立体几何空间角距离练习题含答案14页

1、第七节 空间角距离 （一）线面角1 选择题1把正方形沿对角线折起,当以四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线和平面所成的角的大小为（ ）A B C D 2把正方形ABCD沿对角线AC折起，当以A，B，C，D四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线BD和平面ABC所成的角的大小为( )A90B60C45D303PA，PB，PC是从P引出的三条射线，每两条的夹角都是60，则直线PC与平面PAB所成的角的余弦值为（ ）AB。C。D。4设E，F是正方体AC1的棱AB和D1C1的中点，在正方体的12条面对角线中，与截面A1ECF成60角的对角线的数目是（）A0 B2 C4 D6二，填空题5正四棱锥P-ABCD的所

2、有棱长都相等，E为PC中点，则直线AC与截面BDE所成的角为 6已知正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都相等，D是A1C1的中点，则直线AD与平面B1DC所成角的正弦值为 .7棱长都为2的直平行六面体ABCDA1B1C1D1中，BAD=60，则对角线A1C与侧面DCC1D1所成角的余弦值为_.三简答题8如图，四棱锥中，底面为菱形，底面，是上的一点，。（）证明：平面；（）设二面角为，求与平面所成角的大小。9. 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，ADPD，BC=1，PC=2，PD=CD=2.（I）求异面直线PA与BC所成角的正切值；（II）证明平面PDC平面ABCD；（III）

3、求直线PB与平面ABCD所成角的正弦值。10如图，在侧棱锥垂直底面的四棱锥ABCD-A1B1C1D1中，ADBC，ADAB，AB=。AD=2，BC=4,AA1=2，E是DD1的中点，F是平面B1C1E与直线AA1的交点。（1）证明：（i）EFA1D1；（ii）BA1平面B1C1EF；（2）求BC1与平面B1C1EF所成的角的正弦值。11如图，四棱锥的底面是正方形，点E在棱PB上.（）求证：平面； （）当且E为PB的中点时，求AE与平面PDB所成的角的大小. (二）面面角 1如图，在底面为平行四边形的四棱锥中，平面，且，点是的中点.（）求证：；（）求证：平面；（）求二面角的大小.(第2题)2在四

4、面体ABCD中，ABC与DBC都是边长为4的正三角形(1)求证：BCAD；(2)若点D到平面ABC的距离等于3，求二面角ABCD的正弦值；(3)设二面角ABCD的大小为 q，猜想 q 为何值时，四面体ABCD的体积最大(不要求证明)3 如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB2，BB1BC1，E为D1C1的中点，连结ED，EC，EB和DB(1)求证：平面EDB平面EBC；(2)求二面角EDBC的正切值.(第3题)4如图，在底面是直角梯形的四棱锥ABCD中，ADBC，ABC90，SA面ABCD，SAABBC，AD(1)求四棱锥SABCD的体积；(2)求面SCD与面SBA所成的二面角的正切值

5、(提示：延长 BA，CD 相交于点 E，则直线 SE 是所求二面角的棱.)(第4题)5如图，三棱锥PABC中， PC平面ABC，PC=AC=2，AB=BC，D是PB上一点，且CD平面PAB (1) 求证：AB平面PCB； (2) 求异面直线AP与BC所成角的大小； (3)求二面角C-PA-B的大小的余弦值QPDCBA6如图所示，已知在矩形ABCD中，AB=1，BC=a（a0），PA平面AC，且PA=1（1）试建立适当的坐标系，并写出点P、B、D的坐标；（2）问当实数a在什么范围时，BC边上能存在点Q，使得PQQD？（3）当BC边上有且仅有一个点Q使得PQQD时，求二面角Q-PD-A的余弦值大小

6、CDBAPE7. 如图，在底面是棱形的四棱锥中，点E在上，且:2:1(1) 证明 平面；(2) 求以AC为棱，与为面的二面角的大小；(3) 在棱PC上是否存在一点F，使平面？证明你的结论8已知四棱锥SABCD的底面ABCD是正方形，SA底面ABCD，E是SC上的任意一点(1)求证：平面EBD平面SAC；(2)设SA4，AB2，求点A到平面SBD的距离；(3)当的值为多少时，二面角BSCD的大小为120？9如图，在三棱锥中，点在平面内的射影在上。 （）求直线与平面所成的角的大小；（）求二面角的大小。10已知直三棱柱中，为的中点。（）求异面直线和的距离；（）若，求二面角的平面角的余弦值。 第七节

7、空间角距离答案（1） 线面角 一。选择题 1，C 解析：当三棱锥DABC体积最大时，平面DACABC，取AC的中点O，则DBO是等腰直角三角形，即DBO452. C 当三棱锥体积最大时，平面，取的中点， 则是等要直角三角形，即, 3，D 4，C 二。填空题5. 45 6. 7.三简答题8，【命题意图】本试题主要是考查了四棱锥中关于线面垂直的证明以及线面角的求解的运用。从题中的线面垂直以及边长和特殊的菱形入手得到相应的垂直关系和长度，并加以证明和求解。解：设,以为原点，为轴，为轴建立空间直角坐标系，则设。（）证明：由得， 所以，所以，。所以,，所以平面；（） 设平面的法向量为，又，由得，设平面的

8、法向量为，又，由，得，由于二面角为，所以，解得。 所以，平面的法向量为，所以与平面所成角的正弦值为，所以与平面所成角为.【点评】试题从命题的角度来看，整体上题目与我们平时练习的试题和相似，底面也是特殊的菱形，一个侧面垂直于底面的四棱锥问题，那么创新的地方就是点的位置的选择是一般的三等分点，这样的解决对于学生来说就是比较有点难度的，因此最好使用空间直角坐标系解决该问题为好。9，【解析】（I）是与所成角 在中， 异面直线与所成角的正切值为（II）面 面 平面平面（III）过点作于点，连接 平面平面面是直线与平面所成角 在中， 在中， 得：直线与平面所成角的正弦值为,10，【解析】（1）（i）因为，

9、 平面ADD1 A1，所以平面ADD1 A1.又因为平面平面ADD1 A1=，所以.所以.（ii） 因为，所以，又因为，所以，在矩形中，F是AA的中点，即.即，故.所以平面.(2) 设与交点为H，连结.由（1）知，所以是与平面所成的角. 在矩形中，得，在直角中，得，所以BC与平面所成角的正弦值是.11，证明：（）四边形ABCD是正方形，ACBD，PDAC，AC平面PDB，平面.（）设ACBD=O，连接OE， 由（）知AC平面PDB于O， AEO为AE与平面PDB所的角， O，E分别为DB、PB的中点， OE/PD，又， OE底面ABCD，OEAO， 在RtAOE中， ，即AE与平面PDB所成的

10、角的大小为., （2） 面面角1，【解】（）PA平面ABCD， AB是PB在平面ABCD上的射影，又ABAC，AC平面ABCD，ACPB.（）连接BD，与AC相交与O，连接EO，ABCD是平行四边形 O是BD的中点又E是PD的中点， EOPB.又PB平面AEC，EO平面AEC，PB平面AEC，（）如图，取AD的中点F，连EF，FO，则EF是PAD的中位线， EFPA又平面， EF平面同理FO是ADC的中位线，FOABFOAC由三垂线定理可知EOF是二面角EACD的平面角. 又FOABPAEF。EOF45而二面角与二面角EACD互补，故所求二面角的大小为135.2，证明：(1)取BC中点O，连结

11、AO，DOABC，BCD都是边长为4的正三角形，AOBC，DOBC，且AODOO，BC平面AOD又AD平面AOD，BCAD (第2题)解：(2)由(1)知AOD为二面角ABCD的平面角，设AODq，则过点D作DEAD，垂足为EBC平面ADO，且BC平面ABC，平面ADO平面ABC又平面ADO平面ABCAO，DE平面ABC线段DE的长为点D到平面ABC的距离，即DE3又DOBD2，在RtDEO中，sinq，故二面角ABCD的正弦值为 (3) 当 q90时，四面体ABCD的体积最大3，证明：(1)在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB2，BB1BC1，E为D1C1的中点DD1E为等腰直角三角形，

12、D1ED45同理C1EC45，即DEEC在长方体ABCD中，BC平面，又DE平面，BCDE又，DE平面EBC平面DEB过DE，平面DEB平面EBC (2)解：如图，过E在平面中作EODC于O在长方体ABCD中，面ABCD面，EO面ABCD过O在平面DBC中作OFDB于F，连结EF，EFBDEFO为二面角EDBC的平面角利用平面几何知识可得OF， (第18题)又OE1，所以，tanEFO4.解：(1)直角梯形ABCD的面积是M底面，四棱锥SABCD的体积是VSAM底面1(2)如图，延长BA，CD相交于点E，连结SE，则SE是所求二面角的棱ADBC，BC2AD，EAABSA，SESBSA面ABCD

13、，得面SEB面EBC，EB是交线又BCEB，BC面SEB，故SB是SC在面SEB上的射影，CSSE，BSC是所求二面角的平面角SB，BC1，BCSB，tanBSC，(第4题)即所求二面角的正切值为 5，解析： (1) PC平面ABC,平面ABC，PCAB.CD平面PAB，平面PAB，CDAB又，AB平面PCB (2 由(I) AB平面PCB，PC=AC=2，又AB=BC，可求得BC=以B为原点，如图建立坐标系则（,），（0,0,0），C（,0），P（,2）=(,2)，=(,0,0)则=+0+0=2 = 异面直线AP与BC所成的角为 （3）设平面PAB的法向量为m= (x，y，z)=(0, ,0

14、),=(,2)，则 即解得令z= -1,得 m= (，0，-1) 由PC平面ABC易知：平面PAC平面ABC，取AC的中点E，连接BE，则为平面PAC的一个法向量，故平面PAC的法向量也可取为n= (1，1，0) =. 二面角C-PA-B的大小的余弦值为zQPDCBAyxMN6，解析：（1）以A为坐标原点，AB、AD、AP分别为x、y、z轴建立坐标系如图所示PA=AB=1，BC=a，P（0，0，1），B（1，0，0），D（0，a，0）（2）设点Q（1，x，0），则由，得x2-ax+1=0显然当该方程有非负实数解时，BC边上才存在点Q，使得PQQD，故只须=a2-40因a0，故a的取值范围为a2

15、（3）易见，当a=2时，BC上仅有一点满足题意，此时x=1，即Q为BC的中点取AD的中点M，过M作MNPD，垂足为N，连结QM、QN则M（0，1，0），P（0，0，1），D（0，2，0）D、N、P三点共线，又，且，故于是故，MNQ为所求二面角的平面角，注：该题还有很多方法解决各个小问，以上方法并非最简.7.解析：（1）传统方法易得证明（略）（2）传统方法或向量法均易解得；（3）解 以A为坐标原点，直线分别为y轴、z轴，过A点垂直于平面PAD的直线为x轴，建立空间直角坐标系（如图）由题设条件，相关各点的坐标为所以，设点F是棱上的点，其中，则令得解得，即时，亦即，F是PC的中点时，共面，又平面，所

16、以当F是PC的中点时，平面8.解析：(1)SA平面ABCD，BD平面ABCD，SABD，四边形ABCD是正方形，ACBD，BD 平面SAC，BD平面EBD，平面EBD平面SAC.(2)设ACBDF，连结SF，则SFBD，AB2，SA4，BD2，SF3，SSBDBDSF236，设点A到平面SBD的距离为h，SA平面ABCD，SSBDhSABDSA，6h224，h，即点A到平面SBD的距离为.(3)设SAa，以A为原点，AB、AD、AS所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，为计算方便，不妨设AB1，则C(1,1,0)，S(0,0，a)，B(1,0,0)，D(0,1,0)，(1,1，a)，(

17、1,0，a)，(0,1，a)，再设平面SBC、平面SCD的法向量分别为n1(x1，y1，z1)，n2(x2，y2，z2)，则y10，从而可取x1a，则z11，n1(a,0,1)，x20，从而可取y2a，则z21，n2(0，a,1)，cosn1，n2，要使二面角BSCD的大小为120，则，从而a1，即当1时，二面角BSCD的大小为120. 9.命题立意：本题主要考查本题主要考查直线与平面的位置关系，线面角的概念，二面角的概念等基础知识，考查空间想象能力，利用向量解决立体几何问题的能力.解析（1）连接OC. 由已知，所成的角设AB的中点为D，连接PD、CD.因为AB=BC=CA,所以CDAB.因为等边三角形，不妨设PA=2，则OD=1，OP=, AB=4.所以CD=2，OC=.在Rttan.6分（2）过D作DE于E，连接CE. 由已知可得，CD平面PAB.据三垂线定理可知，CEPA，所以，.由（1）知，DE=在RtCDE中，tan故 12分点评本题旨在考查线面位置关系和二面角的基础概念，重点考查思维能力和