线性代数 同济大学3-3

1、1 updown 3 线性方程组的解 一 、线性方程组的解法 二、 线性方程组有解的判定条件 三、 推广的定理 2 updown 解 1 2 2 1 1 2 2 1 A2 1 2 2 0 3 6 4 一 、 线性方程组的解法 例1 求解齐次线性方程组 x1 2x2 x3 x4 0 x1 x2 4x3 3x4 0 对系数矩阵 A施行初等行变换： x12x3 3x4 0, x2 2x3 x4 0, 3 updown 4 5 3 注意R(A)、R(A,b)、 未知量个数n、自由 未知量个数关系! R(A)=R(A,b) 5 3 1 2 2 4 3 0 0 0 0 即得与原方程组同解的方程组 x1 2

2、x3 x4, 由此即得 x2 2x3 x4, 4 updown 3 4 5 3 R(A)=R(A,b)=2 、n=4、 自由未知量个数=2 =4R(A) ( x3,x4 可任意取值). 令 x3 c1, x4 c2，把它写成通常的参数 形式 5 3 1 2 x4 0 1 1 2 概念：线性方程组相容 方程组有解 3x1 x2 5x3 3x4 2, 1 2 3 1 1 r2 1 r 1 2 r3 1 r 5 updown 例 求解非齐次线性方程组 x1 2x2 3x3 x4 1, 2x1 x2 2x3 2x4 3. 解对增广矩阵B进行初等变换， 5 3 2 B3 1 5 3 2 0 5 2 1

3、2 2 3 r3 r2 0 0 1 1 1 2 1 0 0 3 4 04 显然，R(A) 2, R(B) 3,故方程组无解 R(A)=2 、 R(A,b)= 3、 n=4 概念：线性方程组不相容 方程组无解 1 1 10 1 1 1 1 0 例 求解非齐次方程组的通解 x1 x2 2x3 3x4 1 2 解 对增广矩阵B进行初等变换 1 3 3 B1 1 1 1 1 2 1 2 0 0 1 0 2 up 0 1 1 2 6 1 4 2 down 1 1 0 1 1 2 x3 2x4 1 2 7 updown 0 0 0 0 0 0 0 1 2 1 2. 由于RA RB 2, 故方程组有解，且有

4、 x1 x2 x4 1 2 x1 x2 x4 1 2 x2 x 0 x 2 4 x3 0 x2 2x4 1 2 x4 0 x2 x4 R(A)=R(A,b)=2 、 n=4、 自由未知量个数=2 =4R(A) 8 updown 所以方程组的通解为 x2 1 0 0 3 4 其中x2 c1, x4 c2为自由未知量. ( c1, c2 R ) 9 updown 二、线性方程组有解的判定条件 问题： 如何利用系数矩阵 A和增广矩阵 B的秩， 讨论线性方程组 Ax b的解 定理1：n元线性方程组Ax=b (1)无解的充要条件R(A)R(A,b) (2)有唯一解的充要条件R(A)=R(A,b)=n (

5、3)有无限多解的充要条件R(A)=R(A,b)n 10 updown 证 定理1：n元线性方程组Ax=b (1)无解的充要条件R(A)R(A,b) (2)有唯一解的充要条件R(A)=R(A,b)=n (3)有无限多解的充要条件R(A)=R(A,b)n 设R(A)=r，不妨设 B A,b的行最简形为 0 d r 1 11 updown (1)若R(A)R(B),则dr+1=1,对应矛盾方程：0=1.方程组无解. B1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 b11 b21 br1 0 0 0 b1,n r b2,n r br ,n r 0 0 0 d 1 d 2 d

6、r 0 0 d1 dr n 12 updown 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 d2 dr1 0 0 b1,nr b2,nr br,nr 0 0 0 b11 b21 br1 0 0 0 r BB1 (2)若R(A)=R(B)= r = n, 则dr+1=0或不出现, 且bij都不出现， x1 d 1 对应方程组： x 2 d 2 所以方程组解唯一. x n d n d1 dr BB1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 d2 0 0 0 b1,nr b2,nr br,nr 0 0 0 b11 b21 br1 0

7、 0 0 （3）若R(A)=R(B)= r n, 则dr+1=0 或不出现,对应方程组： x1 b11xr1 .b1,nrxn d1 . x b x x d 13 up down x2 21xr1 2,nr n d2 b.b x r r1 r1 .br,nr n r 14 updown x1 b11xr1 .b1,nrxn d1 . x b x x d 令自由未知数 xr1 c1 , . , xn cnr 即得方程（2）的含 n-r个参数的解 （3） 15 updown x1 b11xr1 .b1,nrxn d1 . x b x x d x1 b11c1 .b1,nrcnr d1 xr1 c1

8、 xn cnr 16 updown x1 b11 b1,nr d1 . cnr 1 0 0 xn 0 1 0 由于参数 c1 , . , cnr可取任意值，故方程 （2）有无穷多个解，这种含参数的解（4）称 为线性方程组（1）的通解。 17 updown 定理1：n元线性方程组Ax=b (1)无解的充要条件R(A)R(A,b) (2)有唯一解的充要条件R(A)=R(A,b)=n (3)有无限多解的充要条件R(A)=R(A,b)n 证明： （1）必要性是（2）、（3）充分性的逆否命题； 同理可证（2）（3）的必要性。 18 updown Ax b有唯一解小结 RA RB n RA RB n Ax

9、 b有无穷多解. 定理2：n元线性方程组Ax=b 有解的充要条件R(A)=R(A,b) 定理3：n元齐次线性方程组Ax=0 有非零解的充要条件R(A)n 特别的：当A是方阵时，Ax=0 有非零解的 充要条件是 | A |=0 （见教材25页、77页） x 2 x 19 updown 有解的充要条件 x2 a1 x3 a2 x4 a3 x5 a4 x1 a5 x1 例 证明方程组 x3 4 x5 是a1 a2 a3 a4 a5 0.在有解的情况下， 求出它的一切解 证明 对增广矩阵B进行初等变换， 方程组的增广矩阵为 B 0 a1 a3 x x 2 x x 4 0 RA RB a3 i 1 ai

10、 20 updown 5 ai 0 5 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 a1 a2 a4 i1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 1 a2 a4 a5 a1 a2 a3 a4 a5 x1 x2 3 x3 x4 5 x5 x1 i 1 ai 0. x3 x4 x3 a3 a4 x5 21 updown 5 是 方程组有解的充要条件 a1 a2 a3 a4 x1 x2 x2 x3 由于原方程组等价于方程组 即 x4 x5 x1 a1 a2 a3 a4 x5 x2 a2 a3 a

11、4 x5 x4 a4 x5 x2 a2 a3 a4 x5 x3 a3 a4 x5 22 updown x1 a1 a2 a3 a4 x5 由此得通解： x4 a4 x5 2 4 a4 0 （c1 为任意实数） 1 1 2 2 23 updown 例 设有线性方程组 x1 x2 x3 1 x1 x2 x3 2 问取何值时 ,有解 ?有无穷多个解 ? 解法1 对增广矩阵 B (A,b)作初等行变换， 1 1 1 1 B 1 1 1 1 1 1 1 1 24 updown B 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 2 2 0 1 1 1 1 1 当 1时, 0 1 1 1 1 x2 x2

12、c1 c 0 0 1 0 x 3 25 updown RA RB 3,方程组有无穷多解 . x1 1 x2 x3 其通解为 x3 x3 . x1 1 1 1 x2 1 2 0 c1 , c2 为任意实数 0 1 0 B 0 0 0 0 0 0 0 0 2 1 112 1 12 1 1 2 当 1时, 12 0 1 1 2 0 0 2 1 1 26 updown 这时又分两种情形： 1) 2时,RA RB 3,方程组有唯一解 : ., 2 2 1 2 1 2 x3 x2 x1 2 0 1 1 0 B 0 1 1 2 1 112 1 1 0 27 updown RA RB,故方程组无解 . 2 3

13、 0 2) 2时, 1 1 B 0 3 0 0 0 1 0 4 6 3 2 1 112 1 12 28 updown 例 设有线性方程组 x1 x2 x3 1 x1 x2 x3 2 问取何值时,有解?有无穷多个解? 解法2 1 | A| 1 1 1 1 1 1 1 ( 2)1 1 1 因系数矩阵为方阵，故可用克拉默法则试解 1 1 ( 2)( 1)2 （1） 2, 1时,| A| 0,方程组有唯一解. 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 2 0 0 0 其通解为 x2 x2 1 1 1 2 1 1 1 2 2 1 2 0 1 1 2 29 down x1

14、 1 x2 x3 x3 x3 x2, x3为任意实数 . （2）当 1时, B 1 1 1 RA RB 3,方程组有无穷多解 . 1 1 1 0 0 0 （3） 2时, B 1 1 1 1 1 1 1 1 2 4 1 2 4 0 0 0 1 所以，R(A)=2,R(B)=3.方程无解。 up 30 updown 变换，则应分别对和 两种情形进行讨论。 注意： 讨论含参数的线性方程组问题切忌作初等行 1 a 因为 a 可能为零因式，如不得已非作这种 a a 31 updown 三、推广的定理 定理4：矩阵方程AX=B 有解的充要条件R(A)=R(A,B) 法1 证明：设 A 为mn矩阵 ，B为m

15、l 矩阵 则X 为nl矩阵。把X 和B按列分块，记为 X (x1, x2,., xl) B (b1,b2,.bl) 则矩阵方程 AX=B 等价于l个向量方程 Axi bi(i 1,2,.,l) 设 R(A)=r ，且A的行最简形为 A 则 A有r 个非零行，且 A的后 m r 行全为零行. 再设 1 2 1 2 ( , ) ( , , , )( , , , ) l l A B A b b A b b )( , A b ( , ) ( 1,2, , ) i i A b i l 32 up down 定理4：矩阵方程AX=B 有解的充要条件R(A)=R(A,B) 证明：设 A 为mn矩阵 ，B为m

16、l 矩阵 矩阵方程 AX=B 等价于 Axi bi(i 1,2,.,l) 设 R(A)=r, 且A的行最简形为A 则 A有r 个非零行，且 A的后 m r 行全为零行. r ,b ,b 从而 r AX B有解 Axi bi有解 R (A,bi) R(A) bi 的后 m r 个元全为零 再设 1 2 1 2 ( , ) ( , , , )( , , , ) l l A B A b b A b b )( , A b ( , ) ( 1,2, , ) i i A b i l ( , ) ( ) i R A b R A i b 的后 个元全为零 m r m r up down 定理4：矩阵方程AX=

17、B 有解的充要条件R(A)=R(A,B) 设 R(A)=r, 且A的行最简形为A 则 A有r 个非零行，且 A的后 m r 行全为零行. r ,b ,b 从而 r AX B有解 Axi bi有解 （b1,b2,bl）的后 行全为零行. R(A,B) r R(A) 33 34 updown 定理4：矩阵方程AX=B 有解的充要条件R(A)=R(A,B) 法2 证明：设 A 为mn矩阵 ，B为ml 矩阵 则X 为nl矩阵。把X 和B按列分块，记为 X (x1, x2,., xl) B (b1,b2,.bl) 则矩阵方程 AX=B 等价于l个向量方程 Axi bi(i 1,2,.,l) 设 R(A)

18、=R(A,B) 2i xi ni 35 down R(A) R(A,bi) 从而由定理2知 l 个向量方程 Axi bi(i 1,2,.,l) 都有解， 所以矩阵方程AX=B有解 设矩阵方程AX=B有解 从而 l 个向量方程 Axi bi(i 1,2,.,l) 都有解， 设解为 (i 1,2,.,l) up 1i 设 R(A)=R(A,B) R(A) R(A,bi) R(A,B) 36 updown 记 A (a1,a2,.an) 有 1ia1 2ia2 .nian bi 对矩阵(A,B) (a1,a2,.an,b1,.bl) 作初等列变换 cni 1ic1 2ic2 .nicn(i 1,2,

19、.,l) 把(A,B)的第n1列,.,第n l列都化成0 c 即（A,B)(A,0) 所以 R(A)=R(A,B) B AT CT 37 updown 定理5：设AB=C，则 R(C) minR(A),R(B) 证明： AB C AX C 有解 X B 由定理4得，R(A)=R(A,C) 而R(C) R(A,C) R(C) R(A) T 同上可得， R(CT ) R(BT ) R(C) R(B) R(C) minR(A),R(B) 38 updown 内容小结 定理1：n元线性方程组Ax=b (1)无解的充要条件R(A)R(A,b) (2)有唯一解的充要条件R(A)=R(A,b)=n (3)有无限多解的充要条件R(A)=R(A,b)n 定理2：齐次线性方程组 Ax 0 Ax 0只有零解 RA n Ax 0有非零解 RA n 定理3：矩阵方程AX=B有解 R(A)=R(A,B) 定理4：设AB=C，则 R(C) minR(A),R(B) Ax 0与A Ax 0同解, 39 updown 思考题1 T 答: 相等. 因为对于任一实向量 x 0, 当Ax 0时, T T T T 即AxTAx 0 Ax 0; 由此可知 T 故 RATA RA. 40 updown 思考题2 讨