中考数学动点问题题型方法归纳[共15页]

1、动点问题题型方法归纳动点问题题型方法归纳动态几何特点 -问题背景是特殊图形， 考查问题也是特殊图形， 所以要把握好一般与特殊的关系； 分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。 ）动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数、线段或面积的最值。下面就此问题的常见题型作简单介绍，解题方法、关键给以点拨。一、三角形边上动点1、（2009 年齐齐哈尔市）直线3y x 6 与坐标轴分别交于 A、B两点，动点 P、Q 同时从 O点出发，4A Q OA 1 运动，速度为每秒 个单P O B A

2、 By（1）直接写出 A、B两点的坐标；P（2）设点 Q的运动时间为 t 秒， OPQ 的面积为 S，求出 S与t 之间xO Q A 的函数关系式；（3）当坐标48S 时， 求出点 P的坐标， 并直接写出以点 O、P、Q 为顶点的平行四边形的第四个顶点 M 的5解：1、A（8，0） B（0，6）22、当 0t3 时，S=t当 3t8 时，S=38(8-t)t提示：第（ 2）问按点 P 到拐点 B 所有时间分段分类；第（3）问是分类讨论：已知三定点 O、P、Q ，探究第四点构成平行四边形时按已知线段身份不同分类-OP 为边、 OQ 为边， OP 为边、OQ 为对角线， OP 为对角线、 OQ 为

3、边。然后画出各类的图形，根据图形性质求顶点坐标。2、（2009 年衡阳市）如图， AB 是O 的直径，弦 BC=2cm ，ABC=60o（1）求 O 的直径；（2）若 D 是 AB 延长线上一点，连结 CD，当 BD 长为多少时， CD 与O 相切；（3）若动点 E 以 2cm/s 的速度从 A 点出发沿着 AB 方向运动，同时动点 F 以 1cm/s 的速度从 B 点出发沿BC 方向运动，设运动时间为 t (s)(0 t 2) ，连结 EF，当 t 为何值时， BEF 为直角三角形C C CAO B DFEA BOFA BO E注意：第（ 3图）（问1按）直角位置分类讨论 图（ 2） 图（

4、3）3、（2009 重庆綦江） 如图，已知抛物线 y a(x 1)2 3 3(a 0) 经过点 A( 2，0) ，抛物线的顶点为 D ，过 O作射线 OM AD 过顶点 D 平行于 x 轴的直线交射线 OM 于点 C ，B 在 x 轴正半轴上， 连结 BC第 1 页 共 11 页动点问题题型方法归纳（1）求该抛物线的解析式；（2）若动点 P 从点 O出发，以每秒 1 个长度单位的速度沿射线 OM 运动，设点 P运动的时间为 t( s) 问当 t 为何值时，四边形 DAOP 分别为平行四边形？直角梯形？等腰梯形？（3）若 OC OB ，动点 P和动点 Q 分别从点 O和点 B 同时出发，分别以每

5、秒 1 个长度y MD C单位和 2 个长度单位的速度沿 OC 和 BO运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随P之停止运动 设它们的运动的时间为 t (s) ，连接 PQ ，当 t 为何值时， 四边形 BCPQAO Q B x 的面积最小？并求出最小值及此时 PQ 的长注意：发现并充分运用特殊角 DAB=60当OPQ 面积最大时，四边形 BCPQ 的面积最小。二、 特殊四边形边上动点4、（2009 年吉林省）如图所示，菱形 ABCD的边长为 6 厘米， B 60从初始时刻开始，点 P、Q同时从 A 点出发，点 P 以 1 厘米 /秒的速度沿 A C B 的方向运动，点 Q 以 2 厘米 /秒

6、的速度沿A B C D 的方向运动，当点 Q 运动到 D 点时， P 、Q 两点同时停止运动，设 P、Q 运动的时间为 x 秒时，APQ 与 ABC 重叠部分 的面积为 y 平方厘米 （这里规定： 点和线段是面积为 O 的三角形）， CD解答下列问题：（1）点 P 、Q从出发到相遇所用时间是 秒；PA B Q（2）点 P 、Q从开始运动到停止的过程中，当 APQ 是等边三角形时 x 的值是 秒；（3）求 y 与 x 之间的函数关系式提示：第 (3)问按点 Q 到拐点时间 B、C 所有时间分段分类 ； 提醒 - 高相等的两个三角形面积比等于底边的比 。5、（2009 年哈尔滨）如图 1，在平面直

7、角坐标系中，点 O 是坐标原点，四边形 ABCO 是菱形，点 A 的坐标为（ 3，4），点 C 在 x 轴的正半轴上，直线 AC 交 y 轴于点 M ，AB 边交 y 轴于点 H（1）求直线 AC 的解析式；（2）连接 BM ，如图 2，动点 P 从点 A 出发， 沿折线 ABC 方向以 2 个单位秒的速度向终点 C 匀速运动，设PMB 的面积为 S（ S 0），点 P 的运动时间为 t 秒，求 S 与 t 之间的函数关系式（要求写出自变量 t的取值范围） ；AyH（3）在（ 2）的条件下， 当 t 为何值时， MPB 与 BCO 互为余角，并求此时直线 OP 与直y线 AC 所夹锐 角的正切

8、值AH BB MMOCxOC x 图（2）图（1）注意：第（ 2）问按点 P 到拐点 B 所用时间分段分类；第 2 页 共 11 页动点问题题型方法归纳第（ 3）问发现 MBC=90， BCO 与 ABM 互余，画出点 P 运动过程中，MPB= ABM 的两种情况，求出 t值。利用 OBAC, 再求 OP 与 AC夹角正切值.6、(2009 年温州 )如图，在平面直角坐标系中，点 A( 3 ，0)，B(3 3 ，2)，C（0，2)动点 D 以每秒 1个单位的速度从点 0 出发沿 OC 向终点 C 运动，同时动点 E 以每秒 2 个单位的速度从点 A 出发沿 AB 向终点 B 运动过点 E 作

9、EF 上 AB ，交 BC于点 F，连结DA 、DF设运动时间为t 秒(1)求 ABC 的度数；(2)当 t为何值时， AB DF；(3)设四边形 AEFD 的面积为S求 S 关于 t 的函数关系式；若一抛物线y=x2+mx经过动点 E，当 S2 3时，求 m 的取值范围(写出答案即可 )注意：发现特殊性， DE OA7、（ 07 黄冈）已知：如图， 在平面直角坐标系中， 四边形 ABCO是菱形，且yBAOC=60 ，点 B 的坐标是 (0,8 3) ，点 P 从点 C 开始以每秒P1 个单位长度的速度在线段 CB 上向点 B 移动，同时，点 Q 从点 O 开始以每秒 a（ 1 a ）3个单位

10、长度的速度沿射线OA 方向C D A移动，设t(0 t 8) 秒后，直线PQ 交 OB 于点 D.（1）求 AOB 的度数及线段 OA 的长；（2）求经过A ，B，C 三点的抛物线的解析式；Q（3）当式；4a 3, OD 3时，求 t 的值及此时直线PQ 的解析3Ox（4）当 a为何值时， 以 O，P，Q，D为顶点的三角形与 OAB相似？当 a为何值时，以 O，P，Q，D为顶点的三角形与 OAB 不相似？请给出你的结论，并加以证明 .8、（ 08 黄冈） 已知：如图，在直角梯形 COAB 中，OC AB，以 O为原点建立平面直角坐标系， A，B，C三点的坐标分别为A(8，0)， B(8，10)

11、 ， C (0，4) ，点 D为线段 BC 的中点，动点 P从点 O出发，以每秒 1 个单位的速度，沿折线OABD 的路线移动，移动的时间为t秒（1）求直线BC 的解析式；（2）若动点 P在线段 OA上移动，当 t为何值时，四边形 OPDC 的面积是梯形 COAB面积的27？（3）动点 P 从点 O出发， 沿折线OABD 的路线移动过程中，设OPD 的面积为S，请直接写出 S与 t 的函数关系式，并指出自变量 t的取值范围；（4）当动点 P 在线段 AB上移动时，能否在线段 OA上找到一点 Q ，使四边形 CQPD为矩形？请求出此时动点 P 的坐标；若不能，请说明理由B By y D D CC

12、O P A x第 3页共 11 页O A x（此题备用）动点问题题型方法归纳9 、 (09 年黄 冈市) 如图, 在平面 直角坐 标系 xoy 中, 抛物 线1 42y x x 10 与 x 轴的交点为点 A,与 y 轴的交点为点 B.18 9过点 B 作 x 轴的平行线 BC,交抛物线于点 C,连结 AC 现有两动点 P,Q 分别从 O,C 两点同时出发 ,点 P 以每秒 4 个单位的速度沿OA 向终点 A 移动,点 Q 以每秒 1 个单位的速度沿 CB 向点 B 移动,点 P 停止运动时 ,点 Q 也同时停止运动 ,线段 OC,PQ 相交于点 D,过点 D 作 DEOA,交 CA 于点 E

13、,射线 QE 交 x 轴于点 F设动点P,Q 移动的时间为 t(单位:秒)(1)求 A,B,C 三点的坐标和抛物线的顶点的坐标 ;(2)当 t 为何值时 ,四边形 PQCA 为平行四边形 ?请写出计算过程 ;(3)当 0t92时,PQF 的面积是否总为定值 ?若是,求出此定值 , 若不是 ,请说明理由 ;(4)当 t 为何值时 ,PQF 为等腰三角形 ?请写出解答过程提示：第（ 3）问用相似比的代换，得 PF=OA（定值）。第（4）问按哪两边相等分类讨论PQ=PF,PQ=FQ,QF=PF.三、 直线上动点8、（2009 年湖南长沙）如图，二次函数2y ax bx c（a 0）的图象与 x 轴交

14、于 A、B两点，与 y 轴相交于点 C 连结 AC、BC，A、C 两点的坐标分别为 A( 3，0) 、C (0，3) ，且当 x 4和 x 2时二次函数的函数值 y 相等（1）求实数 a，b，c的值；（2）若点 M、N 同时从 B点出发， 均以每秒 1 个单位长度的速度分别沿 BA、BC边运动， 其中一个点到达终点时， 另一点也随之停止运动 当运动时间为 t 秒时，连结 MN ，将 BMN 沿 MN 翻折，B 点恰好落在 AC 边上的 P处，求 t的值及点 P的坐标；（3）在（ 2）的条件下，二次函数图象的对称轴上是否存在点 Q ，使得以 B，N，Q 为项点的三角形与ABC相似？如果存在，请求

15、出点 Q 的坐标；如果不存在，请说明理由yCP N提示：第（ 2）问发现特殊角 CAB=30 ,CBA=60A O B xM特殊图形四边形 BNPM 为菱形；第(3)问注意到 ABC 为直角三角形后，按直角位置对应分类；先画出与 ABC 相似的 BNQ ，再判断是否在对称轴上。9、（2009 眉山）如图，已知直线1y x 1与 y 轴交于点 A，与 x 轴交于2点 D，抛物线12y x bx c 与直线交于 A、E 两点，与 x轴交于 B、C2第 4 页 共 11 页动点问题题型方法归纳两点，且 B 点坐标为 (1，0)。求该抛物线的解析式；动点 P 在 x 轴上移动，当 PAE 是直角三角形

16、时，求点 P 的坐标 P。在抛物线的对称轴上找一点 M，使 | AM MC |的值最大，求出点 M 的坐标。提示：第（ 2）问按直角位置分类讨论后画出图形 - P 为直角顶点 AE 为斜边时，以 AE 为直径画圆与 x轴交点即为所求点 P，A 为直角顶点时，过点 A 作 AE 垂线交 x 轴于点 P， E 为直角顶点时，作法同；第（3）问，三角形两边之差小于第三边，那么等于第三边时差值最大。10、（2009 年兰州）如图，正方形 ABCD 中，点 A 、B 的坐标分别为（ 0，10），（8，4）， 点 C 在第一象限 动点 P 在正方形 ABCD 的边上， 从点 A 出发沿 A BCD 匀速运

17、动， 同时动点 Q 以相同速度在x 轴正半轴上运动，当 P 点到达 D 点时，两点同时停止运动，设运动的时间为 t 秒(1)当 P 点在边 AB 上运动时，点 Q 的横坐标 x （长度单位）关于运动时间 t（秒）的函数图象如图所示，请写出点 Q 开始运动时的坐标及点 P 运动速度；(2)求正方形边长及顶点 C 的坐标；(3)在（1）中当 t 为何值时， OPQ 的面积最大，并求此时 P 点的坐标；(4)如果点 P、Q 保持原速度不变， 当点 P 沿 ABCD 匀速运动时， OP 与 PQ 能否相等，若能，写出所有符合条件的 t 的值；若不能，请说明理由注意：第（ 4）问按点 P 分别在 AB

18、、BC、CD 边上分类讨论；求 t 值时，灵活运用等腰三角形 “三线合一 ”。11、（2009 年北京市）如图，在平面直角坐标系 xOy 中， ABC 三个顶点的坐标分别为A 6,0 ， B 6,0 ，C 0,4 3 ，延长 AC 到点 D,使 CD=12AC ,过点 D 作 DEAB 交 BC 的延长线于点 E.（1）求 D 点的坐标；（2）作 C 点关于直线 DE 的对称点 F,分别连结 DF、EF，若过 B 点的直线 y kx b 将四边形 CDFE 分成周长相等的两个四边形，确定此直线的解析式；（3）设 G 为 y 轴上一点，点 P 从直线 y kx b 与 y 轴的交点出发，先沿 y

19、 轴到达 G 点，再沿 GA 到达A 点，若 P 点在 y 轴上运动的速度是它在直线 GA 上运动速度的 2 倍，试确定 G 点的位置， 使 P 点按照上述要求到达 A 点所用的时间最短。 （要求：简述确定 G 点位置的方法，但不要求证明）提示：第（）问，平分周长时，直线过菱形的中心；第 5 页 共 11 页动点问题题型方法归纳第（）问，转化为点到的距离加到（）中直线的距离和最小；发现（）中直线与轴夹角为 .见“最短路线问题 ”专题。2、(2009 年上海市 )A D PAPDA DP已知 ABC=90 ，AB=2 ，BC=3，QB满足PQPCCB（Q）A图D1（如图 1 所示）ABBC图 2

20、 图 3QAD BC，P 为线段 BD 上的动C 点，点 Q 在射线 AB 上，且（1）当 AD=2 ，且点 Q 与点 B 重合时（如图 2 所示），求线段 PC 的长；（2）在图 8 中，联结 A P当3AD ，且点 Q在线段 AB 上时，设点 B、Q之间的距离为 x ，2SAPQSPBCy，其中 S APQ 表示 APQ 的面积， SPBC 表示 PBC 的面积， 求 y 关于 x 的函数解析式， 并写出函数定义域；（3）当 AD AB ，且点 Q在线段 AB的延长线上时（如图 3 所示），求 QPC 的大小注意：第（ 2）问，求动态问题中的变量取值范围时，先动手操作找到运动始、末两个位置

21、变量的取值，然后再根据运动的特点确定满足条件的变量的取值范围。 当 PCBD 时，点 Q、B 重合，x 获得最小值；当 P 与 D 重合时， x 获得最大值。第（ 3）问，灵活运用 SSA 判定两三角形相似，即两个锐角三角形或两个钝角三角形可用 SSA 来判定两个三角形相似；或者用同一法；或者证 BQP BCP，得 B、Q、C、P 四点共圆也可求解。第 6 页 共 11 页动点问题题型方法归纳13、（08 宜昌）如图，在 RtABC 中，AB AC，P 是边 AB （含端点）上的动点过 P 作 BC 的垂线 PR，R 为垂足，PRB 的平分线与 AB 相交于点 S，在线段 RS上存在一点 T，

22、若以线段 PT 为一边作正方形 PTEF，其顶点 E，F 恰好分别在边 BC，AC 上（1） ABC 与 SBR 是否相似，说明理由；（2）请你探索线段 TS 与 PA 的长度之间的关系；（3）设边 AB 1，当 P 在边 AB（含端点） 上运动时， 请你探索正方形 PTEF 的面积 y 的最小值和最大值B BR T R T S SE EP PC F AC F A(第 13 题) (第 13 题)提示：第（ 3）问，关键是找到并画出满足条件时最大、最小图形；当 p 运动到使 T 与 R 重合时， PA=TS为最大；当 P 与 A 重合时， PA 最小。此问与上题中求取值范围类似。14、(200

23、9 年河北 )如图，在 RtABC 中， C=90，AC = 3 ，AB = 5 点 P 从点 C 出发沿 CA 以每秒 1 个单位长的速度向点 A 匀速运动，到达点 A 后立刻以原来的速度沿 AC 返回；点 Q 从点 A 出发沿 AB 以每秒 1 个单位长的速度向点 B 匀速运动伴随着 P、Q 的运动， DE 保持垂直平分 PQ，且交 PQ 于点 D，交折线 QB-BC-CP 于点 E点 P、Q 同时出发，当点 Q 到达点 B 时停止运动，点 P 也随之停止设点 P、Q运动的时间是 t 秒（ t0）（1）当 t = 2 时，AP = ，点 Q 到 AC 的距离是 ；（2）在点 P 从 C 向

24、 A 运动的过程中，求 APQ 的面积 S 与 t 的函数关系式； （不必写出 t 的取值范围）（3）在点 E 从 B 向 C 运动的过程中，四边形 QBED 能否成为直角梯形？若能，求 t 的值若不能，请说明理由；（4）当 DE 经过点 C 时，请直接写出 t 的值BE QDA C P提示：（）按哪两边平行分类，按要求画出图形，再结合图形性质求出 t 值；有二种成立的情形，；（）按点 P运动方向分类，按要求画出图形再结合图形性质求出 t 值；有二种情形， t 时，时第 7 页 共 11 页动点问题题型方法归纳15、（2009 年包头）已知二次函数2y ax bx c（a 0）的图象经过点 A

25、(1，0) ，B (2，0) ，C (0， 2) ，直线 x m （ m 2 ）与 x 轴交于点 D （1）求二次函数的解析式；（2）在直线 x m （ m 2 ）上有一点 E （点 E 在第四象限） ，使得 E、D、B 为顶点的三角形与以A、O、C 为顶点的三角形相似，求 E点坐标（用含 m 的代数式表示） ；（3）在（ 2）成立的条件下，抛物线上是否存在一点 F ，使得四边形 ABEF 为平行四边形？若存在，请求出 m 的值及四边形 ABEF 的面积；若不存在，请说明理由提示：第（ 2）问，按对应锐角不同分类讨论，有两种情形；第（3）问，四边形 ABEF 为平行四边形时， E、F 两点纵坐

26、标相等，且 AB=EF ，对第（ 2）问中两种情形分别讨论。第 8 页 共 11 页动点问题题型方法归纳四、 抛物线上动点2 bx16、（2009 年湖北十堰市）如图， 已知抛物线 y ax 3（a0）与 x轴交于点 A(1 ，0)和点 B (3，0)，与 y 轴交于点 C(1) 求抛物线的解析式；(2) 设抛物线的对称轴与 x 轴交于点 M ，问在对称轴上是否存在点 P，使 CMP 为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点 P 的坐标；若不存在，请说明理由(3) 如图，若点 E 为第二象限抛物线上一动点，连接 BE、CE，求四边形 BOCE 面积的最大值，并求此时 E 点的坐标注意：

27、第（ 2）问按等腰三角形顶点位置分类讨论画图再由图形性质求点 P 坐标- C 为顶点时，以 C 为圆心 CM 为半径画弧，与对称轴交点即为所求点 P，M 为顶点时，以 M 为圆心 MC 为半径画弧，与对称轴交点即为所求点 P，P 为顶点时，线段 MC 的垂直平分线与对称轴交点即为所求点 P。第（3）问方法一，先写出面积函数关系式，再求最大值（涉及二次函数最值） ； 方法二，先求与BC 平行且与抛物线相切点的坐标（涉及简单二元二次方程组） ，再求面积。17、（2009 年黄石市）正方形 ABCD在如图所示的平面直角坐标系中， A在 x 轴正半轴上， D 在 y 轴的负半轴上， AB交 y 轴正半

28、轴于 E，BC 交 x 轴负半轴于 F ， OE 1，抛物线2 4y ax bx 过A、D、F 三点（1）求抛物线的解析式；（2）Q 是抛物线上 D、F 间的一点，过 Q 点作平行于 x 轴的直线交边 AD 于 M ，交 BC 所在直线于 N ，若3S四边形 S ，则判断四边形 AFQM 的形状；AFQM FQN2（3）在射线 DB上是否存在动点 P ，在射线 CB上是否存在动点 H ，使得 APPH 且 AP PH ，若存在，请给予严格证明，若不存在，请说明理由yB EFO A xC注意：第（ 2）问，发 现并利用好 NM FA 且 NM FA;D第（3）问，将此 问题分离出来单独解答，不受其它图形的干扰。需分类讨论，先画出合适的图形，再证明。第 9 页 共 11 页动点问题题型方法归纳近 三 年 黄 冈 中 考 数 学“坐 标 几 何 题 ”（ 动 点 问 题 ） 分 析0 7 0 8 0 9动 点 两 个 一 个 两 个个 数问 题 特 殊 菱 形 两 边 特 殊 直 角 抛 物 线 中 特 殊背 景 上 移 动 梯 形 三 边 直 角 梯 形 底 边上 移 动 上 移 动考 查 探 究