天一专升本高数知识点.doc

1、。第一讲函数、极限、连续1 、基本初等函数的定义域、值域、图像，尤其是图像包含了函数的所有信息。2 、函数的性质，奇偶性、有界性奇函数： f ( x)f ( x) ，图像关于原点对称。偶函数： f ( x)f ( x) ，图像关于 y 轴对称3 、无穷小量、无穷大量、阶的比较设 ，是自变量同一变化过程中的两个无穷小量，则（1）若lim0，则 是比 高阶的无穷小量。（ 2 ）若 lim c （不为0 ），则 与 是同阶无穷小量特别地，若 lim 1，则 与 是等价无穷小量（ 3 ）若 lim ，则 与 是低阶无穷小量记忆方法：看谁趋向于0 的速度快，谁就趋向于 0 的本领高。4 、两个重要极限（

2、 1） lim sin xlimx1x 0xx0 sin x使用方法：拼凑lim sinlim sin0 ，一定保证拼凑sin 后面和分母保持一致00x1（ 2） lim1lim (1x) xe1xxx01lim (1)e0使用方法1 后面一定是一个无穷小量并且和指数互为倒数，不满足条件得拼凑。-可编辑修改 -。a0 ,nm5 、 lim Pn xb00, nmxQm X,nmPn x 的最高次幂是n, Qm x 的最高次幂是m., 只比较最高次幂，谁的次幂高，谁的头大，趋向于无穷大的速度快。 n m ,以相同的比例趋向于无穷大；nm ，分母以更快的速度趋向于无穷大；n m ，分子以更快的速度

3、趋向于无穷大。7 、左右极限左极限： limf()Ax x0x右极限： limf ( x)Ax x0lim f ( x)A充分必要条件是limf ( x) lim f ( x) Ax x0x xx x00注：此条件主要应用在分段函数分段点处的极限求解。8 、连续、间断连续的定义： limylimf (x0x) f ( x0 ) 0x0x 0或 limf (x)f ( x0 )x x0间断：使得连续定义limf ( x) f ( x0 ) 无法成立的三种情况x x0f (x0 )不存在， f ( x0 )无意义lim f ( x)不存在xx0lim f ( x)f ( x0 )x x0记忆方法：

4、1 、右边不存在2 、左边不存在3 、左右都存在，但不相等9 、间断点类型（ 1 ）、第二类间断点：limf ( x) 、 limf ( x) 至少有一个不存在xx0x x0（ 2 ）、第一类间断点：limf ( x) 、 limf ( x) 都存在xx0x x0-可编辑修改 -。可去间断点：lim f ( x)lim f (x)x x0x x0跳跃间断点：lim f ( x)lim f (x)x x0x x0注：在应用时，先判断是不是“第二类间断点”，左右只要有一个不存在，就是“第二类”然后再判断是不是第一类间断点；左右相等是“可去”，左右不等是“跳跃”10 、闭区间上连续函数的性质（ 1

5、）最值定理：如果f ( x) 在 a,b 上连续，则f (x) 在 a, b 上必有最大值最小值。（ 2 ）零点定理：如果f (x) 在 a,b 上连续，且f ( a) f (b) 0 ，则 f (x) 在 a,b内至少存在一点，使得 f ( )0第三讲中值定理及导数的应用1 、 罗尔定理如果函数 yf (x) 满足：（ 1）在闭区间a, b 上连续；（ 2 ）在开区间（ a,b ）内可导；（ 3 ） f ( a)f (b) ，则在 (a,b) 内至少存在一点，使得f ( )0记忆方法：脑海里记着一幅图：ab-可编辑修改 -。2 、 拉格朗日定理如果 yf ( x) 满足（ 1）在闭区间 a,

6、b 上连续（ 2 ）在开区间（ a,b ）内可导；则在 (a,b) 内至少存在一点f (b)f (a)，使得 f ( )ab脑海里记着一幅图：ab（ *）推论 1 ：如果函数yf (x) 在闭区间a,b 上连续，在开区间（a,b ）内可导，且f (x)0 ，那么在 (a, b) 内 f ( x) =C 恒为常数。记忆方法：只有常量函数在每一点的切线斜率都为0 。（ * ）推论 2 ：如果f (x), g ( x) 在 a,b 上连续，在开区间(a,b) 内可导，且 f ( x)g ( x), x(a,b) ，那么 f ( x)g( x)c记忆方法：两条曲线在每一点切线斜率都相等3、驻点-可编辑

7、修改 -。满足 f ( x)0 的点，称为函数f (x) 的驻点。几何意义：切线斜率为0 的点，过此点切线为水平线4 、极值的概念设 f ( x) 在点 x0 的某邻域内有定义，如果对于该邻域内的任一点x,有 f ( x)f ( x0 ) ，则称 f ( x0 ) 为函数f (x) 的极大值， x0 称为极大值点。设 f (x) 在点 x0 的某邻域内有定义，如果对于该邻域内的任一点x,有 f ( x)f (x0 ) ，则称 f ( x0 ) 为函数f (x) 的极小值， x0 称为极小值点。记忆方法：在图像上，波峰的顶点为极大值，波谷的谷底为极小值。5 、 拐点的概念连续曲线上，凸的曲线弧与

8、凹的曲线弧的分界点，称为曲线的拐点。注 yx3在原点即是拐点6 、 单调性的判定定理设 f (x) 在 (a,b) 内可导，如果f ( x)0 ，则 f (x) 在 ( a,b) 内单调增加；如果 f ( x)0 ，则 f ( x) 在 (a,b) 内单调减少。记忆方法：在图像上凡是和右手向上趋势吻合的，是单调增加，在图像上凡是和左手向上趋势吻合的，是单调减少，7 、 取得极值的必要条件f(x)0 ；f( x)0 ；可导函数 f ( x) 在点 x0 处取得极值的必要条件是f ( x0 )08 、 取得极值的充分条件第一充分条件：-可编辑修改 -。设 f (x) 在点 x0 的某空心邻域内可导

9、，且f (x) 在 x0 处连续，则（ 1 ）如果 xx0时， f(x)0 ; xx0时， f(x)0 ,那么 f (x) 在 x0 处取得极大值f ( x0 ) ；（ 2 ）如果 xx0时， f(x)0； xx0时， f(x)0 ，那么 f (x) 在 x0 处取得极小值f ( x0 ) ；（ 3 ）如果在点 x0的两侧， f(x)同号，那么 f ( x) 在 x0 处没有取得极值；记忆方法：在脑海里只需记三副图，波峰的顶点为极大值，波谷的谷底为极小值。第二充分条件：设函数 f (x) 在点 x0 的某邻域内具有一阶、二阶导数，且f( x0 )0， f ( x0 )0则 （1 ）如果 f(

10、x0 )0 ，那么 f (x) 在 x0 处取得极大值f (x0 ) ；（2 ）如果 f( x0 )0 ，那么 f (x) 在 x0 处取得极小值f (x0 )9 、 凹凸性的判定设函数 f ( x) 在 ( a,b) 内具有二阶导数， （ 1 ）如果 f(x)0, x(a,b) ，那么曲线f (x) 在 (a, b) 内凹的；（2 ）如果 f ( x)0, x( a,b) ，那么 f ( x) 在 (a,b) 内凸的。图像表现：-可编辑修改 -。凹的表现凸的表现10 、渐近线的概念曲线 f ( x) 在伸向无穷远处时，能够逐步逼近的直线，称为曲线的渐近线。（ 1 ）水平渐近线：若 lim f

11、 ( x)A,则 yf (x) 有水平渐近线 y Ax(2) 垂直渐近线：若存在点x0， lim f (x)，则 yf ( x) 有垂直渐近线 x x0xlimf ( x), limf(x)axb，则 y axb为其斜渐近线。（ 2 ）求斜渐近线：若xaxx-可编辑修改 -。11 、洛必达法则0遇到“” 、“”，就分子分母分别求导，直至求出极限。0如果遇到幂指函数，需用f ( x)eln f ( x)把函数变成“0”、“”。0第二讲导数与微分1 、 导数的定义（ 1 ）、（ 2 ）、f(x0 )limylimf ( x0x) f (x0 ) 0x 0x 0f(x0 )limf (x0h)f (

12、x0 )h 0h（ 3 ）、 f ( x0 ) lim f ( x)f (x0 )x x0xx0注：使用时务必保证x0 后面和分母保持一致，不一致就拼凑。2 、 导数几何意义：f ( x0 ) 在 xx0 处切线斜率法线表示垂直于切线，法线斜率与f ( x0 ) 乘积为 13 、 导数的公式，记忆的时候不仅要从左到右记忆，还要从右到左记忆。4 、 求导方法总结（1 ）、导数的四则运算法则uvuv(u ? v)u ? vv ? u-可编辑修改 -。uu vv uvv2（ 2 ）、复合函数求导：yfx 是由 yf (u) 与 u(x) 复合而成，则dydy ? dudxdudx（ 3 ）、隐函数求

13、导对于 F ( x, y)0 ，遇到 y，把 y 当成中间变量 u ，然后利用复合函数求导方法。（ 4）、参数方程求导x(t)dydy(t )dt设确定一可导函数 yf ( x) ，则dx(t )y(t )dxdtdyd ( dy )dxd 2 yd ( dx)dtdx2dxdxdt(5) 、对数求导法先对等号两边取对数，再对等号两边分别求导（ 6 ）、幂指函数求导幂指函数 yu(x)v( x) ，利用公式 aeln aln u ( x )v ( x )ev( x ) ln u ( x )y e然后利用复合函数求导方法对指数单独求导即可。第二种方法可使用对数求导法，先对等号两边取对数，再对等号

14、两边分别求导注：优选选择第二种方法。-可编辑修改 -。5 、 高阶导数对函数 f ( x) 多次求导，直至求出。6、 微分dyy dx记忆方法：微分公式本质上就是求导公式，后面加dx，不需要单独记忆。7、 可微、可导、连续之间的关系可微可导可导连续，但连续不一定可导8、 可导与连续的区别。脑海里记忆两幅图（1 ）（2 ）yx2 在 x=0 既连续又可导。yx 在 x=0 只连续但不可导。所以可导比连续的要求更高。第四讲不定积分-可编辑修改 -。一、原函数与不定积分1、 原函数：若F ( x) f ( x) ，则 F ( x) 为 f (x) 的一个原函数；2、 不定积分：f (x) 的所有原函

15、数 F ( x) +C 叫做 f ( x) 的不定积分，记作f ( x)dx F ( x) C二、不定积分公式记忆方法：求导公式反着记就是不定积分公式三、不定积分的重要性质1、2、f (x)dxf (x)或df ( x)dxf (x)dxf ( x)dxf (x)c注：求导与求不定积分互为逆运算。四、积分方法1、 基本积分公式2、 第一换元积分法（凑微分法）把求导公式反着看就是凑微分的方法，所以不需要单独记忆。3、 第二换元积分法axb,令taxba2x2令 xa sin t三角代换x2a2令xa sectx2a2令xa tan t三角代换主要使用两个三角公式：sin 2 tcos2 t1,1

16、tan2 tsec2 t4、 分部积分法udvuvvdu第五讲定积分1 、定积分定义-可编辑修改 -。bnf (x) dx limf ( i )xiax0i 1如果 f ( x) 在 a,b上连续，则f (x) 在 a, b 上一定可积。理解：既然在闭区间上连续，那么在闭区间上形成的就是一个封闭的曲边梯形，面积存在所以一定可积，因为面积是常数，所以定积分如果可积也是常数。2 、定积分的几何意义b（ 1 ）如果 f (x) 在 a, b 上连续，且 f ( x)0 ，则 af ( x) dx 表示由 f (x) ， xa, x b, x 轴所围成的b曲边梯形的面积。 S= a f ( x)dx

17、。如果 f (x) 在 a, b 上连续，且 f ( x)0， S=b（ 2 ）f ( x)dx 。a3 、定积分的性质：bb（ 1 ）a kf (x)dxk a f ( x)dxbbb（ 2 ） af (x)g(x) dx =a f (x)dxa g(x) dxbcb（ 3） a f ( x)dxa f ( x)dxc g( x)dxbbaaaf ( x)dxb（ 4）1dxf ( x)dx 0bf (x) dxaaabb（ 5）如果 f ( x)g (x) ，则 af ( x)dxa g( x)dx（ 6）设 m,M分别是 f (x) 在 a,b 的 min, max,则bm(ba)a f

18、 ( x) dxM (ba)Mm记忆：小长方形面积曲边梯形面积大长方形面积（ 7 ）积分中值定理-可编辑修改 -。b如果 f (x) 在 a,b 上连续，则至少存在一点a,b ，使得 a f ( x)dxf ()(ba)记忆：总可以找到一个适当的位置，把凸出来的部分切下，剁成粉末，填平在凹下去的部分使曲边梯形变成一个长方形。1称babaf (x)dx为 f (x) 在 a, b 上的平均值。4、 积分的计算（ 1）、变上限的定积分x( a f (t) dt )f ( x)x注：由此可看出来(x)f (t) dt 是 f (x) 的一个原函数。而且变上限的定积分的自变量只有a一个是 x 而不是

19、t（ 2）、牛顿莱布尼兹公式b设 f (x) 在 a,b 上连续， F ( x) 是 f (x) 的一个原函数， 则 a f ( x)dxF ( x) baF (b)F ( a)由牛顿公式可以看出，求定积分，本质上就是求不定积分，只不过又多出一步代入积分上下限，所以求定积分也有四种方法。基本积分公式第一换元积分法（凑微分法）第二换元积分法分部积分法5、 奇函数、偶函数在对称区间上的定积分a（ 1）、若 f (x) 在a, a 上为奇函数，则af (x)0-可编辑修改 -。aa（ 2 ）、若 f (x) 在a,a 上为偶函数，则af ( x)2 0 f (x) dx注：此方法只适用于对称区间上的

20、定积分。6、 广义积分（1 ）无穷积分f ( x) dxlimcf (x)dxaacblimbf ( x)dxf ( x)dxccf ( x) dxcf ( x)dxf ( x)dxc7、 定积分关于面积计算f (x)g( x)面积 Sbaf (x)g( x) dx ，记忆：面积等于上函数减去下函数在边界a, b 上的定积分。dx( y)x( y)cd面积 S=c( y)( y) dy记忆方法：把头向右旋转90 就是第一副图。-可编辑修改 -。8、 旋转体体积（1 ）yf ( x)abxb2曲线 f ( x) 绕 x 轴旋转一周所得旋转体体积： Vxa f ( x) dx（2 ）、f ( x)

21、g( x)abb2 x g 2 ( x) dx阴影部分绕绕x 轴旋转一周所得旋转体体积： Vxa f（3）、ydx( y)cxx ( y) 绕 y 轴旋转一周所得旋转体体积： Vyd2c( y) dy-可编辑修改 -。(4) 、ydx( y)x( y)cx阴影部分绕绕y 轴旋转一周所得旋转体体积 : Vyd2 ( y)2 ( y) dyc（二）、直线与平面的相关考试内容一、二元函数的极限定义：设函数 zf ( x, y) 在点 ( x0 , y0 ) 某邻域有定义 （但 ( x0 , y0 ) 点可以除外） ，如果当点 ( x, y) 无论沿着任何途径趋向于(x0 , y0 ) 时，zf (

22、x, y) 都无限接近于唯一确定的常数A，则称当点 (x, y) 趋向于 (x0 , y0 )时， zf ( x, y) 以 A 为极限，记为limf(x,y)A( x, y) ( x0 , y0 )二、二元函数的连续性-可编辑修改 -。若limf ( x, y)f ( x0 , y0 ) ，则称 zf (x, y) 在点 (x0 , y0 ) 连续。( x, y)( x0 , y0 )注： zf ( x, y) 的不连续点叫函数的间断点，二元函数的间断点可能是一些离散点，也可能是一条或多条曲线。三、二元函数的偏导数zf x (x, y)limf ( xx, y)f ( x, y)xx 0xz

23、f y ( x, y)limf ( x, yy)f (x, y)yy 0y四、偏导数求法由偏导数定义可看出，对哪个变量求偏导就只把哪个变量当成自变量，其它的变量都当成常数看待。五、全微分： dzz dxz dyxy六、二元函数的连续、偏导、可微之间的关系二元函数可微，则必连续，可偏导，但反之不一定成立。若偏导存在且连续，则一定可微。函数 zf ( x, y) 的偏导存在与否，与函数是否连续毫无关系。七、二元复合函数求偏导设 zf (u, v),u( x, y), v(x, y) ，zzuzvzzuzv则uxvx，uyvyxy注：有几个中间变量就处理几次，按照复合函数求导处理。八、隐函数求偏导方

24、程 F ( x, y, z)0 确定的隐函数为zf ( x, y) ，则对等号两边同时对x 求导，遇到 z 的函数，把 z 当成中间变量。第八讲多元函数积分学知识点-可编辑修改 -。一、二重积分的概念、性质n1 、f (x, y)dxdy limf (i ,i )i，几何意义：代表由f ( x, y) ， D 围成的曲顶柱体体积。Dd0 i12 、性质：（ 1 ）kf (x, y)dxdykf ( x, y)dxdyDD（ 2 ）f ( x, y)g(x, y)dxdy=f ( x, y)dxdy+g(x, y)dxdyDDD（3）、dxdyDD（4） DD1D2 ,f (x, y)dxdy=

25、f (x, y) dxdy +f ( x, y) dxdyDD1D 2(5) 若 f (x, y)g ( x, y) ，则f (x, y)dxdyg(x, y)dxdyDD（ 6 ）若 m f ( x, y)M , 则 mDf ( x, y)dxdyMDD(7) 设 f ( x, y) 在区域 D 上连续，则至少存在一点 ( ,)D ，使 f (x, y)dxdy f ( , )DD二、计算（ 1 ） D: a x b, 1 ( x)y2 ( x)f (x, y)dxdybdx2 ( x )f ( x, y) dyDa1 ( x )（ 2 ） D： c y d , 1 ( y) x2 ( y)

26、 ，f ( x, y ) dxdyddy2 ( x )f ( x, y ) dyc1 ( x )D技巧：“谁”的范围最容易确定就先确定“谁”的范围，然后通过划水平线和垂直线的方法确定另一个变量的范围（ 3 ）极坐标下： x r cos , yr sin, dxdy rdrdf ( x, y ) dxdyr ()df ( r cos , r sin ) rdrD0三、曲线积分1、第一型曲线积分的计算-可编辑修改 -。（ 1 ）若积分路径为L： y( x), axb ，则f ( x, y)ds =b1( x) 2 dxf ( x, ( x)La（ 2 ）若积分路径为L： x( y), cyd ，则L f ( x, y)ds=df ( y), y)1( y) 2 dyc（ 3 ）若积分路为x(t )tL：，则y(t )f (x