第一节三角形常应变单元

1、第三章 平面问题的有限元法本章通过三角形常应变单元，介绍有限元法应用于弹性体应力分析的基本原理和方法：包括弹性体的离散化，单元特性的分析，刚度矩阵的建立，等效节点力的计算，解答的收敛性以及实施步骤和注意事项，同时对形函数的性质也作简要的叙述。第一节 三角形常应变单元一、 结构离散化用有限元法分析弹性力学平面问题，第一步就是把原来的连续的弹性体离散化。 (a) (b)图3.1 弹性体和有限元模型将整个结构（平板）划分成有限个三角形。这样的三角形称为单元（三角形单元）。三角形单元的顶点取为节点。3节点三角形单元用边界节点间的直线段来近似板的曲线边界。这些三角形在其节点处相互连接，组成一个单元集合体

2、，以代替原来的弹性体。注：1. 全部节点和全部单元一般由1开始按自然顺序编号。2. 节点编码： 总码-用于整体分析，如1,2，按自然顺序编号 局部码-用于单元分析，i，j，m 要求按逆时针方向的顺序进行编码每个单元的节点局部码i，j，m和节点总码有一一对应的关系3. 单元间不能有重叠4. 一个单元的任一顶点不许为另一单元任一边的内点5. 所有作用在单元上的载荷，包括集中载荷、表面载荷和体积力，都按虚功等效的原则移置到节点上，成为等效节点载荷。二、 位移模式1. 单元节点位移列阵图 3.2 平面三角形单元 设单元e的节点号码为i，j，m。由弹性力学平面可知，单元内任意一点有两个位移分量u，v ，

3、记为 故每个节点也有两个位移分量，因此称节点自由度为2。3个节点得位移分量分别是 ，用列阵表示为 （3-1）称单元自由度是6。其中任一子矩阵为 （i，j，m轮换）2. 位移模式结构承受载荷以后发生位移，但位移分布事先并不知道。位移法有限元采用节点位移为基本未知量。因此，在应用位移法有限元时，需要对单元内部的位移分布进行假定，使其满足节点的位移连续条件和单元边界的位移连续条件。单元位移分布的假定一般选用代数多项式，多项式的系数待定。这是一种近似方法。代数多项式的次数可以选择很高，不过次数越高，分析越麻烦，但精确度越好。这种假定的单元位移分布形式称为位移模式，它是坐标x和y的函数，所以也称为位移函

4、数。对于3节点三角形单元，选用的位移模式是把单元中任一点的位移u，v表示为坐标x和y的线性函数，即 （3-2）式中为待定常数设各节点坐标为（xi,yi）,(xj,yj),(xm,ym)，同时设各节点位移为（ui ,vi）,(uj ,vj ),(um ,vm )代入式（3-2）得 由上式左边的三个方程可以求得， 其中 式中为三角形面积，为了保证求得的面积为正值，三个节点i，j，m必须按逆时针编排，如图3-2所示。将代入式（3-2），经整理得其中 （i，j，m轮换） （3-3）同理得 若令 （i,j,m轮换） （3-4）则得位移模式为 （3-5）也可写成矩阵形式 （3-6）式中是坐标的线性函数，它

5、们反映了单元的位移状态，所以称为形函数，且称 为形函数矩阵 。其中 例题1 图示单元，已知各节点的坐标（单位: m），计算 ：1. 形函数的表达式；边中点A的形函数。 2. 已知各节点的位移： 1（0，-0.001），2（0.002,0），3（0,0），计算边中点A的位移。 图3.3 例题1解：1. =1 因 （i,j,m轮换）， 得 在边中点A有x=0, y=1 ，将其代入上式，的2. 单元节点位移由方程（3-5），得边中点A的位移三、 应变 有了单元位移模式（3-5），利用平面问题的几何方程可以求得应变分量。 而 （i，j，m轮换）所以写成矩阵形式 简写成 (3-7)将其写成分块矩阵形式

6、(3-8)而子矩阵 （i，j，m轮换） (3-9)注：1. 式(3-9)是用节点位移表示单元应变的矩阵方程，其中矩阵称之为单元应变矩阵。 2. 由于等都是常数，所以矩阵中的元素都是常数，因而单元中各点的应变分量也都是常数。故这种单元称为常应变单元。例题2 对于例1单元，试计算单元应变。解： 所以单元应变为四、 应力求得应变后，利用物理方程 便可导出以节点位移表示的应力关系式中。把式（3-7）代入上式，得 （3-10）令 则 （3-11）上式表示的是应力与节点位移之间的关系。式中矩阵称之为单元应力矩阵，写成分块矩阵的形式 （3-12）对于平面应力问题，其弹性矩阵为 代入式（3-12），得对应于平面应力问题的应力矩阵（i,j, m轮换） (3-13) 对于平面应变问题，只要把平面应力问题的弹性矩阵中的E换成，换成，即得其弹性矩阵为 则对应于平面应变问题的应力矩阵为 （i,j, m轮换） (3-14)注：1. 由(3-13) 和(3-14)式知，中的元素都是常数，所以每个单元中的应力分量也是常数。故这种单元也称为常应力单元。2. 由于相邻单元将具有不同的应力和应变。这样越过公共边界，即从一个单元过渡到另