巧解双曲线的离心率

1、巧解双曲线的离心率离心率是双曲线的重要性质，也是高考的热点。经常考查：求离心率的值，求离心率的取值范围，或由离心率求参数的值等。 下面就介绍一下常见题型和巧解方法。1、求离心率的值1）利用离心率公式e c ，先求出 a,c ， a再求出 e 值。2）利用双曲线离心率公式的变形：ac1 (ba)2aa，先整体求出 b ，再求a出 e 值。2例 1 已知双曲线 x2a22by2 1(a 0,b0） 的一条渐近线方程为4x ，则双曲线的离心3率为2 分析：双曲线 x2 a2 y b21（a 0,b 0） 的渐近线方程为 y，由已知可得 ab 43解答：由已知可得 ba34，再由 e ca1 (b)2

2、 ，可得 a3）构造关于 a,c 的齐次式，再转化成关于 e的一元二次方程，最后求出 e值，即“齐次化 e ”。例如： c2 ac a2 0 e2 e 1 0例 2 设双曲线的一个焦点为 F ，虚轴的一个端点为 B, 如果直线 FB 与该双曲线 的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为 .分析：利用两条直线垂直建立等式，然后求解。解答：因为两条直线垂直， b （ b） 1 b2 a c c2 a2 e2 e 1 0ac51所以 e 5 1（负舍）22、求离心率的取值范围求离心率的取值范围关键是建立不等关系。（1）直接根据题意建立 a,b, c的不等关系求解 e的取值范围。例 3 若双曲线 x2

3、 y2 1（ a b 0 ），则双曲线离心率的取值范围是 ab分析：注意到 a b 0 的条件解答：a b 0 1 b 0 e 1 (b)2 (1，2) aa（2）利用平面几何性质建立 a,c 不等关系求解 e的取值范围。22例 4 双曲线 x2 y2 1（a 0,b 0）的两个焦点为 F1,F2，若 P 为其上非顶点的一 a2 b2点，且 PF1 2PF2 ，则双曲线离心率的取值范围为 .分析：由双曲线上非顶点的点和两个焦点构成三角形， 利用三角形性质构建不等 式。PF1 2PF2解答：因为 1 2PF1 4a, PF2 2a，而 F1F2 2c ，又因为三角PF1 PF2 2a形两边之和大

4、于第三边，两边之差小于第三边， 2a 2c 6a，所以 1 e 3。22 例 5 已知双曲线 ax2 by2（3）利用圆锥曲线相关性质建立 a,c 不等关系求解 e的取值范围。1,（a 0,b 0）的左，右焦点分别为 F1, F2 ，点 P在双曲线的右支上，且 |PF1| 4|PF2 | ，则此双曲线离心率 e的取值范围是分析：此题和上题类似，但也可以换一种办法找不等关系。解答：PF14PF2可得PF1PF22a23a ，又因为点 P 在双曲线的右支上，PF2a，2a4）运用数形结合思想建立caa, c不等关系求解53 ，所以1e 5.3e的取值范围。22F ，若过点 F 且倾斜角为 60 的

5、直例 6 双曲线 x2 y2 1(a 0,b 0) 的右焦点为ab线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是分析：由直线和双曲线的位置关系得到不等关系解答：由图象可知渐近线斜率 b tan60 3，再由 e c 1 (b)2 2 。a a a(5)运用函数思想求解 e 的取值范围。22例 7 设 a 1，则双曲线 x2y 2 1的离心率 e 的取值范围是 .a2 (a 1)2分析：把离心率 e表示成关于 a 的函数，然后求函数的值域2a2 2a 1 11解答：把 e或e2表示成关于 a的函数， e2 2a 22a 1 (1)2 21 2，然后用 aaa求函数值域的方法求解，

6、 e ( 2, 5) 。 小结：通过以上例题，同学们应该体会到求离心率 e 的值或取值范围有很多种办 法，求值不一定非要先求出 a, c的值，能够得到 a,b,c 中某两者的关系即可；求 取值范围关键就是找到不等关系建立不等式， 不等关系可以来自已知条件、 可以 来自图形特点、也可以来自双曲线本身的性质。总之，要认真审题、分析条件， 巧解离心率。练习：(1)设直线 l过双曲线 C的一个焦点，且与 C的一条对称轴垂直， l与C交于 A， B两点， | AB|为C的实轴长的 2倍，则 C的离心率为()C2D3x2 y2x2 y2解：设双曲线 C的方程为ax2yb21，焦点 F(c,0)，将 x c

7、代入ax2yb21 可得 y2 b2 ，所以 |AB| 2b 22a，b22a2，e c 1 (b)23a2a a a答案：B(2)已知双曲线 C：xa2yb21(a0， b0)的离心率为 25，则 C的渐近线方程为 () 111A y xByxC y xDyx1解：由题意，双曲线的焦点在答案：2（ 5）如图 2，中心均为原点O 的双曲线与椭圆有公共焦点， M， N 是双曲线的解：由题意可知， 双曲线的渐近线方程为 y abx，又离心率为 e ac 1 ab 2 25，所以 ba 21，所以双曲线的渐近线方程为 y21x.答案：Cx2 y2（ 3）双曲线 a2b21（a0， b0）的左、右焦点

8、分别为 F1， F2，渐近线分别为 l1， l2，点 P在第一象限内且在 l1上，若 l2PF1，l2PF2，则双曲线的离心率是 （）B2解：如图 1，由 l2PF1，l2PF2，可得 PF1 PF2，则| OP|bbc设点 P 的坐标为 m，bam ，则m2 abm 2cmc，aaa解得 ma，即得点 P的坐标为 （a，b），则由 KPF2 b ab，可得 2ac，即 eac2.a ca a答案：Bx2y24）若双曲线 mm241的离心率为 5，则 m的值为两顶点若M，O，N将椭圆长轴四等分， 则双曲线与椭圆的离心率的比值是A 3B 2解 :设双曲线的方程为 ax21yb121，由于双曲线与

9、椭圆有公共焦点且所以 a2 2a1，又 e1ac1，e2ac2，所以ee12aa122.答案：2x2 y2（6）设点 P在双曲线 a2b21（a0，b0）的右支上，双曲线的左、右焦点分别 为 F1，F2，若| PF1| 4| PF2| ，则双曲线离心率的取值范围是 解：由双曲线的定义得 | PF1| | PF2| 2a，28所以83ac a，23ac a，又| PF1| 4| PF2| ，所以 4|PF2|PF2| 2a， | PF2| 3a，| PF1| 3a，5 c 5 5整理得 3ac，所以 a3，即 e3，5又 e 1，所以 1 0，b0）的左焦点， 点 E 是该双曲线的右顶点，过点

10、F且垂直于 x轴的直线与双曲线交于 A，B两点，若 ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率 e 的取值范围为 解：由题意知， ABE为等腰三角形若 ABE 是锐角三角形，则只需要 AEB为锐角根据对称性，只要 AEF4即可直线 AB 的方程为 x c，代入双曲b4b2b2线方程得 y2 2，取点 Ac，a ，则|AF| ， | EF| ac，只要| AF| EF|就 aaa b2能使 AEF4，即 a ac，即 b2a2 ac，即 c2ac 2a20，即 e2e20，即 1e1， 故 1e0，b0）的左，右焦点， B是虚轴的端点，直线 F1B与 C的两条渐近线分别交于 P，Q两点，线段 PQ的

11、垂直 平分线与 x轴交于点 M.若|MF2|F1F2|，求 C的离心率.b解：依题意，知直线 F1B 的方程为 y cxb，b ycxb， 联立方程得点 Qacbc联立方程0yxca c a图3bycxb，xyaxby0，得点 Paccabc c a ，a2c c2所以 PQ的中点坐标为 b2 ，b .c2ca2c所以 PQ的垂直平分线方程为 ycb bc x b2 .a2a2令 y0，得 xc 1 b2 ，所以 c 1 b2 3c.所以 a2 2b2 2c2 2a2，即 3a22c2. 所以 e6.2.答案：c 为半9）双曲线 ax2yb21（a0，b0）的右焦点为 F（c,0）以原点 O

12、为圆心，径作圆，该圆与双曲线在第一象限的交点为 A，过 A 作圆的切线，斜率为 3，求双曲线的离心率解：设点 A的坐标为（x0，y0），直线 AO的斜率满足 xy00（ 3） 1， 0 x0 3y0，依题意，圆的方程为 x2 y2c2，1将代入圆的方程，得 3y02 y02c2，即 y021c，3c2 1c2x0 23c，点 A的坐标为 23c，2c ，代入双曲线方程，得 4a24b21，31即43b2c214a2c2a2b2，3又 a2b2 c2，将 b2c2a2 代入式，整理得 34c42a2c2a40，cc3 48 240， （3e22）（e22）0， aae1， e 2. 双曲线的离心率为 2.答案： 2x2 y2（ 10）如图 4，双曲线 a2b21（a0，b0）的两顶点为 A1，A2，虚轴两端点为B1，B2，两焦点为 F1，F2.若以 A1A2 为直径的圆内切于菱形 F1B1F2B2，切点分别为A，B，C，D.求双曲线的离心率 e；菱形 F1B