第三章 空域滤波：原理及

1、1 第三章第三章 空域滤波：原理及算法空域滤波：原理及算法 2 3.1波束形成的基本概念波束形成的基本概念 3 3.1波束形成的基本概念波束形成的基本概念 1. 阵列信号的表示阵列信号的表示 ,exp2 T g t rAjftk r 简化：简化： 4 d 1 2N * 1 W * 2 W * N W 图图3.1 , T jt r s t rs t e 1 2 sin 2 2 1sin jt jd jt jNd jt N xts t e xts t ee xts t ee M 5 1 2 sin 2 2 1sin 1 jd j t jNd N x t xte X ts t es t a xt e

2、 MM 。 a 6 2. 波束形成（波束形成（Beamforing） 我们记：我们记： ，称为方向图。当，称为方向图。当 对某个方向对某个方向 的信号同相相加时得的信号同相相加时得 的模的模 值最大。值最大。 HH y tW X ts t W a 基本思想：基本思想：通过将各阵元输出进行加权求和，在通过将各阵元输出进行加权求和，在 一时间内将天线阵列波束一时间内将天线阵列波束“导向导向”到一个方向上，到一个方向上， 对期望信号得到最大输出功率的导向位置给出了对期望信号得到最大输出功率的导向位置给出了 波达方向估计。即输出可以表示为：波达方向估计。即输出可以表示为： 目的是：增强特定方向信号的功

3、率。目的是：增强特定方向信号的功率。 H W PWa W 0 0W P 7 v 阵列的方向图阵列的方向图 阵列输出的绝对值与来波方向之间的关系称为阵列输出的绝对值与来波方向之间的关系称为 天线的方向图。方向图一般有两类：天线的方向图。方向图一般有两类： 静态方向图：静态方向图：阵列输出的直接相加（不考虑阵列输出的直接相加（不考虑 信号及来波方向），其阵列的最大值出现在信号及来波方向），其阵列的最大值出现在 阵列法线方向（即阵列法线方向（即 ） 带指向的方向图：带指向的方向图：信号的指向是通过控制加信号的指向是通过控制加 权相位来实现，即常说的相控阵列权相位来实现，即常说的相控阵列 0 8 对于

4、对于 实际上是空域采样信号，波束形成实现实际上是空域采样信号，波束形成实现 了对方向角了对方向角 的选择，即实现空域滤波。这一点的选择，即实现空域滤波。这一点 可以对比时域滤波，实现频率选择。可以对比时域滤波，实现频率选择。 X t 等距线阵等距线阵情况：情况： 若要波束形成指向若要波束形成指向 ，则可取，则可取 ，波束，波束 形成形成 0 0 Wa 0 0 0 0 21 sinsin 1 2 sinsin 2 sinsin 1 1 H H d i N j i dN j d j PWaaa e e e 9 0 000 sin sin 2 , sin sin 2 N P 则：则： 上式表示的波束

5、图有以下上式表示的波束图有以下特点特点： v波束成波束成 形状，其最大值为形状，其最大值为N。波束主瓣半。波束主瓣半 功率点宽度为：功率点宽度为： 。根据。根据 Fourier理论，理论，主瓣宽度正比于天线孔径的倒数。主瓣宽度正比于天线孔径的倒数。 sin / x x 0.88650.8 ()( ) / B rad NdNd o v最大副瓣为第一副瓣，且为最大副瓣为第一副瓣，且为-13.4dB。这种副瓣。这种副瓣 电平对于很多应用来说都太大了，为了降低副瓣，电平对于很多应用来说都太大了，为了降低副瓣， 必须采用幅度加权（又称为加窗）。必须采用幅度加权（又称为加窗）。 10 天线方向图，来波方向

6、指向天线方向图，来波方向指向 0 0 o 11 可见随着阵元数的增加，波束宽度变窄，分辨力可见随着阵元数的增加，波束宽度变窄，分辨力 提高提高，这是因为：，这是因为： 12 v波束宽度波束宽度 在在DOADOA估计中，线阵的测向范围为估计中，线阵的测向范围为 即对于均匀线阵，波束宽度为：即对于均匀线阵，波束宽度为： 其中其中D D为天线的有效孔径，可见波束宽度与天线为天线的有效孔径，可见波束宽度与天线 孔径成反比。孔径成反比。 90 90 ， oo 510.89 / BWrad DD o v分辨力分辨力 目标的分辨力是指在多目标环境下雷达能否将两目标的分辨力是指在多目标环境下雷达能否将两 个或

7、两个以上邻近目标区分开来的能力。个或两个以上邻近目标区分开来的能力。 波束宽度越窄，阵列的指向性越好，说明阵列的波束宽度越窄，阵列的指向性越好，说明阵列的 分辨力随阵元数增加而变好，故与天线孔径成反分辨力随阵元数增加而变好，故与天线孔径成反 比。比。 13 14 /2d2d /2d 15 类似于时域滤波，天线方向图是最优权的傅立叶变换类似于时域滤波，天线方向图是最优权的傅立叶变换 16 均匀圆阵（均匀圆阵（UCAUCA） x y z 以均匀圆阵的中心为参考以均匀圆阵的中心为参考 2/ m m M 第第m个阵元与个阵元与x轴的夹角记为：轴的夹角记为： 则则M元均匀圆阵的导向矢量：元均匀圆阵的导向

8、矢量： 0 1 1 sin cos() sin cos() sin cos() M jkR jkR UCA jkR e e a e 其中其中2 /k R 为圆阵的半径为圆阵的半径 17 波束指向：波束指向：,/4 18 3.2自适应波束形成技术自适应波束形成技术 3.2.1 普通波束形成的优缺点普通波束形成的优缺点 优点：优点：是一个匹配滤波器，在主瓣方向信号相干积累，是一个匹配滤波器，在主瓣方向信号相干积累， 实现简单，在白噪声背景下它是最优的，在色噪声背景实现简单，在白噪声背景下它是最优的，在色噪声背景 下，维纳滤波是最优的。下，维纳滤波是最优的。 缺点：缺点： 1) 波束宽度限制了方向角

9、的分辨。波束宽度限制了方向角的分辨。 2) 存在旁瓣，强干扰信号可以从旁瓣进入。存在旁瓣，强干扰信号可以从旁瓣进入。 3) 加窗处理可以降低旁瓣，但同时也会展宽主瓣。加窗处理可以降低旁瓣，但同时也会展宽主瓣。 普通波束形成依赖于阵列几何结构和波达普通波束形成依赖于阵列几何结构和波达 方向角，而与信号环境无关，且固定不变，抑制干扰方向角，而与信号环境无关，且固定不变，抑制干扰 能力差。能力差。 19 3.2.2 自适应波束形成自适应波束形成 自适应波束形成是将维纳滤波理论应用于空自适应波束形成是将维纳滤波理论应用于空 域滤波中，它的权矢量依赖于信号环境。域滤波中，它的权矢量依赖于信号环境。 一般

10、框架：一般框架： 波束形成：波束形成： H y tWX t 对于平稳随机信号，输出信号功率为：对于平稳随机信号，输出信号功率为： 2 H HH HH HH Ey tE WX tWX t E WX t Xt W W E X t XtW 定义：阵列信号相关矩阵，定义：阵列信号相关矩阵， H X RE X t Xt 它包含了阵列信号所有的统计知识（二阶）。它包含了阵列信号所有的统计知识（二阶）。 20 3.2.3 最优波束形成最优波束形成 最优波束形成的一般形式：最优波束形成的一般形式： min . .0 H X W WR W stf W 最优滤波的准则：最优滤波的准则： 1.SNR（信噪比）最大准

11、则（信噪比）最大准则 2.均方误差最小准则均方误差最小准则(MSE) 3.线性约束最小方差准则线性约束最小方差准则(LCMV) 4.最大似然准则最大似然准则 21 1.SNR（信噪比）最大准则（信噪比）最大准则 如果信号分量如果信号分量 与噪声分量与噪声分量 统计无关，且统计无关，且 各自相关矩阵已知：各自相关矩阵已知： 其中其中 为信号功率，为信号功率， 为噪声功率。为噪声功率。 若阵列信号为：若阵列信号为： sn X tXtXt s Xt n Xt H sss RtE Xt Xt H nnn RtE Xt Xt 则则 HHH sn y tWX tWXtWXt 输出功率：输出功率： 2 HH

12、 sn Ey tWR WWR W H s WR W H n WR W 22 则则 H s H n WR W WR W 信号功率 噪声功率 SNRSNR（信噪比）最大准则即（信噪比）最大准则即 max H s H W n WR W WR W 23 maxmax 1111 2222 max 11 22 1 11 2 22 max 11 22 max H WR W s SNR H WW WR W n H H WRRR RR W snnnn W H WRR W nn VR WH n VRR RV snn H V VV RRR RH sns nn VRV sn H V VV 根据瑞利熵，可根据瑞利熵，可

13、 看出即是求看出即是求 的的 最大特征值问题。最大特征值问题。 sn R SNRSNR最大准则的求解方法：最大准则的求解方法： 利用瑞利熵：利用瑞利熵： minmax H H X RX RR XX 24 是矩阵对是矩阵对 的最大广义特征值对应的最大广义特征值对应 maxsnoptopt R VV 11 22 max max nsnoptopt snoptopt RR RVV R WR W opt W , sn R R 即即 （广义特征值分解）（广义特征值分解） 的特征矢量。的特征矢量。 25 0 ( )( ) () s X ts t aa 2 00ss Raa 2 00max 0 1 0 so

14、ptnopt nopt optn aaWR W aR W WRa 2 nnn RI 2 maxsoptoptnopt R WWW opt W s R 0opt Wa 26 利用要估计单元周围的单元来估计噪声协方利用要估计单元周围的单元来估计噪声协方 差矩阵，即用参考单元估计。差矩阵，即用参考单元估计。 如何应用如何应用SNR准则设计最优波束形成器，关键在准则设计最优波束形成器，关键在 于能否分别计算信号功率和噪声功率。于能否分别计算信号功率和噪声功率。 v在仅含噪声（干扰）数据时，可以估计出在仅含噪声（干扰）数据时，可以估计出 n R 从而得到从而得到 n W R W v当既有信号又有噪声时当

15、既有信号又有噪声时 xsn RRR v智能天线智能天线-扩频信号扩频信号 27 最大最大SNR准则，来波方向准则，来波方向 ，干扰方向，干扰方向 0 0 1 20 28 2. 均方误差最小准则均方误差最小准则(MSE) 应用条件：需要一个应用条件：需要一个期望输出期望输出（参考）信号（参考）信号 。 2 2 HH HHH XXdXd WE y td tE WX td tXt Wd t WR WE d tWrrW d t H y tWX t 令令 2 2 H WE y td tE WX td t min W W 其中其中 是是相关矢量相关矢量， * Xd rE X t dt H X N N RE

16、 X t Xt 是是相关矩阵相关矩阵。 29 此求解可利用实函数对复变量求导法则，得此求解可利用实函数对复变量求导法则，得 1 XXdopt WR r 由公式可看出：应用此方法仅需阵列信号与期由公式可看出：应用此方法仅需阵列信号与期 望输出信号的互相关矢量，因此寻找参考信号望输出信号的互相关矢量，因此寻找参考信号 或与参考信号的互相关矢量是应用该准则的前或与参考信号的互相关矢量是应用该准则的前 提。提。 MSE准则的应用：准则的应用： 1) 30 加在辅助天线的权矢量加在辅助天线的权矢量 获得好的干扰抑制性能的条件获得好的干扰抑制性能的条件：主天线与辅助天线：主天线与辅助天线 对干扰信号接收输

17、出信号相关性较好。对干扰信号接收输出信号相关性较好。 实例：实例： ） y t 1 XXdopt WR r * 1 W * 2 W * N W tx1 2 xt N xt - - y t tm tytmte 主主 天天 线线 图图3.3 31 1 60 01 30 32 3.线性约束最小方差线性约束最小方差(LCMV)(LCMV)准则准则 , , 方差为：方差为： （输出功率）（输出功率） 导向矢量约束导向矢量约束 为目标信号方向矢量。为目标信号方向矢量。 信号：信号： 则则 H y tWX t 2 H X Ey tWR W 0 a 0 X ts t aJN 0 HHH y tWX ts t

18、WaWJN 目的是寻找最优的权目的是寻找最优的权 。 W 33 我们可以固定我们可以固定 ，即信号分量就固定，即信号分量就固定 了，然后最小化方差，相当于使了，然后最小化方差，相当于使 的方差的方差 最小，所以可得最优准则为最小，所以可得最优准则为 0 1 H Wa （1可变为任意非零常数）可变为任意非零常数） 解得：解得： 。 的取值不影响的取值不影响SNR和方向图。和方向图。 H WJN 0 min .1 H X W H WR W st Wa 1 0Xopt WR a 为任意非零常数 1 00 1 H X aRa 0 1 H Wa 34 注意：注意：本准则要求波束形成的指向本准则要求波束形

19、成的指向 已知，已知， 而不要求参考信号而不要求参考信号 和信号与干扰的相关矩阵。和信号与干扰的相关矩阵。 推广到约束多个方向：一般的线性约束最小方差推广到约束多个方向：一般的线性约束最小方差 法为：法为： min 1 . H X W HH WR W C FL st W CF ：NL的矩阵， ：的常数矢量（L1) 解之：解之： 1 11H XXopt WR C C R CF 特例：特例：当当 ，即约束单个方向，则，即约束单个方向，则 0 Ca 1F d t 0 a 35 2) 可增加稳健性。可增加稳健性。 注：注： 实际应用：实际应用： 1)1) 当已知目标在当已知目标在 方向，但也可能在方向

20、，但也可能在 附附 近，这时可令近，这时可令 ， 0 0 1 000 , L N L Caaa 1 0 0 F 000 , 1 1 1 Caaa F 结果可把主瓣展宽。结果可把主瓣展宽。 X R HH X WR WW W 36 在实际中，阵列天线不可避免地存在各种误差。文在实际中，阵列天线不可避免地存在各种误差。文 献献 Error analysis of the optimal antenna array processors. IEEE Trans.on AES,1986,22(3):395-409 对各种误差（如阵元响应误差、通道频率响应误差、对各种误差（如阵元响应误差、通道频率响应误差

21、、 阵元位置扰动误差、互耦等）的影响进行了分析综阵元位置扰动误差、互耦等）的影响进行了分析综 述，述，基本结论是：基本结论是：对于只利用干扰加噪声协方差矩对于只利用干扰加噪声协方差矩 阵求逆的方法，幅相误差对自适应波束形成的影响阵求逆的方法，幅相误差对自适应波束形成的影响 不大；但是对于利用信号加干扰加噪声协方差矩阵不大；但是对于利用信号加干扰加噪声协方差矩阵 求逆的自适应方法，当信噪比较大时，虽然干扰零求逆的自适应方法，当信噪比较大时，虽然干扰零 点位置变化不大，但是点位置变化不大，但是 在信号方向上也可能形成在信号方向上也可能形成 零陷，导致信噪比严重下降。零陷，导致信噪比严重下降。 37

22、 Capon法波束形成，法波束形成，来波方向来波方向 , ,干扰方向为干扰方向为 0 0 o 20 ,60 oo 38 0o50o 39 多点约束的波束形成，来波方向为多点约束的波束形成，来波方向为 ， 和和50o 20o0o 40 3.2.4三个最优准则的比较三个最优准则的比较 m axsnoptopt RWRW n R 1 XXdopt WR r d t 1 0Xopt WR a 0 41 0n X ts t aXt 0 a s t n Xt 00 2 00 H s H s H nnn RE s t aast aa RE Xt Xt max 2 00max 10 2 0 max snopt

23、SNRoptSNR H noptSNRoptSNRs H optSNR noptSNRs R WR W aaWR W aW WR a 其中： 1 0XoptLCMV WR a 42 中含有期望信号分量，而中含有期望信号分量，而 中不含期望信号分中不含期望信号分 量，仅为噪声分量。量，仅为噪声分量。 2 00 H Xns RaaR X R n R 注意：注意： 由矩阵求逆引理：由矩阵求逆引理： 11 1 1 1 1 :1) H H H A bb A bbAA b A b AN (假设 可逆， b 所以所以 11 2 11 00 1 2 00 1 H nns Xn H ns R aaR RR aR

24、 a 11 2 11 00 001 2 00 1 0 1 1 H nns XnoptLCMV H ns noptSNR R aaR WR aR a aR a R aW 43 上式表明：上式表明：在精确的方向矢量约束条件和相关矩阵在精确的方向矢量约束条件和相关矩阵 精确已知条件下，精确已知条件下，SNR准则与准则与LCMV准则等效。准则等效。 上述条件若不满足，应该用上述条件若不满足，应该用 来计算。直接用来计算。直接用 求求 逆计算最优权会导致信号相消。逆计算最优权会导致信号相消。 n RX R 在最优波束形成方法中，降低旁瓣电平的方法是在最优波束形成方法中，降低旁瓣电平的方法是 加窗处理。加

25、窗处理。 00 aa 0 min .1 H X W H WR W st Wa 1 0 () Xopt WRa 44 1 * 0 1 * 0 XoptMSE X WE s t dtR a R aE s t dt MSE：若已知：若已知 与与 不相关，则不相关，则 d t n Xt * * 0 * 0 Xd rE X t dt E s t adt E s t dta 由此看出，上述三个准则在一定条件下是等价的。由此看出，上述三个准则在一定条件下是等价的。 45 小结：小结： 自适应波束形成原理如图自适应波束形成原理如图3.4 1 2N * 1 W * 2 W * N W ty 图图3.4 46 实

26、现框图为图实现框图为图3.5 X t 0 a opt W 0 1 aR 图图3.5 1) 需已知二阶统计量需已知二阶统计量 n R 0 a 自适应波束形成的特点：自适应波束形成的特点： 3) 矩阵求逆运算量大，有待于矩阵求逆运算量大，有待于 寻找快速算法。寻找快速算法。 2) 已知已知 47 3.3 自适应算法自适应算法 分块算法（批处理方式）分块算法（批处理方式）SMI 连续算法（每次快拍单独计算）连续算法（每次快拍单独计算）LMS 自适应算法自适应算法 3.3.1 LMS算法算法 最小均方最小均方(LMS)算法算法 差分最陡下降差分最陡下降(DSD)算法算法 加速梯度加速梯度(AG)算法算

27、法 基于梯度的算法基于梯度的算法 48 1. LMS算法算法 MSEMSE准则：准则： 波束形成：波束形成： 期望输出：期望输出： 误差：误差： 1 XXdopt WR r H y tWX t d t e ty td t 22 2Re HH XXd E e tWR WEd tWr 2 * * 22 2 2 2 XdX H E e t rR W W E X t XtWE X t dt E X tytdt E X t et 2 E e t 1 W 2 W opt W 图图3.6 49 LMS思想思想(widrow提出提出)：用瞬态值代替稳态值：用瞬态值代替稳态值. . * 2 WtX t et 迭

28、代算法：迭代算法： * 1 2 WW kW kk W kX k ek LMS算法的算法的优点优点：实现简单：实现简单 收敛性本质上依赖于收敛性本质上依赖于 的特征值的分散程度，当的特征值的分散程度，当 n R 12 1 N H niiiN i RV V 特征值很接近时，可找到一个特征值很接近时，可找到一个 使算法快收敛。使算法快收敛。 严重缺陷：严重缺陷：收敛性太慢。收敛性太慢。 50 序号序号 加速收敛性问题：加速收敛性问题： 对角加载技术：对角加载技术： ,0 n RDI D 1 () N H niii i RDID V V 1 1 00 1 1 0 1 N H noptiii i N H

29、 iii i WR aV Va V Va 的特征值一般具有以下结构：的特征值一般具有以下结构：( (如图如图3.7) ) n R 2 1212pppNn Np p个大特征值个小特征值 图图3.7 51 上式中的第二项为上式中的第二项为 个大特征值对应的特征矢量的线性个大特征值对应的特征矢量的线性 组合。组合。 是要求自由度，当是要求自由度，当 越大，自适应能力越差。越大，自适应能力越差。 1 11 11 1 2 11 2 2 1 1 () 1 pN HH niiiiii ii p pp HH iiiii ii n p H in ii i ni RV VV V V VIV V IV V 2 1

30、000 2 1 0 1 1 p H in noptii i ni p ii i WR aaVaV aV p pp 52 1 0 2 00 2 1 () ()()1 opt p H in ii i ni WRDIa DD aVaV D 1,2, i iN1,2, i D iN X t opt W 53 540 40 0 60 55 3.3.2 SMI（采样协方差矩阵求逆）算法（采样协方差矩阵求逆）算法 最优波束形成：最优波束形成： 1 0nopt WR a 应不含信号分量，而实际中则是用一批接收数应不含信号分量，而实际中则是用一批接收数 据据 估计估计 。 n R ,1,2, i X tiM n

31、 R 由估计理论：由估计理论： 1 1 M H nii i RMX t Xt M , ,此估计是最此估计是最 即：即： , nn RMRM SMI算法：算法： 1 0nopt WMRM a 问题是：问题是： 取多少合适？取多少合适？SMI算法性能如何算法性能如何?M 大似然无偏估计，大似然无偏估计， 56 假设假设 独立且同服从高斯分布独立且同服从高斯分布， 代入代入 得得 分析：分析： ,1,2, i X tiM 是随机变量，由此计算的也是随是随机变量，由此计算的也是随 机变量。机变量。 ,1,2, i X tiM 2 0 H H n Wa SNR WR W 1 0nopt WMRM a 2 1 00 11 00 H n H nnn aRM a SNR M aRM R RM a 57 是一个随机变量，其是一个随机变量，其 1 00 H n SNRaR a 所以归一化信噪比为：所以归一化信噪比为： 0 2 1 00 11 1 0000 H n HH nnnn SNR M SNRM SNR aR