二项式定理在数列求和中的应用

1、二项式定理在数列求和中的应 用作者：日期:二项式定理在数列求和中应用班级:数学1403姓名：王琪学号：14 40433 7二项式定理在数列求和中的应用【摘要】本文利用二项式定理和杨辉三角的内在联系，结合组合不等式，推导出形如an na(a 2,3,4)的前n项和的公式，并给出求更高次求和公式的一般方 法。【关键词】 二项式定理组合数方程的根系数一、项式定理和杨辉三角介绍：1,二项式疋理(a b)n C：anb C；an 1b1 C2an 2b2其中cn叫做二项式系数。2 ,杨辉三角：III cnarbr 川 C：abn二项式定理的应用非常广泛，也很重要，主要表现在两个方面：一是它所 揭示的方法

2、富有启发性；二是它与高等数学联系紧密学习与掌握它，既有利 于培养学生联想和抽象思维的能力，也有利于其今后进一步的学习二项式定理在中国被称为“贾宪三角”或“杨辉三角”，一般认为是北宋数 学家贾宪所首创它记载于杨辉的详解九章算法(126 1)之中.在阿拉伯数学 家卡西的著作算数之钥(1427)中也给出了一个二项式定理系数表，他所用 的计算方法与贾宪的完全相同在欧洲,德国数学家阿皮安努斯在他1 5 27年出版 的算数书的封面上刻有此图，但一般称之为“帕斯卡三角形”因为帕斯卡在16 54年也发现了这个结果.而在1664年和1665年间，也就是由于瘟疫流行而迫使牛顿从剑桥躲开的前夕 牛顿就开始了二项式定

3、理的研究，值得注意的是 ，牛顿只处理了二项式的自乘幕 是分数或负数的情况牛顿第一次提到二项式定理是在1676年6月13日他写给奥尔登堡转给莱布尼兹的一圭寸信中，此后牛顿对于该定理进行不断的推理、猜想和 证明，最终建立了二项式定理.牛顿在建立了二项式定理以后，马上就抛弃了他 以前用于求积的插值法，而把这个定理当做确定曲线下方面积的一个最简单最直 接的方法来使用.随着时间的推移，二项式定理被越来越多的人运用，直到今天，二项式定理已 经是中学数学内容的重要部分，也是当今高考的难点之一.二项式定理是在处理有关两个元素和的方幕的问题时常常考虑到的一个重要公 式,是组合数学中一个基础而重要的定理，在微积分

4、、概率论、初等数论等许多数 学分支中都可见其踪影二、二项式的性质二项式定理：.理解二项式定理应注意：(1) 二项式中,a是第一项，b是第二项，顺序不能变；(2) 展开式中有n 1项(比指数多1);(3) C0,C：,|,C：是二项式系数；(4 )a的指数降幕，b的指数是升幕，两者的指数的和等于n ；(5 )二项式展开时要注意各项的符号规律；(6)注意二项式定理的可逆性.二项式定理除了要注意以上几点外还具有一些性质a b 的二项展开二项式系数相等W两端以外其余位置的二项式系数表个数之和,a b n的m 1miCn 1，与首末两端“等距离”的两项的Cn m n性质二性质三式中，所有二项式系数的和等

5、于性质一cn0 cn HI V 2n.(令a b 1即得,或用集合的子集个数 的两种计算方法结果相等来解释)性质四 a b n的二项展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，即Cn Cn22rn2r 1nIll C；r 川 C： C；川 C：r1 川 2n 1. (令a 1,b1即得).、重要组合恒等式:(1), cn;C； 1Cnr证明：Cn 1cn 1(n 1)!(r 1)!( n r)!(n 1)!r!(n 1r)!r!(n r)! Cn (证毕)(n 1)! r (n r)r (n r)，C；r!( n r)!C； 1 C；2 | Cn1Cn 1(n r) 证明(数学

6、归纳法):当n r 1时 上式 左边=1右边是C； 11 ,所以是正确的。假设上式对n k(k r)正确 即C； C； 1 C；| C： 1 C： 1那么就有C；C；1C：2|C；1C：C；1C：再有组合不等式(1)可得C； C； 1 C；2 III C；1 C； C；故综上所述 对于所有大于r的正整数n ( 2)式都是成立的。四、一元n次多项式根与系数的关系对于多项式xn a1xn 1 a?xn 2 |”an必0若x1, x2, x| xn是它的n个 根则有一下等式成立：(1)1a1 X1 X2 川 Xn(1)2a2 X1X2 X1X3 卅 Xn 1Xn(1)iaix；1 x；I X；(所有

7、i个不同的根的乘积的和)(1)n a1a2a(an五、应用举例为了方便应用，(2)式也可以写成C； C；1 C；2 HI C；ni Crr n (n r) 当r= 1 , 2 ,3,4的时候上式也就是：2 3 I nn(n 2!1)11 3 6 III -n(n1)3-n(n1)(n2)1)( n 2)(n 3)1n(n 1)(n 2)(n 3)(n 4) 5!AA4 10n(n 1 )(n 2)n(n3!4!A1 5 15 川 n(n 1)( n 2)( n 3)六、归纳总结n命题一 ：k1mnkmn 1 m 1k 1k 1证明：nk 1 m2口3mmmnn 1k 1nmmk1?m3mm n

8、k 1nn两式相减有：k1 mmmakn 11k 1k 1n命题二：1 nk 1由乘法的定义可知:n个1相加的结果为nn命题二：kk 1n n 12证明：由二项式定理知：k 1 2 k2 2k 1，从而:k2 2k 1即： kk 1k2k 1由此可得:nk2k 1n即：kk 1命题四：n1 21k nk 162n证明：由二项式定理可知：k33k23k 1，从而nk3:13k2 3kn即： kk 1nk31n3 k2k 1由此可得:n3k2k 113nk31n n21 2nn即：k2k 11 2n命题五:nk3k 1证明：由二项式定理可知：k44k36k2 4k 1,从而nk4 4k326k 4

9、k 1nnnnnn即： k 1 4 k44 k36 k24 k 1k 1k 1k 1k 1k 1k 1由此可得：nnnnnn4k3k 1 4k46k24 k1k1k 1k 1k 1k 1k 1“ 4“1 ,n n 1n 116n n 12n1 4n622n n 1即：nk3n n 12k 12命题六n1 knn 12n 13n23n 1k 130证明：由二项式定理可知：k 1 5k55k410k310k25k 1 ,从而nn55432k 1k5k10k10k5k1k 1k 1nnnnnnn即：k 15k55k410k310k25 k1k 1k 1k 1k1k 1k 1k 1由此可得:nn5 k

10、4k 1n5k510nk310nk2nn5 k1k 1k 1k 1k 1k 1k 1k 125n n11n n 1k11 1010n n1 2n 15 -n26212n n1 2n 13n3n130nF面我们讨论一般情况下数列的和，即：kmk 1由二项式定理可知：k imi cm；km1 c：ikm cm；km1cm* cmi，从nn而有 k 1m1cm；km1 c：1km cm；km1cm 1kk 1k 1可得:1km1 m 11kcm1kmnn 1m1 1cm；km1k 1Cm 1 knn 1 m1 1cm；km1k 1C mCm 1Cm 1k至此，我们求出了连续自然数任意次方的和推论 若多项式 f(k) k(k 1)(k 2川|(ka 1，则1)他的k10, k21,k3 2,川他的展开式中ka 1的系数是a1(0123川1)(a1)a2a2 k*2 k1k3 川 ka 1kaka2的系数,则可能导致无法同 理 f(k) k(k 1)(k 2川|(k a 2) 展开 是:a；(0 1 2 卅 a 2)二项式定理有着广泛的