第3章 信号与系统的频域分析

1、 ) 2 ( T 1 1n1n0 )sincos()( n tnbtnaatf 1 n1n0 )cos( n tnAa T ttf T a 0 0 1 d)( T n ttntf T a 0 1 2 dcos)( T n ttntf T b 0 1 2 dsin)( )arctan(, 2 n 2 n n n nn a b baA 0 1 0 0 T ttf T ad)( 0 2 2 2 1 T Tn ttntf T adcos)( 2 0 1 1 2 0 1 2 2 1 4 42 T TT Tn n tn T A ttnA T ttntf T b cos dsindsin)( ),(531

2、4 n n A ),(6420 n )sinsin(sin)( ttt A tf 111 5 5 1 3 3 14 （1） f(t)为奇函数为奇函数 tftf对称于坐标原点对称于坐标原点 0= )( 1 2 2 0 T T dttf T a 0 n a 2/ 2/ 1 sin)( 2 T T n tdtntf T b 2 0 1 0sin)( 4 T tdtntf T （2） f(t)为偶函数为偶函数 对称于坐标纵轴对称于坐标纵轴 tftf 2 0 1 0cos)( 4 T n tdtntf T a 0 n b )( 2 2 0 0 T dttf T a 7 , 5 , 3 , 1 0sin)

3、( 4 0cos)( 4 2 0 1 2 0 1 n tdtntf T b tdtntf T a T n T n 2 T tftf 波形移动波形移动 T/2后后， 与原波形与原波形横轴对称横轴对称。 f(t)的傅氏级数的傅氏级数偶次偶次谐波为零谐波为零 奇次奇次谐波：谐波： 0 42420 bbaaa即 2 T tftf f(t)的傅氏级数的傅氏级数奇次奇次谐波为零谐波为零 （4）f(t)为偶谐函数为偶谐函数 波形移动波形移动 T/2后后， 与原波形与原波形重合重合。 0cos)( 4 2 0 1 T n tdtntf T a 0sin)( 4 2 0 1 T n tdtntf T b 偶次偶

4、次谐波：谐波： 0 531531 bbbaaa即 8 , 6 , 4 , 2n T tjntjn T tjn n dtee dtetf F 0 0 )( 周期信号周期信号f(t)=f(t+nT) ，满足狄氏条件时，可展成：，满足狄氏条件时，可展成： tjn n n eFtf )( T tjn dtetf T 0 )( 1 其中：其中： 00 AF n j nnn n e Ajba F 22 n j nnn n e Ajba F 22 (n0)(n0) 其中：=1 = T 2 1 0 )cos()( n nn tnAAtf )0(n tjn n ne Ftf )( )(n 1 1） 2 2） 本

5、节以周期矩形脉冲信号为例，讨论频谱的特点。本节以周期矩形脉冲信号为例，讨论频谱的特点。 2/ 2/ )( 1 T T tjn n dtetf T F 2 2 sin n n T 44 1n SF an 4T1E x x xSa def sin )( 取样函数取样函数 2 2 包络线 4 1 x x xS a sin )()1 (频频谱谱包包络络服服从从抽抽样样函函数数 (3)(3) n=0n=0 mnm n 2 2 (5)(5)( (F=1/)F=1/)： (4)(4)F Fn n=0=0 频带宽度：频带宽度： 2 2 4 1 )( 21 00 f 对于一般信号，对于一般信号，频带宽度频带宽度

6、定义为幅值下降为定义为幅值下降为 max 10 1 n F 例：语音信号频率约为例：语音信号频率约为 300 3400Hz300 3400Hz 音乐信号频率约为音乐信号频率约为 50 15,000Hz50 15,000Hz 扩大器与扬声器有效带宽约为扩大器与扬声器有效带宽约为 1520,000Hz1520,000Hz sTs 4 1 20 1 ) 1 ( 1 55 n S E F an sTs 4 1 8 1 )2( 1 22 n S E F an 结论：结论： 增大时：增大时： 不变，谱线间距相等；不变，谱线间距相等； 零分量频率减小：零分量频率减小：B 或或F变小；变小； 有效谱带内谐波分

7、量减少；有效谱带内谐波分量减少； 谱线振幅较大，减小变化急速。谱线振幅较大，减小变化急速。 2 n Sa T Fn s T 20 1 5 ) 1 ( 55 n S E F an 1010 n S E F an 2020 n S E F an 结论：结论：当周期当周期 变大时变大时 零分量频率不变：零分量频率不变：B 或或F不变；不变； 减小，谱线间距减小，谱线变密；减小，谱线间距减小，谱线变密； 有效谱带内谐波分量增多；有效谱带内谐波分量增多； 谱线振幅减小，变化缓慢。谱线振幅减小，变化缓慢。 （2）设）设 f(t) 中的中的 E不变，不变， 不变，当周期不变，当周期 变化时，变化时， 频谱如

8、何变化？频谱如何变化？ s T 20 1 10 )2( s T 20 1 20 ) 3( 0, 0 2 )4( T E T T ，当 周期函数周期函数 非周期函数非周期函数 （2）矩形脉冲信号的频带宽度：）矩形脉冲信号的频带宽度： 离散频谱离散频谱 连续频谱连续频谱 T T 2 ) 1 ( 谱线间隔 幅度 （3 3）矩形脉冲频谱特点：离散性，谐波性，收敛性）矩形脉冲频谱特点：离散性，谐波性，收敛性 1 F 占有带宽与脉宽成反比占有带宽与脉宽成反比 )1()( n tjn n eFtf )2()( 1 2 2 T T tjn n dtetf T F 周期信号周期信号 非周期信号非周期信号 离散谱

9、离散谱 连续谱，幅度无限小连续谱，幅度无限小 T T 2 2 1 T T tjn n dtetf T F )( f nF T nF 1 dtetfTF tj Tn )( 2 2 )( T T tjn n dtetfTF )(F n deF tj )( 2 1 d n T tjn n n e T TFtf 1 )( 2 tjn n n eTF T tjn n n eTFtf 2 )( )(jFTF n n tjn ne Ftf )( )()()(tfdtetfF tj F F )()( 2 1 )( 1 tfdeFtf tj F F FtfF F 1、F(j )反映单位频率上幅值与相位分布情况，

10、反映单位频率上幅值与相位分布情况， 故称故称 频谱密度函数，是连续谱。频谱密度函数，是连续谱。 注意：注意： 3 3、傅立叶变换与反变换是一种线性积分变换、傅立叶变换与反变换是一种线性积分变换 2 2、付氏变换存在的、付氏变换存在的充分充分条件：条件： dttf 22112211 FaFatfatfa F F )( | )(|)( j eFF |)(|jF：幅幅度度频频谱谱 )(：相相位位频频谱谱 4 4、 dtetfF tj )()( jba dtttfjdtttf)sin()()cos()( a b )()()( 22 baF )( )( arctan)( a b 5*、f(t)的分解的分

11、解 dtFjdtF sin 2 1 cos 2 1 deeFtf tjj)( 2 1 tjxtr l 任意信号任意信号f(t)可分解为无穷多个幅度为无穷小的可分解为无穷多个幅度为无穷小的 连续指数信号之和。连续指数信号之和。 l 任意信号任意信号f(t)可分解为无穷多个幅度为无穷小的可分解为无穷多个幅度为无穷小的 连续余弦信号之和。连续余弦信号之和。 l 任意信号任意信号f(t)可分解为实函数和虚函数之和。可分解为实函数和虚函数之和。 ) 2 (Sa ) 2 ( ) 2 sin( de)( 2 2 - j tF t 2 1 t 2 0 t )(tg 2 1 f 1de )()( - j ttF

12、 t 1)(t )(21 j 1 de)( 0 )j( tF t j 1 e )(t t )()(ttf t e j 1 )()(F 2 1 2 1 )sgn(t )0(1 )0(1 t t )sgn(t j 2 )(F 2 Sa j 1 0, te t 1 2 * sgn t j 2 j 1 t t 1 )(tg d)( 2 1 d)( 2 2 FttfW 01 01 t t t)sgn( )()(),()( 2211 FtfFtf若 )()()()( 22112211 FaFatfatfa则 j 2 12 )()sgn(tt )()( 2 j 1 2 F F )()(FtfF F若 )(

13、1 )( a F a atf F F则 )()(Ftf若 0 j 0 )()( t eFttf 则 )(j e)()( FF )(jj 00 e)(e)( tt FF )()()()( TtgTtgtgtf )()()()( TtgTtgtgtf )ee1)( 2 Sa()( jjT-T F )cos)(T 21 2 Sa( ) 2 sin( ) 2 3 sin( ) 2 Sa( T T 。的的频频谱谱求求图图示示信信号号)()(jFtf )1()1()( 22 tgtgtf解：解： )(2)( 2 Satg jj eSaeSaF )(2)(2)(sin)(4Saj )()(Ftf若 )()(

14、 0 j 0 Fetf t 则 )( 2 1 )( 2 1 cos)( 000 FFttf ttgtf 0a cos)()( 2 Sa 2 Sa 2 00 a )()( )( jF 课堂练习：课堂练习： 解：解： )4( 2 3 2 )4( 2 1 )( j ejFjY ).()23()()()( 4 jYetftyjFtf tj 的的频频谱谱，求求已已知知 例：例： )(2)(:ftF则有 ，若)()(Ftf 。和求)()(, 2sin )(, 1)( 2121 jFjF t t tftf )()()(2)( 421 gjFjF 例：例： )(Sgnj 的频谱函数。求函数 t 1 解：解：

15、j tSgn 2 )( )(2 2 Sgn jt )()( 3 SgnjjF )()(),()( 2211 FtfFtf设 )()()(*)( 2121 FFtftf则 dtedtfftftfF tj 2121 * ddtetff tj )( 21 deFf j )( 21 defF j )( 12 )()( 21 FF 证明： 其其他他0 )( tt tf ) 2 (Sa) 2 Sa() 2 Sa()( 22 F )(*)()( tgtgtf )()()( )(*)()( HFY thtfty - j de )()(tthH t 卷积定理揭示了信号时域与频域的运算关系，卷积定理揭示了信号时域

16、与频域的运算关系， 在通讯、信息传输等工程领域中具有重要理论意义在通讯、信息传输等工程领域中具有重要理论意义 和应用价值和应用价值。 )(*)( 2 1 )()( 2121 FFtftf tj ejFtttfttf 0 )()(*)()( 00 )()(2*)( 2 1 )( 00 0 jFjFetf tj )()(Ftf若 )(j)(Ftf则 j)( t 1 j 1 )(j)()( tt )(j)( F d d ttf Eg. 如图所示梯形脉冲信号，试求其频谱函数F(j)。 b b -aa f(t) t A ab A k 设设 bbaa t )(t f k -bb-a a t )(t f )

17、(btk )(atk)(atk )(btk )()()()()( jFjtfFjtfF 22 )()( jbjajajb eeeektfF )cos(cos abk 2 )()( jFj 2 )cos(cos abk 2 )cos(cos)( ba k jF 2 2 由傅立叶变换的微分性质： 由图 所以 ， )()(Ftf若 d )( t f则 0)(, j )( 0 F F 0)(, j )( )()0( 0 F F F ttfFFd)()0()( 0 tj e 0 1 )( 0 2 )(cos tjtj eet 00 2 1 0 )()( oo )()( oo j)(sin tjtj ee

18、 j t 00 2 1 0 n tn Ftf 1 j n e)( e )( 1 j n n tn FF F F)(2 1n nF n 。求求图图示示信信号号)(),(jFtf n tjn ne Ftf )( )( 2 n Sa T Fn )(nF n n 2 F F n tjn ne Ftf )( )()()( n n Sa T jF n 2 2 1 )( )()( n n Sa n 2 )()()(FHY )( )( )( F Y H d)e( 2 1 )( j t Hth tthH t de )()( j - 相频特性幅频特性频率特性)()()(HH )(j e)()( HH 0 )( )( t KH )()( 0 ttKfty 0 j e )()( t KFY 0 j e )( )( )( t K F Y H )(H c j 0 e t c 0 )(Sa de 2 1 )( 0c c )(j c c 0 tt th tt x x x ts tt d sin1 2 1 )( )( 0 0c )(*)()(ttGtp T )