椭圆的几何性质2(第二定义)

1、 22 22 1(0) xy ab ab |x| a,|y| b 关于关于x轴、轴、y轴成轴对称；关于原点成中心对称轴成轴对称；关于原点成中心对称 22 22 1(0) xy ab ba |x| b,|y| a (a,0),(-a,0),(0,b),(0,-b) (c,0)、(-c,0) 长半轴长为长半轴长为a, ,短半轴长为短半轴长为b. ab c e a a2=b2+c2 (b,0),(-b,0),(0,a),(0,-a) (0 , c)、(0, -c) 标准方程标准方程 范围范围 对称性对称性 顶点坐标顶点坐标 焦点坐标焦点坐标 半轴长半轴长 离心率离心率 a,b,c的的关系关系 图形图

2、形 1 o F y x 2 F M (0,1) 准线方程准线方程 2 a x c 1 12 2 y o FF M x c a 2 y= 例例6、点、点M（x , y）与定点）与定点F（4，0）的距离和它到直线）的距离和它到直线l: 的距离的比是常数的距离的比是常数 ，求点，求点M的轨迹。的轨迹。 25 4 x 4 5 4 5 MF PM d 2 2 4 4 255 4 xy x 22 925225xy 22 1 259 xy 解：解： 25 4 x 设设d是点是点M到直线到直线l： 的距离，的距离， 根据题意，点根据题意，点M的轨迹就是集合的轨迹就是集合 由此得由此得 将上式两边平方，并化简得

3、将上式两边平方，并化简得 即即 所以，点所以，点M的轨迹是长轴、短轴长分别为的轨迹是长轴、短轴长分别为10、6的椭圆。（如图）的椭圆。（如图） x y O M F H l 观察画图，你能得到什么结论？观察画图，你能得到什么结论？ 信息技术画图信息技术画图1 信息技术画图信息技术画图2 当点当点M与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是一个常数与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是一个常数 ) 10 (e a c e 时时,这个点的这个点的轨迹是椭圆轨迹是椭圆,这叫做这叫做椭圆的第二定义椭圆的第二定义, 定点是椭圆的定点是椭圆的焦焦点点,定直线叫做椭圆的定直线叫做椭圆的准线，准线， 常

4、数常数e是椭圆的是椭圆的离心率离心率. 0 x y M ( ,0)F c c a x 2 (,0)Fc 对于椭圆对于椭圆 相应相应与焦点与焦点 ) 0( 1 2 2 2 2 ba b y a x )0 ,(cF的准线的准线方程是方程是 c a x 2 由椭圆的对称性由椭圆的对称性,相应相应与焦点与焦点)0 ,( cF 的准线方程是的准线方程是 2 a x c 2 a x c 能不能说能不能说M到到F (-c,0)的 距离与到直线距离与到直线 的距离比也是离心率的距离比也是离心率e呢呢? c a x 2 “三定三定”： 定点是焦点；定点是焦点； 定直线是准线；定直线是准线； 定值是离心率。定值是

5、离心率。 22 22 1(0) xy ab ab 1 F 00 (,)M xy 2 a x c 2 a x c x y O 2 F A B 由椭圆第二定义知由椭圆第二定义知 注注: :所用焦点要与准线同侧所用焦点要与准线同侧, , 焦点在焦点在y y轴的同理可得轴的同理可得. . |MF2|=e|MB| =e(a2/c-x0 )= a-ex0 |MF1|=e|MA| =ex0- (-a2/c)=a+ex0 下焦半径下焦半径|PF1|=a+ey0 ,上焦半径为上焦半径为|PF2|=a-ey0 (2)点点p(x0 ,y0 )的在椭圆的在椭圆 左焦半径为左焦半径为|MF1|= a+ex0，右焦半径为

6、，右焦半径为|MF2|= a-ex0 (1)点点M(x0，y0)在椭圆在椭圆 22 22 1(0) xy ab ba 椭圆的焦半径公式椭圆的焦半径公式 上，上， 上上, |MF2| |MB| =e |MF1| |MA| =e （焦半径：椭圆上任意点到焦点的距离）（焦半径：椭圆上任意点到焦点的距离） y (,0)a ( ,0)a Ox (0,)b (0, )b F 222 abc 2 a x c 2 a x c 椭圆中的特殊三角形及通径椭圆中的特殊三角形及通径 a b c 椭圆的通径：椭圆的通径： 过焦点且垂直于焦点所在的轴的直线被椭圆所截得过焦点且垂直于焦点所在的轴的直线被椭圆所截得 的线段长

7、度。的线段长度。 A B 2 2b a AB= D 在在RtOFD中，中， 如图的如图的AB 点点P(x0 ,y0 )与圆与圆C: (x-a)2+(y-b)2=r2 的位置关系有：的位置关系有： 点在圆点在圆C外外 点在圆点在圆C内内 点在圆点在圆C上上 (x-a)2+(y-b)2 r2 =r2 rd0 0 因为因为所以，方程（）有两个根，所以，方程（）有两个根， 那么，相交所得的弦的弦长是多少？那么，相交所得的弦的弦长是多少？ 弦长公式：弦长公式： 2 |1| AB ABkxx 22 1)4 ABAB kxxx x（ 则原方程组有两组解则原方程组有两组解. - (1) 由韦达定理由韦达定理

8、12 12 4 5 1 5 xx xx 小结：椭圆与直线的位置关系及判断方法小结：椭圆与直线的位置关系及判断方法 判断方法判断方法 这是求解直线与二次曲线有关问题的这是求解直线与二次曲线有关问题的通法通法。 0 （1）联立方程组）联立方程组 （2）消去一个未知数）消去一个未知数 （3） 1、直线与圆相交的弦长、直线与圆相交的弦长 A（x1,y1） 小结：直线与二次曲线相交弦长的求法小结：直线与二次曲线相交弦长的求法 d r2 l 2、直线与其它二次曲线相交的弦长、直线与其它二次曲线相交的弦长 （1）联立方程组）联立方程组 （2）消去一个未知数）消去一个未知数 （3）利用弦长公式）利用弦长公式:

9、 |AB| = 22 1212 14kxxx x（） 1212 2 1 14yyy y k 2 （） k 表示弦的表示弦的斜率斜率，x1、x2、y1、y2表示弦的表示弦的端点端点 坐标坐标，一般由，一般由韦达定理韦达定理求得求得 |x1-x2 | 与与 | y1-y2| 通法通法 B（x2,y2） = 设而不求设而不求 22 22 22 22 31 1 0( 2) 1 ab ab 22 12,4ab |PB|=|PA|=3, 解解: 补例补例1：如图，等腰：如图，等腰RtAPB的一条直角边的一条直角边AP在在y轴上，轴上，A点点 在在x轴下方，轴下方，B点在点在y轴右方，斜边轴右方，斜边AB的

10、边长为的边长为32， 1 b y a x 2 2 2 2 若点若点P的坐标为的坐标为(0，1)，求椭圆，求椭圆C的方程；的方程； 且且A B两点均在椭圆两点均在椭圆C： (ab0)上上 由题意可得由题意可得 B(3,1),A(0,-2), 代入椭圆方程可得代入椭圆方程可得 22 1 124 xy 解得解得 所求椭圆所求椭圆C的方程为的方程为 例例2：已知椭圆：已知椭圆E的两个焦点分别为的两个焦点分别为F1（-1，0）、）、F2（1，0），）， 22 22 10 xy ab ab 22 19 1 4ab 22 1 43 xy （1 1）求椭圆）求椭圆E的方程；的方程； （2 2）若点）若点P在椭

11、圆在椭圆E E上，且满足上，且满足PF1PF2=t, ,求实数求实数t t的取值范围。的取值范围。 点点C（1，3/2）在椭圆）在椭圆E上。上。 解：解：依题意依题意,设椭圆设椭圆E的方程为的方程为 由已知半焦距由已知半焦距c=1a2-b2=1 点点C（1，3/2）在椭圆）在椭圆E上上, 解解得得a2=4,b2=3 椭圆椭圆E的方程为的方程为 （1）法）法1： （1）法）法2： 22 22 10 xy ab ab 22 1 43 xy 依题意依题意,设椭圆设椭圆E的方程为的方程为 点点C（1，3/2）在椭圆）在椭圆E上上,2a=|CF1|+|CF2|=4即即a=2 由已知半焦距由已知半焦距c=

12、1b2 =a2-c2=3 椭圆椭圆E的方程为的方程为 解解: (2) 12 PFPFt 22 00 1 43 xy 设设P(x0,y0),由由 得得 (-1-x0 ,-y0) (1-x0 ,-y0)=t,即即x02+y02=t+1 点点P在椭圆上在椭圆上, 由由得得y02=t+1-x02 代入代入，并整理得，并整理得x02=4(t-2) 由由知，知，0 x04 结合结合解得，解得，2t3 实数实数t的取值范围国的取值范围国2，3 例例2：已知椭圆：已知椭圆E的两个焦点分别为的两个焦点分别为F1（-1，0）、）、F2（1，0），）， （1 1）求椭圆）求椭圆E的方程；的方程； （2 2）若点）若点P在椭圆在椭圆E E上，且满足上，且满足PF1PF2=t, ,求实数求实数t t的取值范围。的取值范围。 点点C（1，3/2）在椭圆）在椭圆E上。上。 应用：应用： 1、求下列椭圆的准线方程：、求下列椭圆的准线方程： x24y24 1 81 y 16 x 22 2.已知已知P是椭圆是椭圆 上的点上的点,P 到右准线的距离为到右准线的距离为8.5,则则P到左焦点到左焦点 的距离为的距离为_. 1 36 y 100 x 22