数列专题复习14讲参考例题.doc

1、高考14讲一一数列专题参考例题n =1,2 川.33an1、已知数列an的首项印蔦，时宀刁（I）求an的通项公式;an1 22 n X (1 x)2 3n（川）证明：2na1aH ann +1（n）证明：对任意的解法一：（I）* an 1 z 3an2an+11 2 1 =+3 3a nan 111an 112又丄-1,an3.丄_1是以2为首项, lan.丿31为公比的等比数列.32= 3n（n）由（I）知3n3n - 21 1 21 x (1 x)2 ,3n1亠j 一(1 x)2 ,3nJx)l1+x(1+x)2an一1 1anan 1 x（川）由（n）知，对任意的an, 原不等式成立.1

2、 1印川a 不x 0，有2-x(1 x)2 31x(1 x)2f-x川-一-亠S3钏汪-nx1 +x (1+x)2(3 323n丿2nn 1取x2 32川境 n V333则 a!a an -1 1n-原不等式成立.解法二：(I)同解法一.(n)设 f(x)二 11 x (1 x)-(1 x)2?-x-2(1 x) 2 补x(1 x)2(1 x)2(1 x)27x o,2 2.当X ：飞时，f (x) .0 ;当x 飞时,33f (x) ： 0 ,-当时，f (x)取得最大值f32 1n .3n 2 n3n-原不等式成立.(川)同解法一.2.在平面直角坐标系中，已知An(n,an)、Bn(n,b

3、n)、Cn(n-1,0)(nN*)，满足向量与向量BnCn共线，且点Bn(门,0)( n，N *)都在斜率6的同一条直线上(1)试用ad与n来表示an ；(2)设ai =a,bi - -a，且12 - a -15，求数an中的最小值的项.3、已知定义在 R上的单调函数y=f(x),当x1，且对任意的实数 x、y R，有f(x+y)= f(x)f(y),(I)求f(0)，并写出适合条件的函数f(x)的一个解析式；(n)数列an满足 a1=f(0)且 f (an 1)(n N*),f (2 a.)令bn= ()an,Sn 二 bl b2bn,Tn 二21anan 14试比较Sn与一Tn的大小，并加

4、以证明34、已知二次函数f(X)二ax2 bx满足条件：f (0) = f (1)；f (x)的最小值为(1) 求函数f (x)的解析式；(4 y(n)(2) 设数列an的前n项积为Tn,且Tn,求数列an的通项公式；(3)在的条件下，若5f(an)是bn与的等差中项，试问数列0中第几项的值最小 出这个最小值。参考答案2解：(1)V点Bn(n,bn)(N*)都在斜率为6的同一条直线上,bn 1 - bn(n 1) - n=6,即 bn 1 - bn 二 6,于是数列bn是等差数列，故bb1 6(n-1). 3分AnAn1 =(1,an1 an), BnCn =(7 - bn),又 An Ap

5、1 与 BnCn 共线，1 ( bn ) _( _1)(an 1 - an ) = 0,即 an 1 _ an bn-5分当 n 2时,a n = a1 (a2_ a1) (a3- a2) 八- (a n- a n)=a1b1b2 b3 八- bn1=a1 b1(n -1)3(n1)(n2).7分当n=1时，上式也成立.所以 an =81b1(n _1) 3(p _1)(n_2). 8分(2)把at =a,b1 =_a代入上式，2得 an 二 a - a(n -1) 3( n -1)( n - 2) = 3n -(9 a)n 6 2a.79 +a12 : a 乞 15,-:乞一,2 6当n=4

6、时，an取最小值，最小值为a4 =18-2a. 13分 3、解：(I)由题意，令 y=0, x0，得 f(x)1 f(0)=0 ,v x1. 1 f(0)=0. f(0)=1.1 x适合题意的f(x)的一个解析式为f(x)=()2(II )由递推关系知 f(an+1) f( 2 3n)=1，即 f(3n+1 2 an)=f(0)./ f(x)的 R 上单调， an+1 an=2, (n N*), 又 a1=1，故 an=2 n 1.1 . an. 1 2n J bn=()=()2 2知(扩1-G)21 -a2a335,Sn = b l + b2+bn=12+(1)3+ +(1 严12 22nT

7、n 二a1 a?1 1T匕7312(1丄an an 11+133 5+2n -1 2n 1131一)(14n2(2n_ 1)(2 n 1)1 1 1) (1 )2 2n 12113)=()=2n 13 2 n 1 424n -(2n 1)(2n 1) 4n4欲比较Sn与一Tn的大小，只需比较 4n与2n +1的大小.3由=1，2，3 代入可知 4n2n+1，猜想 4n2n+1.下用数学归纳法证明1(i) 当 n=1 时，4 2 X 1+1 成立(ii) 假设当n=k时命题成立，即4k2k+1当 n=k+1 时，4k+1=4X 4k4(2k+1)=8k+4=2(k+1)+1+6k+12(k+1)

8、+1,说明当n=k+1时命题也成立.由(i) (ii)可知，4n2 n+1对于n N*都成立4故 Sn Tn.3注：证明4n2n+1，除用数学归纳法证明以外，如：4n=(1+3)n=1+C： 3 + C； 32 + +C：解：(1)由题知：ra +b =0a 0bi _ 110分12分还可用其它方法证明,3n -1 3n 2n 1.Tn -1.4a 一82n -nTn = 3ia2 H an,15丿(nJ)2 4n4)4 251a =,解得 2I. 21 2 1，故 f(XH2X -x.(n -2),Tn4 nl又q二T, =1满足上式 所以an(n N ).若5f (an)是bh与an的等差中项,则2 5f (anbn an,12123 29从而10(尹n寸n an,得bn =碍-6an = 5(an卡9分10分(4因为an = 4(n N )是n的减函数，所以53_-