中国矿业大学环境与测绘学院测绘工程测量平差第七PPT学习教案

1、会计学1 中国矿业大学环境与测绘学院测绘工程中国矿业大学环境与测绘学院测绘工程 测量平差第七测量平差第七 2 其二是在平差前确定观测值的权时，假定母体的方差其二是在平差前确定观测值的权时，假定母体的方差 为已知，用式为已知，用式 或用基于上式的导出式计算（例如，在水准测量中，用式或用基于上式的导出式计算（例如，在水准测量中，用式 或或 ）。如果上述两个条件不能成立，则最小二乘平差得到的平差值和参数估值不是最优无偏估计量。因此，必须对上述假定或者说对误差分布与平差参数的正确性进行检验。）。如果上述两个条件不能成立，则最小二乘平差得到的平差值和参数估值不是最优无偏估计量。因此，必须对上述假定或者说

2、对误差分布与平差参数的正确性进行检验。 2 0 2 2 0 i i P i i S C P i i N C P 由于采用的检验方法在数学上是数理统计学的内容，故本章阐述误差分布与平差参数的统计假设检验方法。由于采用的检验方法在数学上是数理统计学的内容，故本章阐述误差分布与平差参数的统计假设检验方法。 第1页/共141页 3 统计假设统计假设 在母体的未知分布上所作的某种假设称为统计假设（习惯上将原假设记为在母体的未知分布上所作的某种假设称为统计假设（习惯上将原假设记为 ；备选假设记为；备选假设记为 ）。）。 统计假设分为参数假设和非参数假设。所谓参数假设就是对母体分布中的参数所作的假设；非参数

3、假设就是对母体分布函数所作的假设。统计假设分为参数假设和非参数假设。所谓参数假设就是对母体分布中的参数所作的假设；非参数假设就是对母体分布函数所作的假设。 0 H 1 H 第2页/共141页 4 参数假设参数假设 例如，某糖厂用自动包装机将糖装箱，每箱规定的重量为例如，某糖厂用自动包装机将糖装箱，每箱规定的重量为100斤。每天开工时，需要先检验一下包装机工作是否正常。根据以往的经验知，用自动包装机装箱，其各箱重量的标准差斤。每天开工时，需要先检验一下包装机工作是否正常。根据以往的经验知，用自动包装机装箱，其各箱重量的标准差 斤，且包装的重量变化服从正态变化。某日开工后，抽测了斤，且包装的重量变

4、化服从正态变化。某日开工后，抽测了9箱，其重量如下（单位：斤）：箱，其重量如下（单位：斤）： 15. 1 99.3，98.7，100.5，101.2，98.3，99.7，99.5，102.1，100.5 试问此包装机工作是否正常。试问此包装机工作是否正常。 第3页/共141页 5 在这个例子中，我们关心的问题是：包装机工作是否正常，即包装机装出的糖箱的平均重量是否符合标准在这个例子中，我们关心的问题是：包装机工作是否正常，即包装机装出的糖箱的平均重量是否符合标准100斤。因此，此例可作如下处理：先假设母体的平均值斤。因此，此例可作如下处理：先假设母体的平均值u=100斤（原假设记为斤（原假设记

5、为 ： u=100斤），然后利用上述抽取的斤），然后利用上述抽取的9个数据，来推断我们所作的这一假设的正确性，从而判定接受还是拒绝这种假设。个数据，来推断我们所作的这一假设的正确性，从而判定接受还是拒绝这种假设。 0 H 如果知道母体的均值如果知道母体的均值u=100斤，那么就知道母体的真分布是斤，那么就知道母体的真分布是 。正由于母体的真分布完全被几个未知参数所决定，因此将这种仅涉及到母体分布中所包含的几个未知参数的统计假设称为参数假设。正由于母体的真分布完全被几个未知参数所决定，因此将这种仅涉及到母体分布中所包含的几个未知参数的统计假设称为参数假设。 )15. 1 ,100( 2 N 第4

6、页/共141页 6 非参数假设非参数假设 某种建筑材料，其抗断强度的分布，以往的监测表明，符合正态分布，现在，生产厂家改变了原来的配料方案，生产出新的产品，希望确定新产品的抗断强度的分布是否仍为正态分布？某种建筑材料，其抗断强度的分布，以往的监测表明，符合正态分布，现在，生产厂家改变了原来的配料方案，生产出新的产品，希望确定新产品的抗断强度的分布是否仍为正态分布？ 与前例类似，先建立假设：假设改变了配料方案后生产出的该建筑材料的抗断强度仍服从正态分布（原假设记为与前例类似，先建立假设：假设改变了配料方案后生产出的该建筑材料的抗断强度仍服从正态分布（原假设记为 ： ）。然后通过抽取子样来推断上述

7、的这种假设的正确性，从而判定接受还是拒绝这种假设。这种对母体分布函数的统计假设称为非参数假设。）。然后通过抽取子样来推断上述的这种假设的正确性，从而判定接受还是拒绝这种假设。这种对母体分布函数的统计假设称为非参数假设。 0 H），（*)(NxF 第5页/共141页 7 统计假设检验统计假设检验 假设提出之后，就要判断它是否成立，以决定接受假设还是拒绝接受假设，这个过程就是假设检验的过程。在统计学上，称判断给定统计假设假设提出之后，就要判断它是否成立，以决定接受假设还是拒绝接受假设，这个过程就是假设检验的过程。在统计学上，称判断给定统计假设 的方法为统计假设检验，或简称统计检验。相应于统计假设的

8、划分，统计假设检验也分为参数假设检验和非参数假设检验。的方法为统计假设检验，或简称统计检验。相应于统计假设的划分，统计假设检验也分为参数假设检验和非参数假设检验。 在检验时，要有一定量的抽样数据在检验时，要有一定量的抽样数据(或说成子样或说成子样)，以概率论知识为基础，运用数理统计的方法进行。因此，统计假设检验所解决的问题，就是根据子样的信息，通过检验来判断母体分布是否具有指定的特征。，以概率论知识为基础，运用数理统计的方法进行。因此，统计假设检验所解决的问题，就是根据子样的信息，通过检验来判断母体分布是否具有指定的特征。 0 H 第6页/共141页 8 在本节第一例中，我们可设包装机所包装的

9、糖箱的重量为在本节第一例中，我们可设包装机所包装的糖箱的重量为x，则，则 ,且已知且已知 。我们可用假设。我们可用假设 ),( 2 Nx15. 1 100: 00 H 表示包装机工作正常。表示包装机工作正常。 我们知道，即使包装机工作正常，波动性总是存在的，所以，包装机所包装的每包糖的净重不会都等于我们知道，即使包装机工作正常，波动性总是存在的，所以，包装机所包装的每包糖的净重不会都等于 ，总是有一些差异，从而观测值的平均值，总是有一些差异，从而观测值的平均值 也不见得恰好等于也不见得恰好等于 。 0 x0 第7页/共141页 9 但若平均值但若平均值 与与 有显著的差异，即有显著的差异，即

10、相当大时，则我们就认为机器工作不正常；相当大时，则我们就认为机器工作不正常； 若平均值若平均值 与与 没有显著的差异，即没有显著的差异，即 相当小时，则我们就认为包装机工作正常。相当小时，则我们就认为包装机工作正常。 x 0 0 x x0 0 x 上述问题用数理统计的语言来说就是：如果上述问题用数理统计的语言来说就是：如果 （其（其k中为某一适当的常数），则我们接受假设中为某一适当的常数），则我们接受假设 ，即认为包装机工作正常；如果，即认为包装机工作正常；如果 ，则我们拒绝假设，则我们拒绝假设 ，即认为包装机工作不正常，上述的叙述可用概率的形式描述如下，即，即认为包装机工作不正常，上述的叙述

11、可用概率的形式描述如下，即 kx 0 0 Hkx 0 0 H 第8页/共141页 10 时，接受假设时，接受假设 。（其中。（其中 取一个较小的值，如取一个较小的值，如0.01，0.05等）。等）。 时，拒绝假设时，拒绝假设 ； kxP 0 0 H1 0 kxP 0 H 也就是说，假设检验的判断依据是小概率推断原理。所谓小概率推断原理就是：概率很小的事件在一次试验中实际上是不可能出现的。如果小概率事件在一次试验中出现了，我们就有理由拒绝它。也就是说，假设检验的判断依据是小概率推断原理。所谓小概率推断原理就是：概率很小的事件在一次试验中实际上是不可能出现的。如果小概率事件在一次试验中出现了，我们

12、就有理由拒绝它。 因此说，统计假设检验的思想是：给定一个临界概率因此说，统计假设检验的思想是：给定一个临界概率 ，如果在假设，如果在假设 成立的条件下，出现观测到的事件的概率小于等于成立的条件下，出现观测到的事件的概率小于等于 ，就作出拒绝假设，就作出拒绝假设 的决定，否则，作出接受假设的决定，否则，作出接受假设 的决定。的决定。 0 H 0 H 0 H 第9页/共141页 11 习惯上，将临界概率习惯上，将临界概率 称为显著水平，或简称水平。称为显著水平，或简称水平。 接受域接受域 接受假设接受假设 的区域称为检验的接受域。例如上面的例子，当根据子样算术平均值满足的时候的区域称为检验的接受域

13、。例如上面的例子，当根据子样算术平均值满足的时候 （或（或 ）,我们接受假设我们接受假设 ，也就是说计算的结果，也就是说计算的结果 落在了落在了 （或（或 ）区间之内，通常把区间）区间之内，通常把区间 （或（或 ）称之为接受域。如图）称之为接受域。如图7-1 0 H 0 x ),(kk 0 H ),(kk ),(k 1 0 kxPkxP 0 ),(k 第10页/共141页 12 拒绝域拒绝域 拒绝接受假设拒绝接受假设 的区域称为检验的拒绝域。例如上面的例子，如果计算的结果的区域称为检验的拒绝域。例如上面的例子，如果计算的结果 落在了落在了 区间之外，这就表示概率很小区间之外，这就表示概率很小(

14、=a)的事件居然发生了。根据小概率事件在一次实验中实际上不可能出现的原理，就有足够的理由否定原来所作的假设的事件居然发生了。根据小概率事件在一次实验中实际上不可能出现的原理，就有足够的理由否定原来所作的假设 ，通常把区间，通常把区间 （或（或 ）以外的区域称之为拒绝域。如图）以外的区域称之为拒绝域。如图7-1 0 H 0 x ),(kk ),(kk ),(k 0 H 第11页/共141页 13 由上述假设检验的思想可知，假设检验是以小概率事件在一次实验中实际上是不可能发生的这一前提为依据的。但是，小概率事件虽然其出现的概率很小，但这并不是说这种事件就完全不可能发生。事实上，如果我们重复抽取容量

15、为由上述假设检验的思想可知，假设检验是以小概率事件在一次实验中实际上是不可能发生的这一前提为依据的。但是，小概率事件虽然其出现的概率很小，但这并不是说这种事件就完全不可能发生。事实上，如果我们重复抽取容量为n的许多组子样，由于抽样的随机性，子样均值不可能完全相同，因而由此算得的统计量的数值也具有随机性。若检验的显著水平定为的许多组子样，由于抽样的随机性，子样均值不可能完全相同，因而由此算得的统计量的数值也具有随机性。若检验的显著水平定为 ，那么，即使原假设，那么，即使原假设 是正确的是正确的(真的真的)，其中仍约有，其中仍约有5%的数值将会落入拒绝域中。的数值将会落入拒绝域中。 05. 0a

16、0 H 第12页/共141页 14 由此可见，进行任何假设检验总是有作出不正确判断的可能性，换言之，不可能绝对不犯错误。只不过犯错误的可能性很小而已。由此可见，进行任何假设检验总是有作出不正确判断的可能性，换言之，不可能绝对不犯错误。只不过犯错误的可能性很小而已。 第一类错误第一类错误 当当 为真为真(正确正确)而遭到拒绝的错误称为犯而遭到拒绝的错误称为犯第一类错误第一类错误，也称为弃真的错误，如图，也称为弃真的错误，如图7-2。犯第一类错误的概率就是。犯第一类错误的概率就是a。 0 H 第二类错误第二类错误 同样地，当同样地，当 为不真为不真(不正确不正确)时，我们也有可能接受时，我们也有可

17、能接受 ，这种错误称为，这种错误称为犯第二类错误犯第二类错误，或称为纳伪的错误，如图，或称为纳伪的错误，如图7-2。犯第二类错误的概率为。犯第二类错误的概率为 。 0 H 0 H 第13页/共141页 15 显然，当子样容量显然，当子样容量n确定后，犯这两类错误的概率不可能同时减小。当确定后，犯这两类错误的概率不可能同时减小。当a增大，则增大，则 减小；当减小；当a减小，则减小，则 增大。增大。 第14页/共141页 16 在统计假设检验中，被检验的对象往往不在统计假设检验中，被检验的对象往往不 是单个的子样，而经常是对子样的某种函是单个的子样，而经常是对子样的某种函 数进行检验，例如在本节的

18、第一个例子的数进行检验，例如在本节的第一个例子的 检验问题中，是要对子样平均值检验问题中，是要对子样平均值 进进 行检验，我们知道行检验，我们知道 也是随机变量，也服也是随机变量，也服 从某种概率分布。从某种概率分布。 n i i xx 1 x 第15页/共141页 17 )( 21n xxxg， 设设 是母体的一个样本是母体的一个样本. n xxx， 21 为一个连续函数为一个连续函数. ），（ 2 X ），（ n Nx 2 如果如果 中不包含任何未知参数，则称中不包含任何未知参数，则称 为一个统计量。统计量的概率分布又称为抽样分布。为一个统计量。统计量的概率分布又称为抽样分布。 )( 21

19、n xxxg， )( 21n xxxg， 例如，例如， 就是一个统计量。当母体就是一个统计量。当母体 n i i xx 1 则则 即即 的抽样分布是的抽样分布是 。 x ），（ n N 2 第16页/共141页 18 概括起来说，进行假设检验的步骤是：概括起来说，进行假设检验的步骤是： 1根据实际需要提出原假设根据实际需要提出原假设 和备选假设和备选假设 ； 2选取适当的显著水平选取适当的显著水平a； 3确定检验用的统计量，其分布应是已知的；确定检验用的统计量，其分布应是已知的； 4根据选取的显著水平根据选取的显著水平a，求出拒绝域的界限值，如被检验的数值落入拒绝域，则拒绝，求出拒绝域的界限值

20、，如被检验的数值落入拒绝域，则拒绝 (接受接受 )。否则，接受。否则，接受 (拒绝拒绝 )。 1 H 0 H 1 H 1 H 0 H 0 H 第17页/共141页 19 由于正态分布是母体中最常见的分布，所抽取的子样也服从正态分布，由此类子样构成的统计量是进行假设检验时最常用的统计量，以下的几种参数假设检验方法均是此类统计量。由于正态分布是母体中最常见的分布，所抽取的子样也服从正态分布，由此类子样构成的统计量是进行假设检验时最常用的统计量，以下的几种参数假设检验方法均是此类统计量。 1u检验法的概念检验法的概念 第18页/共141页 20 设母体服从正态分布设母体服从正态分布 ，母体方差，母体

21、方差 为已知。从母体中随机抽取容量为为已知。从母体中随机抽取容量为n的子样，可求得子样均值的子样，可求得子样均值 ，利用子样均值，利用子样均值 对母体均值对母体均值u进行假设检验，则可用统计量进行假设检验，则可用统计量 ，其分布为标准正态分布。即，其分布为标准正态分布。即 )( 2 ，N 2 xx n x u ) 1 , 0(N n x u （7-2-1） 将这种服从标准正态分布的统计量称为将这种服从标准正态分布的统计量称为u变量，利用统计量所进行的检验方法称为变量，利用统计量所进行的检验方法称为u检验法。检验法。 第19页/共141页 21 2u检验法的类型检验法的类型 根据检验问题的不同，

22、利用根据检验问题的不同，利用u检验法对母体均值检验法对母体均值u进行检验时，可选用双尾检验法、单尾检验法（左尾检验法或右尾检验法）。进行检验时，可选用双尾检验法、单尾检验法（左尾检验法或右尾检验法）。 （1）双尾检验法。）双尾检验法。 假设：假设： 000 : ；HH 即即 1 2 222 0 2 zuP zuzPz n x zP 第20页/共141页 22 或或 1 2 0 2 n zx n zP 或写成或写成 1 0 kxP 式中式中 ， 为标准正态分布的为标准正态分布的双侧双侧100a 百分位点百分位点。 n zk 2 2 z 当当 或或 时，接受时，接受 ，拒绝，拒绝 ； 反之，拒绝反

23、之，拒绝 ，接受，接受 ； 2 zu kx 0 0 H H 0 H H 第21页/共141页 23 （2）左尾检验法）左尾检验法 假设：假设： 000 : ；HH 即即 zuPz n x P 0 或写成或写成 kxP 0 式中式中 ， 为标准正态分布的为标准正态分布的上上 100u百分位点百分位点。 n zk z 当当 或或 时，时， 拒绝拒绝 ，接受，接受 ；反之，接受；反之，接受 ， 拒绝拒绝 ； zukx)( 0 0 H H 0 H H 第22页/共141页 24 （3）右尾检验法）右尾检验法 假设：假设： 000 : ；HH 即即 zuPz n x P 0 或写成或写成 kxP 0 式

24、中式中 n zk 当当 或或 时，时， 拒绝拒绝 ，接受，接受 ；反之，接受；反之，接受 ， 拒绝拒绝 ； zu kx)( 0 0 H H 0 H H 第23页/共141页 25 例例7-1 已知基线长已知基线长 ，认为无误差。为了鉴定光电测距仪，用该仪器对该基线施测了，认为无误差。为了鉴定光电测距仪，用该仪器对该基线施测了34个测回，得平均值个测回，得平均值 ，已知，已知 ,问该仪器测量的长度是否有显著的系统误差（取问该仪器测量的长度是否有显著的系统误差（取 ）。）。 mL219.5080 0 mx253.5080m08. 0 0 05. 0 0 解：（解：（1） （2）当）当 成立时，计算

25、统计量值成立时，计算统计量值 mLH219.5080: 00 0 H 48. 2 34 08. 0 219.5080253.5080 0 n Lx 第24页/共141页 26 （3）查得）查得 96. 1 025. 02 因为因为 ，故拒绝，故拒绝 ，即认为在，即认为在 的显著水平下，该仪器测量的长度存在系统误差。的显著水平下，该仪器测量的长度存在系统误差。 96. 148. 2 2 0 H 05. 0 0 u检验法不仅可以检验单个正态母体参数，还可以在两个正态母体方差检验法不仅可以检验单个正态母体参数，还可以在两个正态母体方差 已知的条件下，对两个母体均值是否存在显著性差异进行检验。已知的条

26、件下，对两个母体均值是否存在显著性差异进行检验。 2 2 2 1 、 设两个正态随机变量设两个正态随机变量 和和 ，从两母体中独立抽取的两组子样为，从两母体中独立抽取的两组子样为 和和 。子样均值分别为。子样均值分别为 和和 ，则两个均值之差构成的统计量也是正态随即变量，即，则两个均值之差构成的统计量也是正态随即变量，即 )( 2 11 、NX )( 2 22 、NY 1 , 21n xxx 2 , 21n yyy x y 第25页/共141页 27 ),()( 2 2 1 2 21 21 nn Nyx （7-2-2） 标准化得标准化得 ) 1, 0( )()( 2 2 1 2 21 21 N

27、 nn yx （7-2-3） 如果两母体方差相等，设为如果两母体方差相等，设为 则上式为则上式为 22 21 ) 1, 0( 11 )()( 21 21 N nn yx （7-2-4） 第26页/共141页 28 。问二人观测结果的差异是否显著（取。问二人观测结果的差异是否显著（取 ）？）？ ,乙观测了乙观测了10个测回，得平均值个测回，得平均值 例例7-2 根据两个测量技术员用某种经纬仪观测水平角的长期观测资料统计，观测服从正态分布，一个测回中误差均为根据两个测量技术员用某种经纬仪观测水平角的长期观测资料统计，观测服从正态分布，一个测回中误差均为 。现两人对同一角度进行观测，甲观测了。现两人

28、对同一角度进行观测，甲观测了14个测回，得平均值个测回，得平均值 26 . 0 0 05 . 30234 x 42 . 30234 y 05. 0 0 解：解： （1） ； （2）当成立时，统计量值计算）当成立时，统计量值计算 210 :H 211 :H 第27页/共141页 29 01. 1 10 1 14 1 62. 0 42 . 3023405 . 30234 )()()( 2 2 1 2 2 2 1 2 21 2121 nn yx nn yx （3）查得）查得 96. 1 025. 02 因为因为 ，故接受，故接受 ，即认为在，即认为在 的显著水平下，二人观测的结果无显著差异。的显著水

29、平下，二人观测的结果无显著差异。 96. 101. 1 2 0 H 05. 0 0 第28页/共141页 30 在实际测量工作中，真正的在实际测量工作中，真正的 经常是未知的，一般是利用实测结果计算的估值代替，数理统计中已说明，这种代替，当子样容量经常是未知的，一般是利用实测结果计算的估值代替，数理统计中已说明，这种代替，当子样容量n200，则可认为是严密的，当一般，则可认为是严密的，当一般n30，用，用 代代 进行进行u检验则认为是近似可用的。当母体方差未知，检验问题又是小子样时，检验则认为是近似可用的。当母体方差未知，检验问题又是小子样时，u检验法便不能应用。须用以下的检验法便不能应用。须

30、用以下的t检验法对母体均值进行检验法对母体均值进行u检验。检验。 )( m 1t检验法的概念检验法的概念 第29页/共141页 31 设母体服从正态分布设母体服从正态分布 ，母体方差，母体方差 未知。从母体中随机抽取容量为未知。从母体中随机抽取容量为n的子样，可求得子样均值的子样，可求得子样均值 和子样中误差和子样中误差 ，利用子样均值，利用子样均值 和子样中误差和子样中误差 对母体均值对母体均值u进行假设检验，则可利用统计量进行假设检验，则可利用统计量 ，但统计量已不服，但统计量已不服 从正态分布，而是服从自由度为从正态分布，而是服从自由度为n-1的的t分布。即分布。即 )( 2 ，N 2

31、)( m )( m n x t x x ) 1( nt n x t （7-2-5） 用统计量用统计量t检验正态母体数学期望的方法，称为检验正态母体数学期望的方法，称为t检验法。检验法。 第30页/共141页 32 2t检验法的类型检验法的类型 根据检验问题的不同，利用根据检验问题的不同，利用t检验法对母体均值检验法对母体均值u进行检验时，可选用双尾检验法、单尾检验法（左尾检验法或右尾检验法）。进行检验时，可选用双尾检验法、单尾检验法（左尾检验法或右尾检验法）。 （1）双尾检验法）双尾检验法 假设：假设： 000 : ；HH 即即 1) 1() 1( ) 1( ) 1( 22 2 0 2 ntt

32、ntP nt n x ntP 第31页/共141页 33 ) 1( 2 nt 或或 1 ) 1( ) 1( 2 0 2 n ntx n ntP 或写成或写成 1 0 kxP 式中式中 , ) 1( 2 n ntk 侧侧100百分位点百分位点。 为分布的为分布的双双 当当 或或 时，接受时，接受 ，拒绝，拒绝 ； 反之，拒绝反之，拒绝 ，接受，接受 ； 2 ztkx 0 0 H 0 H H H 第32页/共141页 34 （2）左尾检验法）左尾检验法 假设：假设： 000 : ；HH 即即 ) 1() 1( 0 nttPnt n x P 或写成或写成 kxP)( 0 式中式中 ， 为为t分布的上

33、分布的上100a百分位点。百分位点。 n ntk ) 1() 1( nt 当当 或或 时，时， 拒绝拒绝 ，接受，接受 ；反之，接受；反之，接受 ， 拒绝拒绝 ； ) 1( ntu kx)( 0 0 H H 0 H H 第33页/共141页 35 （3）右尾检验法）右尾检验法 假设：假设： 000 : ；HH 即即 ) 1() 1( 0 nttPnt n x P 或写成或写成 kxP)( 0 式中式中 n ntk ) 1( 当当 或或 时，时， 拒绝拒绝 ，接受，接受 ；反之，接受；反之，接受 ， 拒绝拒绝 ； ) 1( ntt kx)( 0 0 H 0 H H H 第34页/共141页 36

34、 例例7-3 为了测定经纬仪视距常数是否正确，设置了一条基线，其长为为了测定经纬仪视距常数是否正确，设置了一条基线，其长为100m，与视距精度相比可视为无误差，用该仪器进行视距测量，量得长度为：，与视距精度相比可视为无误差，用该仪器进行视距测量，量得长度为： 100.3，99.5，99.7，100.2，100.4，100.0 99.8，99.4，99.9， 99.7，100.3，100.2 试检验该仪器视距常数是否正确。试检验该仪器视距常数是否正确。 解：解： 12n 95.99) 2 .1003 .1007 .999 .994 .998 .99 0 .1004 .1002 .1007 .99

35、5 .993 .100( 12 11 12 1 i i x n x 第35页/共141页 37 37. 0 1 )( 1 2 n xx n i i 46. 0 1237. 0 10096.99 n x t ,现现 ，接受，接受 ，可认为在，可认为在100m左右范围内，视距常数正确。左右范围内，视距常数正确。 假设假设 100:100: 0 ；HH 选定选定 05. 0a 以自由度以自由度 ， ，查，查t分布表得分布表得 111n05. 0 2 . 2 2 t 2 tt 0 H 第36页/共141页 38 同样，同样，t检验法不仅可以检验单个正态母体参数，还可以对两个母体均值是否存在显著性差异进

36、行检验。检验法不仅可以检验单个正态母体参数，还可以对两个母体均值是否存在显著性差异进行检验。 ,设为设为 。 , 未知，但已知未知，但已知 设两个正态随机变量设两个正态随机变量 和和 )( 2 11 、NX )( 2 22 、NY 2 2 2 1 、 2 2 2 1 22 2 2 1 从两母体中独立抽取的两组子样为从两母体中独立抽取的两组子样为 和和 。子样均值分别为。子样均值分别为 和和 ，子样方差分别为，子样方差分别为 ，则两个均值之差构成如下服从，则两个均值之差构成如下服从t分布的统计量，即分布的统计量，即 1 , 21n xxx 2 , 21n yyyx y 2 2 2 1 、 第37

37、页/共141页 39 )2( 2 ) 1() 1( 11 )()( 21 21 2 22 2 11 21 21 nnt nn nn nn yx t （7-2-6） 例例7-4 为了了解白天和夜晚对观测角度的影响，用同一架光学经纬仪在白天观测了为了了解白天和夜晚对观测角度的影响，用同一架光学经纬仪在白天观测了9个测回，夜晚观测了个测回，夜晚观测了8个测回，其结果如下个测回，其结果如下 白天观测成果：白天观测成果： 夜晚观测成果：夜晚观测成果： 22 1 49. 0,2 .308246秒 x 22 1 53. 0,7 .288246秒 y 第38页/共141页 40 问日夜观测结果有无显著的差异（

38、取问日夜观测结果有无显著的差异（取 ）？）？ 05. 0 0 解：（解：（1） ； （2）当成立时，统计量值计算）当成立时，统计量值计算 210 :H 211 :H 3283. 4 289 53. 0) 18 (49. 0) 19( 8 1 9 1 )7 .2882462 .308246( 2 ) 1() 1( 11 )()( 21 2 22 2 11 21 21 nn nn nn yx t （3）查表得）查表得 1315. 2 025. 02 tt 第39页/共141页 41 因为因为 ，故拒绝，故拒绝 ，即认为在，即认为在 的显著水平下，日夜观测结果有显著的差异。的显著水平下，日夜观测结果

39、有显著的差异。 1315. 23283. 4 2 tt 0 H 05. 0 0 顺便指出，当顺便指出，当t的自由度的自由度 时，时，t检验法与检验法与u检验法的检验结果实际相同。检验法的检验结果实际相同。t检验法也可用来检验两个正态母体的数学期望是否相等。检验法也可用来检验两个正态母体的数学期望是否相等。 301n 2 1 检验法的概念检验法的概念 2 第40页/共141页 42 设母体服从正态分布设母体服从正态分布 ，母体方差，母体方差 未知。从母体中随机抽取容量为未知。从母体中随机抽取容量为n的子样，可求得子样方差的子样，可求得子样方差 ，利用子样方差，利用子样方差 对母体方差对母体方差

40、进行假设检验，可利用统计量进行假设检验，可利用统计量 ，此统计量服从自由度为，此统计量服从自由度为n-1的的 分布，即分布，即 )( 2 ，N 2 )( 22 m )( 22 m 2 2 2 2 ) 1( n 2 ) 1( ) 1( 2 2 2 2 2 n nvv (7-2-7) 这种用统计量这种用统计量 对母体方差进行假设检验的方法，称对母体方差进行假设检验的方法，称 检验法。检验法。 2 2 第41页/共141页 43 根据检验问题的不同，利用根据检验问题的不同，利用 检验法对母体方差进行检验时，可选用双尾检验法、单尾检验法（左尾检验法或右尾检验法）。检验法对母体方差进行检验时，可选用双尾

41、检验法、单尾检验法（左尾检验法或右尾检验法）。 （1）双尾检验法）双尾检验法 2 检验法的类型检验法的类型 2 2 假设：假设： 2 0 22 0 2 0 : ；HH 即即 1 ) 1( 2 2 2 0 2 2 1 2 n P 或或 1 ) 1( ) 1( 2 0 2 22 2 0 2 1 2 nn P 第42页/共141页 44 或写成或写成 1 2 2 1 kkP 式中式中 , ) 1( 2 0 2 1 2 1 n k ) 1( 2 0 2 2 2 n k 当时当时 ，接受，接受 ，拒绝，拒绝 ；反之，拒绝；反之，拒绝 ，接受，接受 ； 2 2 1 kk 0 H 0 H H H （2）左尾

42、检验法）左尾检验法 假设：假设： 2 0 22 0 2 0 : ；HH 这里这里 虽记为虽记为 ，实际上相对，实际上相对 来说是来说是 ,当当 成立时，有成立时，有 0 H 2 0 2 1 H 2 0 2 0 H 第43页/共141页 45 a n Pa 1 ) 1( 2 2 0 2 a n Pa 2 2 2 0 ) 1( 即即 或或 如果统计量如果统计量 的计算值的计算值 大于以显著水平大于以显著水平 和自由度和自由度n-1查得的查得的 值，则拒绝原假设值，则拒绝原假设 ，接受，接受 。否则接受。否则接受 。 2 2 2 ) 1( n a a 2 0 H 0 H 1 H 第44页/共141页

43、 46 相同（取相同（取 ）？）？ 例例7-5 用某种类型的光学经纬仪观测水平角，由长期观测资料统计该类仪器一个测回的测角中误差为用某种类型的光学经纬仪观测水平角，由长期观测资料统计该类仪器一个测回的测角中误差为 。今用试制的同类仪器对某一角观测了。今用试制的同类仪器对某一角观测了10个测回，求得一个测回的测角中误差为个测回，求得一个测回的测角中误差为 08 . 1 0 07 . 10 05. 0 0 。 问新旧两种仪器的测角精度是否问新旧两种仪器的测角精度是否 解：解： （1） ； （2）当）当 成立时，计算统计量值成立时，计算统计量值 22 0 2 0 80. 1:H 22 0 2 0 8

44、0. 1:H 0 H 028. 8 80. 1 70. 19) 1( 2 2 2 0 2 2 n 第45页/共141页 47 （3）查得）查得 因为因为 落在了（落在了（2.700，19.023）区间，故接受）区间，故接受 ，即认为在，即认为在 的显著水平下，新旧两种仪器的测角精度相同。的显著水平下，新旧两种仪器的测角精度相同。 023.19)9(,700. 2)9( 2 025. 0 2 975. 0 2 0 H05. 0 0 四、四、F检验法检验法 1F检验法的概念检验法的概念 设有两个正态母体设有两个正态母体 和和 ，母体方差，母体方差 和和 未知。从两个母体中随机抽取容量为未知。从两个

45、母体中随机抽取容量为 和和 的两组子样，求得两组子样的子样方差的两组子样，求得两组子样的子样方差 和和 ，则，则 )( 2 11 ，N )( 2 22 ，N 2 1 2 2 1 n 2 n 2 1 2 2 第46页/共141页 48 ) 1( ) 1( 1 2 2 1 2 11 n n ) 1( ) 1( 2 2 2 2 2 22 n n 利用子样方差利用子样方差 和和 的上述信息对母体方差的上述信息对母体方差 和和 是否相等进行假设检验，则可利用统计量是否相等进行假设检验，则可利用统计量 2 1 2 2 2 1 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 22 1 2 1 2 1

46、1 ) 1( ) 1( ) 1( ) 1( n n n n F 第47页/共141页 49 此统计量服从此统计量服从F分布，即分布，即 ) 11( 21 2 2 2 1 2 1 2 2 nnFF， (7-2-8) 2F检验法的类型检验法的类型 根据检验问题的不同，利用根据检验问题的不同，利用F检验法对母体方差进行检验时，可选用双尾检验法、单尾检验法（右尾检验法）。检验法对母体方差进行检验时，可选用双尾检验法、单尾检验法（右尾检验法）。 （1）双尾检验法）双尾检验法 假设：假设： 2222 0 2121 : ；HH 即即 annFnnFP aa 1) 1, 1( ) 1, 1( 21 2 2 2

47、 2 1 21 2 1 第48页/共141页 50 故当故当 ) 1, 1( 21 2 1 2 2 2 1 nnF a 或或 ) 1, 1( 21 2 2 2 2 1 nnFa 时拒绝时拒绝 ,接受接受 ; 0 H 1 H 否则，接受否则，接受 。 0 H 在实际检验时，我们总是可以将其中较大的一个子样方差作为在实际检验时，我们总是可以将其中较大的一个子样方差作为 ，另一个作为，另一个作为 ，这样就，这样就 可以使可以使 永远大于永远大于1。因为。因为 2 1 2 2 2 2 2 1 ) 11( 1 ) 11( 12 2 21 2 1 nnF nnF a a ， ， 第49页/共141页 51

48、 故故 这样，就只须考察这样，就只须考察 是否落入右尾的拒绝域是否落入右尾的拒绝域 就可以了，不必再去考虑左尾的拒绝域。在这种情况下，可写成就可以了，不必再去考虑左尾的拒绝域。在这种情况下，可写成 2 2 2 1 而在而在F分布表中的所有表列值都大于分布表中的所有表列值都大于1，即上式右端中的分母，即上式右端中的分母 大于大于1， ) 11( 12 2 nnFa， ) 11( 1 ) 11( 12 2 21 2 1 nnF nnF a a ， ， 必小于必小于1， 而我们又使而我们又使 ，所以不可能有，所以不可能有 1 2 2 2 1 ) 11( 21 2 1 2 2 2 1 nnF a ，

49、的情况发生，的情况发生， 第50页/共141页 52 annFP a 1) 11( 21 2 2 2 2 1 ， （2）用右尾检验法）用右尾检验法 假设：假设： 2222 0 2121 : ；HH 因因 annFP a ) 11( 21 2 2 2 1 ， 故当时故当时 ，则拒绝，则拒绝 ，接，接 受受 ；否则，接受；否则，接受 。 ) 11( 21 2 2 2 1 nnFa， 0 H 0 H 1 H 由于前面讲过的理由，我们总是可以使由于前面讲过的理由，我们总是可以使 ，所以进行单尾检验时，就没有必要再考虑备选假设为，所以进行单尾检验时，就没有必要再考虑备选假设为 的情况了。的情况了。 1

50、2 2 2 1 2 2 2 1 第51页/共141页 53 例例7-6 用两台经纬仪对同一角度进行观测，用第一台观测了用两台经纬仪对同一角度进行观测，用第一台观测了9个测回，得一测回测角中误差估值个测回，得一测回测角中误差估值 ，用第二台也观测了，用第二台也观测了9个测回，得一测回测角中误差估值个测回，得一测回测角中误差估值 ，问两台仪器的测角精度差异是否显著（取，问两台仪器的测角精度差异是否显著（取 ）？）？ 5 . 11 4 . 22 05. 0 0 解：（解：（1） ； （2）当）当 成立时，统计量值计算成立时，统计量值计算 210 :H 210 :H 0 H 56. 2 )5 . 1

51、( )4 . 2( 2 2 2 1 2 2 2 2 2 1 F （3）查得）查得 4 . 4 F 第52页/共141页 54 的显著水平下，两台仪器的测角精度无显著差异。的显著水平下，两台仪器的测角精度无显著差异。 因为因为 ，故接受，故接受 ，即认为在，即认为在 4 . 456. 2 FF 0 H 05. 0 0 例例7-7 给出两台测距仪测定某一距离的测回数和计算的测距方差为给出两台测距仪测定某一距离的测回数和计算的测距方差为 测距仪甲：测距仪甲： ， 测距仪乙；测距仪乙； ， 试在显著水平试在显著水平 下，检验两台仪器测距精度有否显著差别。下，检验两台仪器测距精度有否显著差别。 8 1

52、n 22 10. 01cm 12 2 n 22 07. 02cm 05. 0a 解：解： 2 2 2 1 2 2 2 10 : ；HH 第53页/共141页 55 以分子自由度以分子自由度7，分母自由度，分母自由度11，查得，查得 ；计算统计量；计算统计量 76. 3 025. 0 F 43. 1 07. 0 10. 0 2 2 2 1 F 现现 ，故接受，故接受 。 2 a FF 0 H 如果上例问测距仪乙测距精度是否比甲低，此时的如果上例问测距仪乙测距精度是否比甲低，此时的 , ，原假设和备选假设为，原假设和备选假设为 22 07. 01cm 22 10. 02cm 2 2 2 1 2 2

53、 2 10 : ；HH 统计量为统计量为 7 . 0 10. 0 07. 0 2 2 2 1 F 第54页/共141页 56 在在F分布表查得分布表查得 ， , 成立，测距仪乙的测距精度不比甲差。因在成立，测距仪乙的测距精度不比甲差。因在F分布表中的值均大于分布表中的值均大于1，发现，发现F值小于值小于1， 必成立。必成立。 7 . 3)711( 05. 0 ，F a FF 0 H 0 H 分布假设检验分布假设检验 上一节介绍的几种检验方法，都是认为母体分布形式已知，在这种前提下进行讨论，对母体的参数进行假设检验的。但是，在许多的实际问题中，母体服从何种分布并不知道，这就需要对母体的分布先做某

54、种假设，然后用样本（观测值）来检验此项假设是否成立，这种检验就是上一节介绍的几种检验方法，都是认为母体分布形式已知，在这种前提下进行讨论，对母体的参数进行假设检验的。但是，在许多的实际问题中，母体服从何种分布并不知道，这就需要对母体的分布先做某种假设，然后用样本（观测值）来检验此项假设是否成立，这种检验就是分布假设检验分布假设检验。 第55页/共141页 57 在前面的学习中，我们知道，如果观测误差服从正态分布，平差计算所得的结果是最优无偏估计量。但是，如果观测误差包含了系统误差或粗差，所得的平差结果不会再是最优无偏估计，甚至是无效的结果。因此，要想使平差得到最优无偏估计的结果，必须对误差分布

55、的正态性进行检验。在前面的学习中，我们知道，如果观测误差服从正态分布，平差计算所得的结果是最优无偏估计量。但是，如果观测误差包含了系统误差或粗差，所得的平差结果不会再是最优无偏估计，甚至是无效的结果。因此，要想使平差得到最优无偏估计的结果，必须对误差分布的正态性进行检验。 在第二章的学习中知道，测量的偶然误差服从正态分布，并给出了偶然误差的四个特性，即在第二章的学习中知道，测量的偶然误差服从正态分布，并给出了偶然误差的四个特性，即 第56页/共141页 58 1.在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定的限值；在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定的限值； 2.绝对值较小的误

56、差比绝对值较大的误差出现的概率大；绝对值较小的误差比绝对值较大的误差出现的概率大； 3.绝对值相等的正误差与负误差出现的概率相等；绝对值相等的正误差与负误差出现的概率相等； 4.偶然误差的算术平均值偶然误差的算术平均值,随着观测次数的无限增加而趋向于零随着观测次数的无限增加而趋向于零 (或偶然误差的数学期望等于零或偶然误差的数学期望等于零),即即 0lim n n 或或 0)(E 第57页/共141页 59 当我们进行了一系列的观测时，若出现的误差是偶然误差或者是以偶然误差为主导的，那么，它们应该符合或基本上符合上述几个特性。当我们进行了一系列的观测时，若出现的误差是偶然误差或者是以偶然误差为

57、主导的，那么，它们应该符合或基本上符合上述几个特性。 通过下面几项检验基本上可以判断观测误差是否服从正态分布。通过下面几项检验基本上可以判断观测误差是否服从正态分布。 1误差正负号个数的检验误差正负号个数的检验 基本思想基本思想 依据偶然误差特性的第三个特性，如果观测误差是偶然误差依据偶然误差特性的第三个特性，如果观测误差是偶然误差,则正误差和负误差的个数应相等。则正误差和负误差的个数应相等。 （1）用正误差个数进行检验）用正误差个数进行检验 第58页/共141页 60 i k 其中不为零的有其中不为零的有n个。用个。用 记录误差记录误差 的正负号的信息值，当的正负号的信息值，当 为正时，取为

58、正时，取 为负时，取为负时，取 ；用；用S表示出现正误差的个数，则表示出现正误差的个数，则 设某次观测共有设某次观测共有N个观测值，对应的真误差为个观测值，对应的真误差为 N , 21 i i , 1 i k 0 i k n kkkkS 321 (7-3-1) 在概率论中知道，在概率论中知道，S是服从二项分布的变量，即是服从二项分布的变量，即 （误差为正的概率为（误差为正的概率为p,为负的概率为为负的概率为q），且），且S标准化后的极限分布服从标准化后的极限分布服从N(0,1)分布，即分布，即 ),(npqnpBS 第59页/共141页 61 ) 1 , 0(N npq npS n (7-3-

59、2) 由偶然误差的第三特性可知，正负误差出现的概率应相等，即由偶然误差的第三特性可知，正负误差出现的概率应相等，即 2 1 )0()0(PP 或写成或写成 2 1 qp 为了检验为了检验p是否等于是否等于1/2，可作出如下假设：，可作出如下假设： 2 1 : 2 1 : 0 pHpH ； 第60页/共141页 62 如果如果 成立，则成立，则(7-3-2)表示的统计量为表示的统计量为 0 H ) 10( 2 1 2 ，N n n S （7-3-3） 故有故有 az n n S zP aa 1 2 1 2 22 （7-3-4） 根据标准正态分布知，随机变量根据标准正态分布知，随机变量X落在落在

60、的概率等于的概率等于0.9545。 )2,2( 第61页/共141页 63 对统计量对统计量 而言，而言， ，则，则 。 若以二倍中误差作为极限误差，若以二倍中误差作为极限误差， ；对于（；对于（7-3-4）式，若在取）式，若在取 ，则，则 ，于是有，于是有 n n S 2 1 2 1 21*22 22 极限 9545. 01 2 2 a z 9545. 02 2 1 2 2 n n S P 或或 9545. 0 2 n n SnP （7-3-5） 第62页/共141页 64 此式表明，根据正负误差的个数得到下式此式表明，根据正负误差的个数得到下式 n n S 2 （7-3-6） 如果上式成立