第12章组合变形

1、 构件在构件在拉拉伸伸( (压压缩缩) )、剪剪切、切、扭扭转及转及弯弯曲等曲等基本基本 变形变形形式下的应力和位移形式下的应力和位移 构件往往同时发生构件往往同时发生两种或两种以上两种或两种以上的基本变形，的基本变形， 如几种变形所对应的应力（或变形）属同一量如几种变形所对应的应力（或变形）属同一量 级，称为级，称为组合变形组合变形 斜弯曲斜弯曲, , 拉弯组合拉弯组合, , 弯扭组合弯扭组合 12.l 组合变形概述 1 组合变形 工程实用工程实用:烟囱，传动轴，吊车梁的立柱烟囱，传动轴，吊车梁的立柱 烟囱：自重引起轴向烟囱：自重引起轴向压缩压缩 + + 水平方向的风力而水平方向的风力而 引

2、起引起弯曲弯曲， 传动轴：在齿轮啮合力的作用下，发生弯曲传动轴：在齿轮啮合力的作用下，发生弯曲 + + 扭转扭转 立柱：荷载不过轴线，为偏心压缩立柱：荷载不过轴线，为偏心压缩 = = 轴向压缩轴向压缩 + + 纯弯曲纯弯曲 P hg g 水坝水坝 q P hg g 烟囱烟囱(图图a)有侧向荷有侧向荷 载（风荷，地震力）时载（风荷，地震力）时 发生弯压组合变形。发生弯压组合变形。 齿轮传动轴（图齿轮传动轴（图b）发生弯）发生弯 曲与扭转组合变形（两个相互垂曲与扭转组合变形（两个相互垂 直平面内的弯曲加扭转）。直平面内的弯曲加扭转）。 吊车立柱（图吊车立柱（图c）受偏心压）受偏心压 缩，发生弯压组

3、合变形。缩，发生弯压组合变形。 两个平面内的弯曲两个平面内的弯曲(图图d)由于计算构件横截面上由于计算构件横截面上 应力及横截面位移时，需要把两个平面弯曲的效应应力及横截面位移时，需要把两个平面弯曲的效应 加以组合，故归于组合变形。加以组合，故归于组合变形。 对于组合变形下的构件，在线性弹性范围内且小对于组合变形下的构件，在线性弹性范围内且小 变形的条件下，可应用叠加原理将各基本形式变形变形的条件下，可应用叠加原理将各基本形式变形 下的内力、应力或位移进行叠加。下的内力、应力或位移进行叠加。 在具体计算中，究竟先按内力叠加（按矢量法则在具体计算中，究竟先按内力叠加（按矢量法则 叠加）再计算应力

4、和位移，还是先计算各基本形式叠加）再计算应力和位移，还是先计算各基本形式 变形下的应力或位移然后叠加，须视情况而定。变形下的应力或位移然后叠加，须视情况而定。 2、组合变形的研究方法、组合变形的研究方法 叠加原理叠加原理 外力分析：外力分析：外力向形心外力向形心( (后弯心后弯心) )简化并沿主惯性轴简化并沿主惯性轴 分解分解 内力分析：内力分析：求每个外力分量对应的内力方程和内力求每个外力分量对应的内力方程和内力 图，确定危险面。图，确定危险面。 画危险面应力分布图，叠加，建立危险画危险面应力分布图，叠加，建立危险 点的强度条件。点的强度条件。 平面弯曲：平面弯曲：对称截面；对称截面； F

5、O y z 非对称截面。非对称截面。 O y zA F 平面弯曲平面弯曲：在前面曾指出只要作用在杆件上的：在前面曾指出只要作用在杆件上的 横向力通过弯曲中心横向力通过弯曲中心，并，并与一个形心主惯性轴与一个形心主惯性轴 方向平行方向平行，杆件将只发生平面弯曲。，杆件将只发生平面弯曲。 对称弯曲：平面弯曲的一种。对称弯曲：平面弯曲的一种。 斜弯曲：挠曲线斜弯曲：挠曲线不位于不位于外力所在的纵向平面内外力所在的纵向平面内。 -横向力通过弯曲中心，但不与形心主惯横向力通过弯曲中心，但不与形心主惯 性轴平行性轴平行 斜弯曲：斜弯曲： z y F o 1.外力通过弯曲中心（或形心）；外力通过弯曲中心（或

6、形心）； 2.外力与杆件的形心主惯性平面不重合也不平行；外力与杆件的形心主惯性平面不重合也不平行； 3.梁变形后轴线不在形心主惯性平面内。梁变形后轴线不在形心主惯性平面内。 非对称弯曲非对称弯曲 A O y z F 一、内力一、内力 cos ,sin yz FFFF A(y，z) x e o y z f c F x M y z My Mz ()()sinsin yz MF lxF lxM ()()coscos zy MF lxF lxM Fz Fy z z M y I y z y y M z I y z 二、横截面上的正应力二、横截面上的正应力 A(y，z) x e o y z f c F x

7、 y y z z I zM I yM 横截面上任一点的应力计算公式。横截面上任一点的应力计算公式。 y z 中性轴 y z y z cossin () zy Myz II cossin () zy Myz II A(y，z) x e o y z f c F x 三、中性轴的位置三、中性轴的位置、最大正应力和强度条件最大正应力和强度条件 中性轴上任一点（中性轴上任一点（y0，z0）应满足：）应满足： 0 0 00 cossin ()0 y z zyzy M z M y Myz IIII 中性轴方程（过截面形心的直线）中性轴方程（过截面形心的直线） 00 cossin 0 zy yz II 设中性

8、轴与水平对称轴设中性轴与水平对称轴 z 的夹角为的夹角为，则：，则： sin cos z y I I = 00 cossin 0 zy yz II 0 0 tan y z = tan z y I I = 当当Iy = Iz 时，则时，则= 。只发生平面弯曲，而不发生斜。只发生平面弯曲，而不发生斜 弯曲。弯曲。 y z d b F 注：注： 当当 IyIz 时，则时，则 。斜弯曲时，中性轴与外力作用。斜弯曲时，中性轴与外力作用 线不垂直。线不垂直。 v 对无凸角截面（如椭圆对无凸角截面（如椭圆 形）形） ，可按作图法确定最，可按作图法确定最 大正应力的点。大正应力的点。 v 对有凸角的截面，最大

9、正应力必出现在角点处。对有凸角的截面，最大正应力必出现在角点处。 z y D1 D2 中性轴中性轴 圆截面如何处理？圆截面如何处理？ y z 中性轴 max y z t zy M M WW max () y z c zy M M WW 1 1 max y z t zy M z M y II 2 2 max y z c zy M z M y II maxcc maxtt 例例12-1 截面为截面为25a号工字钢的悬臂梁，受竖向均布荷号工字钢的悬臂梁，受竖向均布荷 载载q5kN/m,自由端受水平集中力自由端受水平集中力F2kN作用。已知作用。已知:E 206GPa。试求：。试求： （1）梁的最大拉

10、应力和最大压应力；）梁的最大拉应力和最大压应力； （2）固定端截面和）固定端截面和l/2截面上的中性轴位置；截面上的中性轴位置； y z 解：解： （1）固定端固定端A,B两点为危险点。两点为危险点。 A B max max () yt z czy M M WW 25a工字钢工字钢:Iz5023.54cm4， Wz=401.88cm3, Iy280.046cm4， Wy=48.283cm3。 =107.7MPa 2m x y z q F 2 / 2 () zy qlFl WW 323 6 5 102 /22102 () 401.91048.283 y z （2） 0由由 y z z y I I

11、 M M z y 0 0 tan 25a工字钢工字钢:Iz5023.54cm4， Wz=401.88cm3, Iy280.046cm4， Wy=48.283cm3。 固定端截面固定端截面: : 1 =82.1 l/2截面截面: 2=86.0 2m x y z q F 0 0 0 y z zy M z M y II 38 0 1 328 0 2 1025023.54 10 tan 5 102 /2280.046 10 y z zy M yI zMI 38 0 2 328 0 2 1015023.54 10 tan 5 101 /2280.046 10 y z zy M yI zMI 例例12-2

12、 12-2 图示悬臂梁，承受载荷图示悬臂梁，承受载荷F F1 1与与F F2 2作用，已知作用，已知 F F1 1=800N=800N，F F2 2=1.6kN=1.6kN，l l=1m=1m，许用应力，许用应力 =160MPa=160MPa。试。试 分别按下列要求确定截面尺寸：分别按下列要求确定截面尺寸：(1) (1) 截面为矩形，截面为矩形， h h=2=2b b；(2) (2) 截面为圆形。截面为圆形。 解：解：(1) 矩形截面：矩形截面： 2、圆截面、圆截面 例例12-3 12-3 图示简支梁。工字钢型号为图示简支梁。工字钢型号为No.32aNo.32a，F=60kN, F=60kN,

13、 =170MPa=170MPa，=5=5o o。试校核梁的强度。试校核梁的强度。 F 2m 2m 解：（1） kNFkNF zy 23. 5,77.59 （2） mkNMmkNM yz .23. 5,.77.59 maxmax （3） 33 758.70,2 .692cmWcmW yz （4） 3 .16091.7335.86 10758.70 1023. 5 102 .692 1077.59 3 6 3 6 max max max MPa W M W M y y z z 12-3 12-3 拉伸拉伸( (压缩压缩) )与弯曲组合变形与弯曲组合变形 包括：包括： 轴向拉伸轴向拉伸( (压缩压缩

14、) )和弯曲和弯曲 偏心拉（压）偏心拉（压）, ,截面核心截面核心 1. 横向力与轴向力共同作用 对于对于EI较大的杆，横向力引起的挠度与横截面的较大的杆，横向力引起的挠度与横截面的 尺寸相比很小，因此，尺寸相比很小，因此，由轴向力引起的弯矩可以略由轴向力引起的弯矩可以略 去不计去不计。 可可分别计算分别计算由横向力和轴向力引起的杆横截面上由横向力和轴向力引起的杆横截面上 的正应力，的正应力，按叠加原理按叠加原理求其代数和，即得在拉伸求其代数和，即得在拉伸 ( (压缩压缩) )和弯曲组合变形下，杆横截面上的正应力和弯曲组合变形下，杆横截面上的正应力。 上上图示由两根槽钢组成杆件的计算图，在其纵

15、图示由两根槽钢组成杆件的计算图，在其纵 对称面内有横向力对称面内有横向力F和轴向拉力和轴向拉力Ft共同作用，共同作用，以以 此说明杆在拉伸与弯曲组合变形时的强度计此说明杆在拉伸与弯曲组合变形时的强度计算算。 F t F t F 2 hh 2 x y z 在拉力在拉力Ft作用下，杆各个横截面上有作用下，杆各个横截面上有 相同的轴力相同的轴力FN= =Ft , , 拉伸正应力拉伸正应力 t在在 各横截面上的各点处均相等各横截面上的各点处均相等 A FF tN t A 在横向力在横向力F作用下，杆跨中截面上的作用下，杆跨中截面上的 弯矩为最大，弯矩为最大，Mmax=Fl/4。跨中截面。跨中截面 是杆

16、的危险截面。该截面上的最大是杆的危险截面。该截面上的最大 弯曲正应力弯曲正应力 W Fl W M 4 max b 按按叠加原理，杆件的最大正应力是危叠加原理，杆件的最大正应力是危 险截面下边缘各点处的拉应力险截面下边缘各点处的拉应力, ,值为值为 t= F A N =b Mmax W maxM 当bt W FlF 4A t max, t 正应力沿截面高度的变化情正应力沿截面高度的变化情 况还取决于况还取决于 b b、 t t值的相对大值的相对大 小。可能的分布还有小。可能的分布还有： Note:当材料的许用拉应力和许用压应力不相等时，当材料的许用拉应力和许用压应力不相等时， 杆内的最大拉应力和

17、最大压应力必须分别满足杆杆内的最大拉应力和最大压应力必须分别满足杆 件的拉、压强度条件。件的拉、压强度条件。 危险点处为单轴应力状态，故可将最大拉应力与危险点处为单轴应力状态，故可将最大拉应力与 材料的许用应材料的许用应力相比较，以进行强度计算。力相比较，以进行强度计算。 当t=bb当t 例例12-412-4 一折杆由两根无缝钢管焊接而成，已知两一折杆由两根无缝钢管焊接而成，已知两 钢管的外径均为钢管的外径均为140mm，壁厚均为，壁厚均为1010mm。试求折。试求折 杆危险截面上的最大拉应力和最大压应力。杆危险截面上的最大拉应力和最大压应力。 解解：求支反力求支反力, ,由平衡方程由平衡方程

18、 kN5, 0 BAA FFF 作折杆的受力图作折杆的受力图, ,折杆及折杆及 受力对称，只需分析一半受力对称，只需分析一半 即杆即杆AC 将将FA分解分解, , 得杆的得杆的轴力轴力 FN、 、弯矩 弯矩M M (x) xxFM(x) FF Ay Ax )kN4( kN3 N Ax F FAy A B C m m f g FB x 10kN B F A F FA A B C 1.6m1.6m 1.2m 10kN 最大弯矩在最大弯矩在 C 处的处的m-m横截面，横截面，m-m 截面为截面为 危险截面危险截面 mkN8m2 max Ay FM 按按叠加原理，最大拉应力叠加原理，最大拉应力 t和最

19、大压应力和最大压应力 c分分 别在杆下边缘的别在杆下边缘的 f 点和上边缘的点和上边缘的 g 点处，其值点处，其值 分别为分别为 W MF A N max, c max, t 根据已知的截面尺寸根据已知的截面尺寸 2422 m108 .40)( 4 dDA )( 64 44 dDI 36 m10124 2/ D I W 代入应力表达式得代入应力表达式得 MPa 2 .65 8 .63 max, c max, t 例例12-5 图示托架，图示托架，F=45kN， AC为为22a工字钢，工字钢， = 170 MPa，试校核其强度。，试校核其强度。 A D BC F 30 3m1m 解：解：1求求

20、AC 所受反力：所受反力：FBD = 120 kN， ， B C A F FBy FBx FAy FAx FAy = 15 kN， FBy = 60 kN， FAx = FBx =104 kN 2作作 AC 内力图内力图 104 FN (kN) M (kN.m) 45 FBD 104 FN (kN) M (kN.m) 45 170 4MPa Nmax tmax z FM . AW ：由由弯弯曲曲正正应应力力强强度度条条件件 32 309cm42 0cm z WA.， 22a工字钢工字钢: : 满足强度要求满足强度要求 上次课回顾上次课回顾 1 1、两相互垂直平面内的弯曲、两相互垂直平面内的弯曲

21、 有棱角的截面有棱角的截面 max y y z z W M W M 圆截面圆截面 22 max W MM yz 2 2、横向力与轴向力共同作用、横向力与轴向力共同作用 max W M A FN 12.4 12.4 偏心拉伸偏心拉伸( (压缩压缩) ) 当直杆受到与杆的轴线平行当直杆受到与杆的轴线平行但不重合但不重合的拉力或的拉力或 压力作用时，即为偏心拉伸或偏心压缩压力作用时，即为偏心拉伸或偏心压缩。 如钻床的立柱、厂房中支承吊车梁的柱子。如钻床的立柱、厂房中支承吊车梁的柱子。 F1 F2 以横截面具有两对称轴的等直杆承受距离截面形以横截面具有两对称轴的等直杆承受距离截面形 心为心为 e (

22、(称为偏心距称为偏心距) )的偏心拉力的偏心拉力F为例，来说明为例，来说明. . 将偏心拉力将偏心拉力 F 用用静力等静力等 效力系效力系来代替。把来代替。把A A点处点处 的拉力的拉力F向截面形心向截面形心O1 1点点 简化，得到轴向拉力简化，得到轴向拉力F和和 两个在纵对称面内的力两个在纵对称面内的力 偶偶Mey ey、 、Mez ez。 。 FezFey FyMFzM , 因此，杆将因此，杆将发生轴向拉伸和在两个纵对称面发生轴向拉伸和在两个纵对称面O1xy、 O1xz内的纯弯曲。内的纯弯曲。 在任一横截面在任一横截面n-n上任一点上任一点 C(y,z) 处的正应力分别为处的正应力分别为

23、z 1 y O e F A (y ,z ) FF O1 y z F F MeyzF = eMz= F yF O nn z y , yC( z) 轴力轴力FN=F 引起的正应力引起的正应力 A FF A N 弯矩弯矩My=Mey 引起的正应力引起的正应力 y F y y I zFz I zM 弯矩弯矩Mz=Mez 引起的正应力引起的正应力 z F z z I yFy I yM 按叠加法，得按叠加法，得C点的点的正应力正应力 z F y F I yFy I zFz A F A为横截面面积；为横截面面积；Iy、Iz分别为横截面对分别为横截面对y轴、轴、z轴的轴的 惯性矩。惯性矩。 利用惯性矩与惯性半

24、径间的关系利用惯性矩与惯性半径间的关系 22 , zzyy iAIiAI C点的点的正应力表达式变为正应力表达式变为 22 1 z F y F i yy i zz A F 取取 =0 ，以，以y0、z0代代 表中性表中性轴上任一点的坐轴上任一点的坐 标，标，则可得则可得中性轴方程中性轴方程 01 0 2 0 2 y i y z i z z F y F y O z 中性轴 可见，在偏心拉伸可见，在偏心拉伸( (压缩压缩) )情况下，中性轴是一条情况下，中性轴是一条 不通过截面形心的直线。不通过截面形心的直线。 求出中性轴在求出中性轴在y、z两轴上的截距两轴上的截距 F y z F z y z i

25、 a y i a 2 2 , 对于周边无棱角的截面，可作两对于周边无棱角的截面，可作两 条与条与中性轴平行的直线中性轴平行的直线与横截面的与横截面的 周边相切，两切点周边相切，两切点D1、D2， ，即为横 即为横 截面上最大拉应力和最大压应力所截面上最大拉应力和最大压应力所 在的在的危险点危险点。相应的应力即为最大。相应的应力即为最大 拉应力和最大压应力的值。拉应力和最大压应力的值。 中性轴 D (y ,z 2 2 2 ) 2 az ay O z y D (y ,z ) 111 对于周边具有棱角的截面，其危险点必定在截面对于周边具有棱角的截面，其危险点必定在截面 的棱角处。如，矩形截面杆受偏心

26、拉力的棱角处。如，矩形截面杆受偏心拉力F作用时，作用时， 若杆任一横截面上的内力分量为若杆任一横截面上的内力分量为FN=F、 My=FzF， Mz=FzF，则与各内力分量相对应的正应力为：，则与各内力分量相对应的正应力为： 按叠加法叠加得按叠加法叠加得 O D2 D1 A F y z y O z h b D1 D2 F W zF y z y O D2 D1 F yF Wz 中性轴 y z O D1 t,max D2 c,max 可见，最大拉应力和最大压应力分别在截面的可见，最大拉应力和最大压应力分别在截面的 棱角棱角D1、D2处，其值为处，其值为 z F y F W Fy W Fz A F m

27、ax, c max, t 危险点处仍为单轴应力状态，其强度条件为危险点处仍为单轴应力状态，其强度条件为 cmaxc, tmaxt, MPa75. 8 200200 10350 3 max2 A F 11 max1 z W M A F MPa7 .11 3 .02 .0 650350 3 .02 .0 350000 2 解：解：两柱均为两柱均为压应力压应力 例例12-6 图示不等截面与等截面杆，受力图示不等截面与等截面杆，受力F=350kN， 试分别求出两柱内的绝对值最大正应力。试分别求出两柱内的绝对值最大正应力。 图（1）图（2） F 300 200 200 F 200 200 M F F d

28、 例例12-7 图示立柱，欲使截面上的最大拉应力为图示立柱，欲使截面上的最大拉应力为 零，求截面尺寸零，求截面尺寸h及此时的最大压应力。及此时的最大压应力。 120kN 30kN 200 150 h 解：（解：（1）内力分析）内力分析 mNM kNFN .600020030 15030120 （2）最大拉应力为零的条件）最大拉应力为零的条件 0 150 1060006 150 10150 2 33 max hh W M A FN t 解得解得 h=240mm （3）求最大压应力）求最大压应力 MPa W M A FN c 33. 8 240150 1060006 240150 10150 2

29、33 max 12.5 12.5 截面核心截面核心 当偏心拉（压）作用点位于当偏心拉（压）作用点位于某一个区域某一个区域时，横时，横 截面上只出现截面上只出现一种性质的应力一种性质的应力( (偏心拉伸时为拉应偏心拉伸时为拉应 力，偏心压缩时为压应力力，偏心压缩时为压应力) )，这样一个，这样一个截面形心附截面形心附 近的区域近的区域就称为截面核心。就称为截面核心。 对于砖、石或混凝土等材料（如对于砖、石或混凝土等材料（如桥墩桥墩），由于），由于 它们的它们的抗拉强度较低抗拉强度较低，在设计这类材料的偏心受压，在设计这类材料的偏心受压 杆时，最好使横截面上不出现拉应力。因此，确定杆时，最好使横截

30、面上不出现拉应力。因此，确定 截面核心是很有实际意义的。截面核心是很有实际意义的。 为此，应使中性轴不与横截面相交。为此，应使中性轴不与横截面相交。 0 2 0 0 z y z F i ay y F y y z z i za 2 0 0 0 y z ay az 截距截距ay， ，az，随压力作用点 随压力作用点yF， ，zF变化 变化。 当压力作用点离截面形心越远，则中性轴离截当压力作用点离截面形心越远，则中性轴离截 面形心越近。面形心越近。 当压力作用点离截面形心越近，则中性轴离截当压力作用点离截面形心越近，则中性轴离截 面形心越远。面形心越远。 (yF,zF) 中性轴截距中性轴截距: :

31、随着压力作用点位置的变化，中性轴可能在截随着压力作用点位置的变化，中性轴可能在截 面以内（穿过截面）、或与截面周边相切、或在截面以内（穿过截面）、或与截面周边相切、或在截 面以外。后两种情况下，横截面上就只产生压应力。面以外。后两种情况下，横截面上就只产生压应力。 在截面形心附近可以找到一个区域，当偏心压在截面形心附近可以找到一个区域，当偏心压 力作用在该区域内时，杆横截面上只产生一种性质力作用在该区域内时，杆横截面上只产生一种性质 的应力（压应力），这个区域称为的应力（压应力），这个区域称为截面核心截面核心。 y z ay az 作作一系列与一系列与截面周边相切的直线截面周边相切的直线作为中

32、性轴，作为中性轴，由由每每 一条中性轴在一条中性轴在 y、z 轴上的轴上的截距截距ay1、az1，即可求得，即可求得 与其与其对应的偏心力作用点的坐标对应的偏心力作用点的坐标( ( y1, z1)。有了一系。有了一系 列点，描出截面核心边界。（一个反算过程）列点，描出截面核心边界。（一个反算过程） 前面前面偏心拉（压）偏心拉（压）计算的中性轴计算的中性轴截距表达式截距表达式 F y z F z y z i a y i a 2 1 2 1 , 1 2 1 1 2 1 z y z y z y a i a i O z y a a y1 z1 2 2 1 1 4 4 3 3 5 5 圆截面圆截面: :

33、 对于圆心对于圆心 O 是极对称的，截是极对称的，截 面核心的边界对于圆心也应是极面核心的边界对于圆心也应是极 对称的，即为一圆心为对称的，即为一圆心为 O 的圆。的圆。 11 , 2/ zy ada 得得 0, 82/ 16/ 1 2 1 2 1 z y z y d d d a i 作一条与圆截面周边相切于作一条与圆截面周边相切于A 点的直线点的直线，将其看作为中性轴，将其看作为中性轴， 并取并取OA为为y轴，于是，该中性轴轴，于是，该中性轴 在在y、z两个形心主惯性轴上的截两个形心主惯性轴上的截 距分别为距分别为 d z y O 8 d 8 d 1 A 1 矩形截面矩形截面: : 边边长为长为a和和b的矩形截面，的矩形截面， y、z两对称轴为截面的形心两对称轴为截面的形心 主惯性轴。主惯性轴。 11 , 2/ zy aha 得得 62/ 12/ 2 1 2 1 h h h a i y z y 将与将与 AB 边相切的直线边相切的直线 看作是中性轴，其在看作是中性轴，其在y、z 两两