43公式法提取公因式

1、同学们，让我们一起乘坐幸福同学们，让我们一起乘坐幸福 快车，领略一路的数学美景！快车，领略一路的数学美景！ 下列等式中，哪些是因式分解？哪些不是？为什么？下列等式中，哪些是因式分解？哪些不是？为什么？ 12)1)(1( 22 xxx )3()2(6)2( 2232 yyxyx )1)(1(1)3( xxx xxxxx4)2)(2(44)4( 2 一个多项式一个多项式几个几个整式整式的的积积 u有一个必定是多项式有一个必定是多项式 u最后一步运算是乘法最后一步运算是乘法 练一练：练一练：分解因式分解因式 2 (1) 39 xxy 2 (2) 36 mxnx 2 (3)210 2 ab4a bab

2、 公因式：公因式： 各项系数的各项系数的最大公因式最大公因式 各项都含有的各项都含有的相同字母相同字母的的最低次幂最低次幂 提取公因式法的一般步骤：提取公因式法的一般步骤： （1 1）确定应提取的）确定应提取的公因式公因式 （2 2）多项式除以公因式多项式除以公因式，所得的商作为另一个因式，所得的商作为另一个因式 （3 3）把多项式写成这两个因式的）把多项式写成这两个因式的积积的形式的形式 把如图卡纸剪开，拼成一张长方形卡把如图卡纸剪开，拼成一张长方形卡 纸，作为一幅精美剪纸衬底，怎么剪？纸，作为一幅精美剪纸衬底，怎么剪？ 你能给出数学解释吗？你能给出数学解释吗？ a-b a-b b a-b

3、a2-b2(a+b)(a-b)= 两数的平方两数的平方 差等于两数的差等于两数的 和与两数差的和与两数差的 积。积。 请用文字叙述一下这个请用文字叙述一下这个 公式？公式？ 观察多项式 2 16m 22 49xy (1)这两个多项式中有公因式吗? (2) 能用提取公因式分解因式吗? (3) 这两个多项式各有什么特点?你联想到什么? a2-b2=(a + b)(a - b) (4) 你会对这两个多项式分解因式吗? 4.3用乘法公式分解因式用乘法公式分解因式（1 1） 运用平方差公式因式分解运用平方差公式因式分解 （）公式左边：（）公式左边：（是一个将要 （是一个将要被分解因式被分解因式的多项式）

4、的多项式） 被分解的多项式含有被分解的多项式含有两项两项，且这两项，且这两项异号异号， 并且能写成并且能写成（）（） （） （） 的形式。 的形式。 (2) 公式右边公式右边:（是（是分解因式的结果分解因式的结果） 分解的结果是两个分解的结果是两个底数底数的的和和乘以乘以两个两个底数底数 的的差差的形式。的形式。 )( 22 bababa a2-b2=(a + b)(a - b) 例例： 16a2-1=(4a)2-12=(4a+1)(4a-1) 下列多项式能否用下列多项式能否用平方差公式平方差公式分解因式分解因式？说说你的理由。说说你的理由。 （1）4x2+y2 (2) 4x2-(-y)2 (

5、3) -4x2-y2 (4) -4x2+y2 (5) a2-4 (6) a2+3 能用平方差公式分解因式的能用平方差公式分解因式的多项式的特征多项式的特征： 1 1、由由两部分两部分组成；组成； 2 2、两部分两部分符号相反符号相反； 3 3、每部分都能写成某个式子的每部分都能写成某个式子的平方平方。 能能 能能 能能 不能不能 不能不能 不能不能 运用运用a2-b2=(a+ b)(a- b) 例例1:把下列各式分解因式把下列各式分解因式： 解解:（1）原式）原式=（2p)2-(mn)2= (2p+mn)(2p-mn) （3）原式原式 =(x+z)+(y+z)(x+z)- (y+z) =(x+

6、y+2z)(x-y) =(x+z+y+z)(x+z- y-z) (1)-m2n2+4p2 (2) x2 - y2 (3)(x+z)2-(y+z)2 25 9 16 1 （2）原式）原式 =( x)2 ( y)2 5 3 4 1 5 3 5 3 4 1 4 1 =( x+ y)( x- y) 1. 1.判断下列利用平方差公式分解因式是否正确判断下列利用平方差公式分解因式是否正确, ,不不 对对, ,请改正请改正 (3) -9+4x2=(2x-3)(2x+3) (2) -a4+b2=(a2+b)(a2-b) (5) a2-(b+c)2=(a+b+c)(a-b+c) (6) s2-t2=(-s+t)

7、(-s-t) (b+a2)(b-a2) (a+b+c)(a-b-c) (s-t)(s+t) a2-b2=(a+b)(a-b) = =-(s-t)-(s+t) (4) -1-x2=(1-x)(1+x) (1) x2-4y2=(x+4y)(x-4y) (x+2y)(x-2y) 不能分解因式不能分解因式 判断判断 =(4x+y) (4x y) =(2x + y) (2x y) 3 1 3 1 =(2k+5mn) (2k 5mn) 2.把下列各式分解因式：把下列各式分解因式： a2 b2= (a b) (a b) 看 看谁快又对谁快又对 = (a+8) (a 8) （1）a2641 （2）16x2 y

8、2 2 (3) y2 + 4x2 9 1 3 (4) 4k2 25m2n24 ma+mb=m(a+bma+mb=m(a+b) ) m m是各项的公因式是各项的公因式 a a2 2-b-b2 2=(a+b)(a-b=(a+b)(a-b) ) 例例2. 分解因式分解因式4x3y-9xy3 (2)提取公因式后提取公因式后,多项式还能继续分解因式吗多项式还能继续分解因式吗? 4x3y-9xy3=xy(4x2-9y2) 4x3y-9xy3=xy (4x2-9y2)=xy(2x+3y)(2x-3y) (1)能分解因式吗能分解因式吗?用什么方法用什么方法? 注意注意: 1.一般地一般地,因式分解时有公因式先

9、提公因式因式分解时有公因式先提公因式 2.因式分解时要分解彻底。因式分解时要分解彻底。 参照对象参照对象： )( 22 bababa 2006220052 （2mn）2 ( 3( 3xy)xy)2 2 (x+z)2 ( (y+z)y+z)2 2 结论：结论： 公式中的公式中的a、b无论表示无论表示数数、单项式单项式、还是、还是多多 项式项式，只要被分解的多项式能，只要被分解的多项式能转化转化成成平方差平方差 的形式，就能用平方差公式因式分解。的形式，就能用平方差公式因式分解。 正确率正确率+速度速度=效率效率 ( cba 222 4 1 3 (2) 0.01s2-t2(1) 16-a2 (4)

10、 -1+9x2 (5) (a-b)2-(c-b)2(6) -(x+y)2+(x-2y)2 解解: :原式原式=(4+a)(4-a)=(4+a)(4-a)解解: :原式原式=(0.1s+t)(0.1s-t)=(0.1s+t)(0.1s-t) 解解: :原式原式=(3x-1)(3x+1)=(3x-1)(3x+1) 解解: :原式原式=(a-c)(a+c+2b)=(a-c)(a+c+2b)解解: :原式原式=-3y(2x-y)=-3y(2x-y) abab 2 2 1 1 c cabab 2 2 1 1 c c原式原式: :解解 a2-b2=(a+b)(a-b) 平方差公式平方差公式:a:a2 2-

11、b-b2 2 =(a+b)(a-b) =(a+b)(a-b) 把下列各式分解因式把下列各式分解因式 x x4 4 - 81y - 81y4 4 2a - 8a 2a - 8a 1.解解:原式原式= (x+ 9y) (x- 9y) = (x+ 9y) (x+ 3y) (x- 3y) 2.解解:原式原式=2a(a2- 4) =2a(a+2)(a-2) 1、分解因式、分解因式 4x2y2=(4x+y)(4x-y ) 诊断分析：诊断分析： 公式理解不准确，不能很好的把握公式中的项，公式理解不准确，不能很好的把握公式中的项， 4x2y2中中4x2 相当于相当于a2 ,则则2x相当于相当于“a”. 2、分解因式、分解因式 x4y4=(x2+y2)(x2y2) (4a+5b)2(2a-b)2=(6a+4b)(2a+6b) 诊断分析：诊断分析： 综合运用提取公因式，公式法公解因式时，提公因式后，综合运用提取公因式，公式法公解因式时，提公因式后， 另一个因式还可以继续分解，同学们千万要注意分解完另一个因式还可以继续分解，同学们千万要注意分解完 毕后对结果进行检查，看是否分解彻底了。毕后对结果进行检查，看是否分解彻底了。 正确分解