2015年高考总复习（北师大版）数学（文）第四章　第四节数系的扩充与复数的引入

1、第四节数系的扩充与复数的引入1复数的有关概念(1)复数的概念：形如abi(a，bR)的数叫复数，其中a，b分别是它的实部和虚部若b0，则abi为实数；若b0，则abi为虚数；若a0且b0，则abi为纯虚数(2)复数相等：abicdiac且bd(a，b，c，dR)(3)共轭复数：abi与cdi共轭ac，bd(a，b，c，dR)(4)复数的模：向量的模r叫做复数zabi(a，bR)的模，记作|z|或|abi|，即|z|abi|.2复数的几何意义(1)复数zabi复平面内的点Z(a，b)(a，bR)(2)复数zabi(a，bR) 平面向量.3复数的运算(1)复数的加、减、乘、除运算法则设z1abi，

2、z2cdi(a，b，c，dR)，则加法：z1z2(abi)(cdi)(ac)(bd)i；减法：z1z2(abi)(cdi)(ac)(bd)i；乘法：z1z2(abi)(cdi)(acbd)(adbc)i；除法：i(cdi0)(2)复数加法的运算定律复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z1，z2，z3C，有z1z2z2z1，(z1z2)z3z1(z2z3)1判定复数是实数，仅注重虚部等于0是不够的，还需考虑它的实部是否有意义2利用复数相等abicdi列方程时，注意a，b，c，dR的前提条件3z20在复数范围内有可能成立，例如：当z3i时z290.试一试1(2014惠州调研)i是虚数单位，若z(

3、i1)i，则|z|等于()A1B.C. D.解析：选C由题意知z，|z|，故选C.2(2013天津高考)已知a，bR，i是虚数单位若(ai)(1i)bi，则abi_.解析：因为(ai)(1i)a1(a1)ibi，a，bR，所以解得所以abi12i.答案：12i1把握复数的运算技巧(1)设zabi(a，bR)，利用复数相等和相关性质将复数问题实数化是解决复数问题的常用方法(2)在复数代数形式的四则运算中，加、减、乘运算按多项式运算法则进行，除法则需分母实数化2掌握复数代数运算中常用的几个结论在进行复数的代数运算时，记住以下结论，可提高计算速度(1)(1i)22i；i；i；(2)baii(abi)

4、；(3)i4n1，i4n1i，i4n21，i4n3i，i4ni4n1i4n2i4n30，nN.练一练(2013安徽联考)已知i是虚数单位，则2 013在复平面内对应的点位于()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限解析：选C2i，2 0132 012i1 006i2i.其对应点位于第三象限，故选C.考点一复数的有关概念1.(2014湖北八校联考)设xR，则“x1”是“复数z(x21)(x1)i为纯虚数”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件解析：选C由纯虚数的定义知：x1，选C.2(2014安徽“江南十校”联考)若abi(i是虚数单位，a，bR)，则

5、ab()A2 B1C1 D2解析：选Aabi12i，所以a1，b2，ab2.3(2013安徽高考)设i是虚数单位，若复数a(aR)是纯虚数，则a的值为()A3B1C1 D3解析：选D复数aa(a3)i为纯虚数，则a30，即a3.4(2013洛阳统考)设复数z1i(i为虚数单位)，z的共轭复数为z，则|(1z)|()A. B2C. D1解析：选A依题意得(1z)(2i)(1i)3i，|(1z)|3i|.选A.类题通法解决复数概念问题的方法及注意事项(1)复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可(2

6、)解题时一定要先看复数是否为abi(a，bR)的形式，以确定实部和虚部考点二复数的几何意义典例(1)(2013四川高考)如图，在复平面内，点A表示复数z，则图中表示z的共轭复数的点是()AA BBCC DD(2)(2014郑州质量预测)复数z13i，z21i，则z的共轭复数在复平面内的对应点位于()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限解析(1)设zabi(a，bR)，且a0，则z的共轭复数为abi，其中a0，b0，故应为B点(2)依题意得，z12i，因此复数z的共轭复数12i在复平面内的对应点的坐标是(1，2)，该点位于第四象限，选D.答案(1)B(2)D类题通法对复数几何意义的理解及

7、应用(1)复数z、复平面上的点Z及向量相互联系，即zabi(a，bR)Z(a，b).(2)由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观针对训练1(2013湖北八校联考)已知i是虚数单位，z1i，为z的共轭复数，则复数在复平面上对应的点的坐标为_解析：z1i，则1i，则复数在复平面上对应的点的坐标为(1,1)答案：(1,1)2已知复数z112i，z21i，z334i，它们在复平面上对应的点分别为A，B，C，若，(，R)，则的值是_解析：由条件得(3，4)，(1,2)，(1，1)，根据得(3，4)(1,2)(1

8、，1)(，2)，解得1.答案：1考点三复数的代数运算典例(1)若复数z满足z(2i)117i(i为虚数单位)，则z为()A35iB35iC35i D35i(2)(2013长春调研)已知复数z1ai(aR，i是虚数单位)，i，则a()A2 B2C2 D解析(1)z35i.(2)由题意可知：ii，因此，化简得5a253a23，a24，则a2，由可知a0，仅有a2满足，故选B.答案(1)A(2)B在本例(1)中，试求(1z)的值.解：z35i，35i(1z)(45i)(35i)1220i15i25375i.类题通法复数四则运算的解答策略复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式的运算，除法的关键是分子

9、分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i的幂写成最简形式针对训练1(2013山东高考)复数z满足(z3)(2i)5(i为虚数单位)，则z的共轭复数为()A2iB2iC5i D5i解析：选D由(z3)(2i)5，得z3332i5i，所以5i.2设复数z的共轭复数为，若z1i(i为虚数单位)，则z2的值为()A3i B2iCi Di解析：选D依题意得z2(1i)22ii2ii.课堂练通考点1(2014石家庄模拟)复数z1i，则z对应的点所在的象限为()A第一象限B第二象限C第三象限 D第四象限解析：选Dz1i，z，z对应的点所在的象限是第四象限，故选D.2(2014浙江名校联考)已知i是虚数单位

10、，且复数z13bi，z212i，若是实数，则实数b的值为()A6 B6C0 D.解析：选A，当0时，是实数，b6.3(2013广东高考)若i(xyi)34i，x，yR，则复数xyi的模是()A2 B3C4 D5解析：选D依题意得yxi34i，即|xyi|43i|5.4(2013河北教学质量监测)已知mR，复数的实部和虚部相等，则m_.解析：，由已知得m1m，则m.答案：课下提升考能第组：全员必做题1已知a是实数，是纯虚数，则a等于()A1 B1C. D解析：选B，当为纯虚数时，0，即a1.2(2013郑州质量预测)若复数z2i，则()A2i B2iC42i D63i解析：选Dz2i，(2i)(

11、2i)63i.3(2014萍乡模拟)复数等于()A. BC.i Di解析：选B.4(2014长沙模拟)已知集合M，i是虚数单位，Z为整数集，则集合ZM中的元素个数是()A3个 B2个C1个 D0个解析：选B由已知得Mi，1，i,2，Z为整数集，ZM1,2，即集合ZM中有2个元素5(2013陕西高考)设z是复数， 则下列命题中的假命题是()A若z20，则z是实数 B若z20，则z是虚数C若z是虚数，则z20 D若z是纯虚数，则z20解析：选C实数可以比较大小，而虚数不能比较大小，设zabi(a，bR)，则z2a2b22abi，由z20，得则b0，或a，b都为0，即z为实数，故选项A为真，同理选项

12、B为真；而选项C为假，选项D为真6(2013重庆高考)已知复数z(i是虚数单位)，则|z|_.解析：2i，所以|z|.答案：7若abi(a，b为实数，i为虚数单位)，则ab_.解析：由abi，得a，b，解得b3，a0，所以ab3.答案：38已知复数z1i，则_.解析：z1(i)i2i.答案：2i9计算：(1)；(2)；(3)；(4).解：(1)13i.(2)i.(3)1.(4)i.10已知z是复数，z2i，均为实数(i为虚数单位)，且复数(zai)2在复平面上对应的点在第一象限，求实数a的取值范围解：设zxyi(x，yR)，则z2ix(y2)i，由题意得y2.(x2i)(2i)(2x2)(x4)i.由题意得x4，z42i.(zai)2(124aa2)8(a2)i.由于(zai)2在复平面上对应