圆的中心在原点，离心已知椭圆的中心在原点，离心 率为率为 ，一个焦点是，一个焦点是F(- -m,0) (m是大于零的常是大于零的常 数数). ()求椭圆方程；求椭圆方程； ()设设Q是椭圆上的一点，且过点是椭圆上的一点，且过点F，Q的直的直 线线l与与y轴交于点轴交于点M，若，若|MQ|=2|QF|，求直线，求直线l的的 斜率斜率. 1 2 () 22 22 1. 43 xy mm () 22 22 1. 43 xy mm x y o M Q F |MQ|=2|QF| ()分析：由题设

24、，由题设，|xM- -xQ|=2|xQ- -xF|， 即即|xQ|=2|xQ+m|，即即xQ=- -2m 或或 xQ=- - m. 2 3 3x2+4y2=12m2, y=k(x+m) (3+4k2)x2+8k2mx+4k2m2- -12m2=0 令令x=- -2m ，得，得k=0； 令令x=- - m ，得，得k=2 .6 2 3 (2004东北理科卷东北理科卷) 给定抛物线给定抛物线C：y2=4x，F 是是C的焦点，过点的焦点，过点F的直线的直线l与与C相交于相交于A、B两点两点. () 设设l的斜率为的斜率为1，求，求OA与与OB的夹角；的夹角； () 设设BF= FA, 若若 4, 9

25、，求，求l在在y轴上截距轴上截距 的变化范围的变化范围. x y o A B F () 由对称性，我们只须研由对称性，我们只须研 究如图的情况究如图的情况. x y o A B F 2 4 , 1 yx xmy ( 1 ) 当当yB=- -4yA时，时， 2 34 , 44 ABA ABA yyym yyy 2 440ymy yA=1 m = . 3 4 令令x=0，得，得y1= 4 . 3 ( 2 ) 当当yB=- -9yA时，同理可得时，同理可得y2= 3 . 4 m 433 4 ,. 344 3 CD AB E (2000新课程卷新课程卷) 如图如图, 已知梯形已知梯形ABCD中中, |

26、AB|=2|CD|, 点点E分有向线段分有向线段AC所成的比为所成的比为 ，双，双 曲线过曲线过C、D、E三点，且以三点，且以A、B为焦点为焦点. 当当 时，求双曲线离心率时，求双曲线离心率e的取值范围的取值范围. 23 34 由由|AE|= |EC|, x y 设设|AB|=2c, 则则A(- -c,0), C( , yC), 又设又设E(x0, y0), 2 c 得得 x0+c= ( - -x0), 2 c x0= (2) 2(1) c |EC|= (exC+a)- -(- -ex0- -a)=2a+e(xC+x0), 因为因为|EC|=|AC|- -|AE| 因为因为|EC|= (exC

27、+a)- -(- -ex0- -a)=2a+e(xC+x0), |AE|= |EC|, x0= (2) 2(1) c 所以所以- -ex0- -a= 2a+e( +x0) 2 c t = 0 (2) 2(1) xe a - -2et- -2= 4+e(e+2t) 2e( +1)t= - -(e2 +4 +2) 将将代入代入 两边同乘以两边同乘以 2 a e2( - -2)= - -(e2 +4 +2) e2= 123 2 11 因为因为 23 34 所以所以 7 e210, 得得710.e (2004天津理科卷天津理科卷)椭圆的中心是原点椭圆的中心是原点O，它的，它的 短轴长为短轴长为2 ，相应于焦点，相应于焦点F(c,0)的准线的准线l与与x轴轴 相交于点相交于点A，|OF|=2|FA|.过点过点A的直线与椭圆相的直线与椭圆相 交于交于P、Q两点两点. ()求椭圆的方程及离心率；求椭圆的方程及离心率； ()若若OPOQ=0，求直线，求直线 PQ的方程；的方程； ()设设AP= AQ( 1).过点过点P且平行于且平行于l的直线的直线 与椭圆相交于另一点与椭圆相交于另一点M. 证明：证明：FM=- - FQ. 2 M A P Q O F x y 22 1, 62 xy e= 6 3 x y