邱关源电路第五版_第13章非正弦周期电流电路和信号的频谱2003

1、第第1313章章 非正弦周期电流电路非正弦周期电流电路 非正弦周期信号非正弦周期信号13.1 周期函数分解为傅里叶级数周期函数分解为傅里叶级数13.2 有效值、平均值和平均功率有效值、平均值和平均功率13.3 非正弦周期电流电路的计算非正弦周期电流电路的计算13.4 对称三相电路中的高次谐波对称三相电路中的高次谐波13.5 首首 页页 本章重点本章重点 和信号的频谱和信号的频谱 2. 2. 非正弦周期函数的有效值和平均功率非正弦周期函数的有效值和平均功率 l 重点重点 3. 3. 非正弦周期电流电路的计算非正弦周期电流电路的计算 1. 1. 周期函数分解为傅里叶级数周期函数分解为傅里叶级数 返

2、 回 13.1 13.1 非正弦周期信号非正弦周期信号 生产实际中，经常会遇到非正弦周期电流电生产实际中，经常会遇到非正弦周期电流电 路。在电子技术、自动控制、计算机和无线电技路。在电子技术、自动控制、计算机和无线电技 术等方面，电压和电流往往都是周期性的非正弦术等方面，电压和电流往往都是周期性的非正弦 波形。波形。 l 非正弦周期交流信号的特点非正弦周期交流信号的特点 (1) 不是正弦波不是正弦波 (2) 按周期规律变化按周期规律变化 )()(nTtftf 下 页上 页返 回 例例2 示波器内的水平扫描电压示波器内的水平扫描电压 周期性锯齿波周期性锯齿波 下 页上 页 例例1 1半波整流电路

3、的输出信号半波整流电路的输出信号 返 回 脉冲电路中的脉冲信号脉冲电路中的脉冲信号 T t 例例3 3 下 页上 页返 回 交直流共存电路交直流共存电路例例4 4 +V Es 下 页上 页返 回 13.2 13.2 周期函数分解为傅里叶级数周期函数分解为傅里叶级数 ttf T d )( 0 若周期函数满足狄利赫利条件：若周期函数满足狄利赫利条件： 周期函数极值点的数目为有限个；周期函数极值点的数目为有限个； 间断点的数目为有限个；间断点的数目为有限个； 在一个周期内绝对可积，即：在一个周期内绝对可积，即： 可展开成收敛的傅里叶级数可展开成收敛的傅里叶级数 注意 一般电工里遇到的周期函数都能满足

4、一般电工里遇到的周期函数都能满足 狄利赫利条件。狄利赫利条件。 下 页上 页返 回 直流分量直流分量 基波（和原基波（和原 函数同频）函数同频） 二次谐波二次谐波 （2倍频）倍频） 高次谐波高次谐波 )cos()( 1 10 k kkm tkAAtf )cos()( 1110 tAAtf m )2cos( 212 tA m )cos( 1nnm tnA 周期函数展开成傅里叶级数：周期函数展开成傅里叶级数： 下 页上 页返 回 sincos)( 1 1 10 tkbtkaatf k k k tkbtkatkA kkkkm 111 sincos )cos( 也可表示成：也可表示成： k k k k

5、kmkkkmk kkkm a b AbAa baA aA arctan sin cos 22 00 系数之间的关系为：系数之间的关系为： 下 页上 页返 回 2 0 11 2 0 11 0 00 )(d)sin()( 1 )(d)cos()( 1 d)( 1 ttktfb ttktfa ttf T aA k k T 求出求出A0、ak、bk便可得到原函数便可得到原函数 f(t) 的展开式。的展开式。 系数的计算：系数的计算： 下 页上 页返 回 利用函数的对称性可使系数的确定简化利用函数的对称性可使系数的确定简化 偶函数偶函数 0 )()( k btftf 0 )()( k atftf 奇函数

6、奇函数 奇谐波函数奇谐波函数 0 ) 2 ()( 22 kk ba T tftf 注意 T/2 t T/2 f (t) o T/2t T/2 f (t) o t f (t) T/2 To 下 页上 页返 回 周期函数的频谱图：周期函数的频谱图： m1 k Ak的图形的图形 幅度频谱幅度频谱 1111 7 5 3 Akm ok1 相位频谱相位频谱 的图形的图形 1 k k 下 页上 页返 回 周期性方波信号的分解周期性方波信号的分解 例例1 解解 图示矩形波电流在一个周期内的表达式为：图示矩形波电流在一个周期内的表达式为： Tt T T tI tiS 2 0 2 0 )( m 2 d 1 d)(

7、 1 0 2/ 0 m TT mSO I tI T tti T I 直流分量：直流分量： 谐波分量：谐波分量： 2 0 ) (dsin)( 1 ttktib SK K为偶数为偶数 K为奇数为奇数 2 0 )cos 1 ( 0 k Itk k I m m t T/2T S i m I o 下 页上 页返 回 0sin 1 2 )(dcos)( 2 0 2 0 tk k I ttktia m Sk 2 2 k 2 kk k I babA m K （k为奇数）为奇数） s i的展开式为：的展开式为： )5sin 5 1 3sin 3 1 (sin 2 2 ttt II i mm S 下 页上 页返

8、回 t t t 基波基波 直流分量直流分量 三次谐波三次谐波 五次谐波五次谐波 七次谐波七次谐波 周期性方波波形分解周期性方波波形分解 下 页上 页返 回 基波基波 直流分量直流分量 直流分量直流分量+ +基波基波 三次谐波三次谐波 直流分量直流分量+ +基波基波+ +三次谐波三次谐波 下 页上 页返 回 )5sin 5 1 3sin 3 1 (sin 2 2 ttt II i mm S t T/2T S i m I IS0 1s i 3s i5s i 下 页上 页 IS0 1s i 3s i 5s i 等效电源等效电源 返 回 )5sin 5 1 3sin 3 1 (sin 2 2 ttt

9、II i mm S 1111 7 5 3 Akm o 矩形波的矩形波的 幅度幅度频谱频谱 t T/2T S i m I 1111 7 5 3 k1o -/2 1 k k 矩形波的矩形波的 相位频谱相位频谱 下 页上 页返 回 2 0 2 0 0)(dcos 0)(dsinttkttk 13.3 13.3 有效值、平均值和平均功率有效值、平均值和平均功率 1. 1. 三角函数的性质三角函数的性质 正弦、余弦信号一个周期内的积分为正弦、余弦信号一个周期内的积分为0。 k整数整数 sin2、cos2 在一个周期内的积分为在一个周期内的积分为。 )(dcos )(dsin 2 0 2 2 0 2 tt

10、kttk 下 页上 页返 回 0)(dsinsin 0)(dcoscos 0)(dsincos 2 0 2 0 2 0 ttptk ttptk ttptk pk 三角函数的正交性三角函数的正交性 下 页上 页返 回 2. 2. 非正弦周期函数的有效值非正弦周期函数的有效值 )cos()( 1 0k k km tkIIti 若若 则有效值则有效值: : )(dcos 1 )(d 1 2 0 1 0 0 2 ttkII T tti T I T k kkm T 下 页上 页返 回 )(dcos 1 2 0 1 0 ttkII T I T k kkm d)(cos 1 0 2 1 22 T kkkm

11、IttkI T d 1 0 2 0 2 0 T ItI T 0d)cos(2 1 0 0 T k ttkI T 0d)cos()cos(2 1 0 T qqmkkm ttqItkI T qk 下 页上 页返 回 21 2 2 0 k km I II 周期函数的有效值为直流分量及各周期函数的有效值为直流分量及各 次谐波分量有效值平方和的方根。次谐波分量有效值平方和的方根。 2 2 2 1 2 0 IIII 结论 下 页上 页返 回 3. 3. 非正弦周期函数的平均值非正弦周期函数的平均值 0 0 d)( 1 Itti T I T 其直流值为：其直流值为： )cos()( 1 0k k km tk

12、IIti 若若 其平均值为：其平均值为： T av tti T I 0 d)( 1 正弦量的平均值为：正弦量的平均值为： 898. 0dcos 1 0 T mav IttI T I 下 页上 页返 回 4.4.非正弦周期交流电路的平均功率非正弦周期交流电路的平均功率 T tiu T P 0 d 1 )cos()( 1 0uk k km tkUUtu )cos()( 1 0ik k km tkIIti 利用三角函数的正交性，得：利用三角函数的正交性，得： . )( cos 210 1 00 PPP IUIUP ikukkkk k k 下 页上 页返 回 平均功率直流分量的功率各次谐波的平均功率平

13、均功率直流分量的功率各次谐波的平均功率 coscos 22211100 IUIUIUP 结论 下 页上 页返 回 13.4 13.4 非正弦周期电流电路非正弦周期电流电路的计算的计算 1. 1. 计算步骤计算步骤 对各次谐波分别应用相量法计算；（注意对各次谐波分别应用相量法计算；（注意: :交流交流 各谐波的各谐波的 XL、XC不同，对直流不同，对直流 C 相当于开路、相当于开路、 L 相于短路。）相于短路。） 利用傅里叶级数，将非正弦周期函数展开成若利用傅里叶级数，将非正弦周期函数展开成若 干种频率的谐波信号；干种频率的谐波信号； 将以上计算结果转换为瞬时值迭加。将以上计算结果转换为瞬时值迭

14、加。 下 页上 页返 回 2. 2. 计算举例计算举例 例例1方波信号激励的电路。求方波信号激励的电路。求u, 已知：已知： s28. 6 A157 pF1000 mH1 20 TI CLR m 、 、 t T/2T S i m I 解解(1) (1) 方波信号的展开式为：方波信号的展开式为： )5sin 5 1 3sin 3 1 (sin 2 2 t tt II i mm S s28. 6 ,A157 TI m 代入已知数据：代入已知数据： 0 下 页上 页 R L Cu S i 返 回 直流分量：直流分量： A5 .78 2 157 2 0 I I m A 100 14.3 57.122

15、1 m m I I基波最大值：基波最大值： A20 5 1 15 mm II 五次谐波最大值：五次谐波最大值： rad/s10 1028.6 14.322 6 6 T 角频率：角频率： 三次谐波最大值：三次谐波最大值：A3.33 3 1 13 mm II 下 页上 页返 回 A5 .78 0 S I 电流源电流源各频率的谐波分量为：各频率的谐波分量为： A10sin100 6 1 tis A103sin 3 100 6 3 tis A105sin 5 100 6 5 tis （2 2） 对对各次谐波分量单独计算：各次谐波分量单独计算： （a) a) 直流分量直流分量 IS0 作用作用 A5 .

16、78 0 S I 电容断路，电感短路电容断路，电感短路 mV57. 1105 .7820 6 00 S RIU 下 页上 页 Ru 0S I 返 回 （b)基波作用基波作用A 10sin100 6 1 tis k11010 k1 10100010 11 36 1 126 1 L C k50 )( j )j ()j( )( 1 RC L R XX XXR XXR Z CL CL CL XLR mV 2 5000 50 2 10100 ( 6 111 ）ZIU 下 页上 页 R L Cu 1S i 返 回 (c)三次谐波作用三次谐波作用A 103sin 3 100 6 3 tis 0 33 33

17、1 19.895 .374 )( j )j)(j( )3( CL CL XXR XXR Z k3101033 k33. 0 101000103 1 3 1 36 1 126 1 L C 0 6 133 19.895 .374 2 10 3 .33)3( ZIU S mV2 .89 2 47.12 0 下 页上 页 R L Cu 3S i 返 回 (d)五次谐波作用五次谐波作用 A105sin 5 100 6 5 tis 53.893 .208 )5( j )j)(j( )5( 55 55 1 CL CL XXR XXR Z k5101055 k2 . 0 101000105 1 5 1 36

18、1 126 1 L C mV53.89 2 166. 4 53.893 .208 2 10 20)5( 6 15s5 ZIU 下 页上 页 R L Cu 5S i 返 回 (3)各各谐波分量计算结果瞬时值迭加：谐波分量计算结果瞬时值迭加： mV)53.895sin(166. 4 )2 .893sin(47.12 sin500057. 1 5310 t t t uuuUu mV57. 1 0 U mV2.89 2 47.12 3 U mV 2 5000 1 U mV53.89 2 166. 4 5 U 下 页上 页返 回 V. ) 4 2000cos(601000cos12030: ttu已知已

19、知 求电路中各表读数求电路中各表读数( (有效值有效值) ) 。 例例2 V1 L1 C1 C2 L2 40mH 10mH u+ _ 25F 25F 30 b c d A3 A2 V2 V1 A1 a 下 页上 页返 回 解解 (1)u0=30V作用于电路，作用于电路，L1、L2短路，短路，C1、C2开路。开路。 i0= iL20 = u0/R =30/30=1A, iC10=0, uad0= ucb0 = u0 =30V a i iC1iL2 L1 C1 C2 L2 40mH 10mH u + _ 25F25F 30 b cd a iC10iL20 L1 C1 C2 L2 + _ 30 b

20、cd u0 i0 下 页上 页返 回 (2) u1=120cos1000t V作用作用 40 10251000 111 1010101000 4010401000 6 21 3 2 3 1 CC LL V0120 1 U 0 0 cb1 211 U II L A903 40j 0120 j 1111 UCIC V0120 11ad UU 1 U 1 I 11C I 21L I j40 j40 j40 j10 a + _ 30 b cd 并联谐振并联谐振 下 页上 页返 回 (3) u2=60cos(2000t+ /4)V作用作用 20 10252000 1 2 1 2 1 2010102000

21、2 ,80104020002 6 21 3 2 3 1 CC LL V4560 2 U A453 20j 4560 j2 2 1 22 L U I L 0 122 C II V4560 0 2cb2 ad2 UU U 2 I 12C I 22L I j80 j20 j20 j20 2 U a + _ 30 b cd 并联谐振并联谐振 下 页上 页返 回 i=i0+ i1 + i2 =1A 所求电压、电流的瞬时值为：所求电压、电流的瞬时值为： iC1= iC10 +iC11 +iC12 =3cos(1000t+90) A iL2= iL20 +iL21 +iL22 =1+3cos(2000t 4

22、5) A uad= uad0 + uad1 + uad2 =30+120cos1000t V ucb= ucb0 + ucb1 + ucb2 =30+60cos(2000t+45) V A 1I表表A1的读数：的读数： 2.12A 2/3 表表A2的读数：的读数： A35. 2)2/3(1 22 表表A3的读数：的读数： V90)2/120(30 22 表表V1的读数：的读数： V0 .52)2/60(30 22 表表V2的读数：的读数： 下 页上 页返 回 例例3 已知已知u(t)是周期函数，波形如图，是周期函数，波形如图，L=1/2 H， C=125/ F，求理想变压器原边电流求理想变压器

23、原边电流i1(t)及输及输 出电压出电压u2的有效值。的有效值。 24 1 0.5 u/V t/ms 12 解解rad/s102/2 3 T ) cos(1212)(ttu A5 . 18/12 1 i 当当u=12V作用时，电容作用时，电容 开路、电感短路，有：开路、电感短路，有： 0 2 u * C 1 i 2 i + 2 u + 2 : 18 L u * o 下 页上 页返 回 作作用用时时当当) cos(12 tu 4 10125102 1 63 C X C -j4 2 U j 0 012 * 1 I + + 2 : 18 * 2 I 0 012 1 I + 8 j4 -j4 + 1

24、U 110 2 1 102 33 LX L A3 j 4j 12 4j 1 U I V012 0 1 UU V06 1 0 12 U n U V243. 4 2 6 2 U A)90cos(35 . 1 0 1 ti 下 页上 页返 回 振幅相量振幅相量 例例4 求求Uab、i、及功率表的读数。及功率表的读数。 V)303cos(2100cos2220 Vcos2220 0 2 1 ttu tu : :已知已知 解解 一次谐波作用：一次谐波作用： V0440 0 )1( ab U A4 .1896. 6 20j60 440 0 )1( I 三次谐波作用：三次谐波作用：V30100 0 )3(

25、ab U A1518. 1 60j60 30100 0 0 )3( I V22.451100440 22 ab U A)153cos(218. 1)4 .18cos(296. 6 00 tti W92.14524 .18cos96. 6220P 测的是测的是u1 的功率的功率 I + 60 j20 + 1 U W a b 2 U * * 下 页上 页返 回 例例5 L=0.1H，C31F，C1中只有基波电流，中只有基波电流，C3中中 只有三次谐波电流，求只有三次谐波电流，求C1、C2和各支路电流。和各支路电流。 A 3000cos101000cos205ttis: :已已知知 解解 F L C

26、 52 2 109 11 C1中只有基波电流，说明中只有基波电流，说明L和和C2对三次谐波发对三次谐波发 生并联谐振。即：生并联谐振。即： 下 页上 页 1 i 100 L C3 C2 C1 200 S i 2 i 3 i 返 回 1 i 100 L C3 C2 C1 200 S i 2 i 3 i 0 )1( jj 1 2 2 1 CL CL C C3中只有三次谐波电流，说明中只有三次谐波电流，说明L、C1、C2对一对一 次谐波发生串联谐振。即：次谐波发生串联谐振。即： F 109 8 5 1 C 直流作用：直流作用：5A S1 ii 下 页上 页返 回 A 1000cos20)( S2 t

27、iti一次谐波作用：一次谐波作用： 三次谐波作用：三次谐波作用： A4823. 2 310j200100 10100 0 3 )3(3 I A1167. 8 10j9 30 10 0 )3(3)3( 1 III S A)113000cos(67. 85)( 0 1 tti A)483000cos(23. 2)( 0 3 tti 下 页上 页 1 i 100 L C3 C2 C1 200 S i 2 i 3 i 2 i S i 1 i 100 C3 200 S i 3 i 返 回 13.5 13.5 对称三相电路中的高次谐波对称三相电路中的高次谐波 )( A tuu BC 2 (),() 33

28、TT uu tuu t BC 2 (),() 33 TT uu tuu t设设 展开成傅里叶级数展开成傅里叶级数( ( k 为奇数为奇数) ) ，则有：，则有： Am( )1 cos() kk uUkt Bm( )1 2 cos() 3 kk k uUkt Cm( )1 2 cos() 3 kk k uUkt A相相 B相相 C C相相 1. 1. 对称三相电路中的高次谐波对称三相电路中的高次谐波 下 页上 页返 回 令令 k =6n+1，(n =0,1,2)，即：即：k =1,7,13 讨论 各相的初相分别为：各相的初相分别为： A相相 B相相 C C相相 )( k 2 (4 ) 3 k n

29、 2 (4 ) 3 k n 正序对称正序对称 三相电源三相电源 令令 k =6n+3，即：即：k =3,9,15 下 页上 页返 回 各相的初相分别为：各相的初相分别为： 零序对称零序对称 三相电源三相电源 令令 k =6n+5，即：即：k =5,11,17 A相相 B相相 C C相相 )( k (21)2) k n (21)2) k n A相相 B相相 C C相相 )( k 2 (22)2) 3 k n 2 (22)2) 3 k n 各相的初相分别为：各相的初相分别为： 负序对称负序对称 三相电源三相电源 下 页上 页返 回 结论 三相对称的非正弦周期量（奇谐波）可分解为三相对称的非正弦周期量（奇谐波）可分解为3 3 类对称组，即正序对称组、负序对称组和零序类对称组，即正序对称组、负序对称组和零序 对称组。对称组。 在上述对称的非正弦周期电压源作用下的对称三在上述对称的非正弦周期电压源作用下的对称三 相电路的分析计算，按相电路的分析计算，按3 3类对称组分别进行。对于类对称组分别进行。对于 正序和负序对称组，可直接引用第正序和负序对称组，可直接引用第1212章的方法和章的方法和 有关结论