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文档简介

1、动点问题题型方法归纳动点问题题型方法归纳动态几何特点 -问题背景是特殊图形, 考查问题也是特殊图形, 所以要把握好一般与特殊的关系; 分析过程中,特别要关注图形的特性(特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。 )动点问题一直是中考热点,近几年考查探究运动中的特殊性:等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数、线段或面积的最值。下面就此问题的常见题型作简单介绍,解题方法、关键给以点拨。一、三角形边上动点1、(2009 年齐齐哈尔市)直线3y x 6 与坐标轴分别交于 A、B两点,动点 P、Q 同时从 O点出发,4A Q OA 1 运动,速度为每秒 个单P O B A

2、 By(1)直接写出 A、B两点的坐标;P(2)设点 Q的运动时间为 t 秒, OPQ 的面积为 S,求出 S与t 之间xO Q A 的函数关系式;(3)当坐标48S 时, 求出点 P的坐标, 并直接写出以点 O、P、Q 为顶点的平行四边形的第四个顶点 M 的5解:1、A(8,0) B(0,6)22、当 0t3 时,S=t当 3t8 时,S=38(8-t)t提示:第( 2)问按点 P 到拐点 B 所有时间分段分类;第(3)问是分类讨论:已知三定点 O、P、Q ,探究第四点构成平行四边形时按已知线段身份不同分类-OP 为边、 OQ 为边, OP 为边、OQ 为对角线, OP 为对角线、 OQ 为

3、边。然后画出各类的图形,根据图形性质求顶点坐标。2、(2009 年衡阳市)如图, AB 是O 的直径,弦 BC=2cm ,ABC=60o(1)求 O 的直径;(2)若 D 是 AB 延长线上一点,连结 CD,当 BD 长为多少时, CD 与O 相切;(3)若动点 E 以 2cm/s 的速度从 A 点出发沿着 AB 方向运动,同时动点 F 以 1cm/s 的速度从 B 点出发沿BC 方向运动,设运动时间为 t (s)(0 t 2) ,连结 EF,当 t 为何值时, BEF 为直角三角形C C CAO B DFEA BOFA BO E注意:第( 3图)(问1按)直角位置分类讨论 图( 2) 图(

4、3)3、(2009 重庆綦江) 如图,已知抛物线 y a(x 1)2 3 3(a 0) 经过点 A( 2,0) ,抛物线的顶点为 D ,过 O作射线 OM AD 过顶点 D 平行于 x 轴的直线交射线 OM 于点 C ,B 在 x 轴正半轴上, 连结 BC第 1 页 共 11 页动点问题题型方法归纳(1)求该抛物线的解析式;(2)若动点 P 从点 O出发,以每秒 1 个长度单位的速度沿射线 OM 运动,设点 P运动的时间为 t( s) 问当 t 为何值时,四边形 DAOP 分别为平行四边形?直角梯形?等腰梯形?(3)若 OC OB ,动点 P和动点 Q 分别从点 O和点 B 同时出发,分别以每

5、秒 1 个长度y MD C单位和 2 个长度单位的速度沿 OC 和 BO运动,当其中一个点停止运动时另一个点也随P之停止运动 设它们的运动的时间为 t (s) ,连接 PQ ,当 t 为何值时, 四边形 BCPQAO Q B x 的面积最小?并求出最小值及此时 PQ 的长注意:发现并充分运用特殊角 DAB=60当OPQ 面积最大时,四边形 BCPQ 的面积最小。二、 特殊四边形边上动点4、(2009 年吉林省)如图所示,菱形 ABCD的边长为 6 厘米, B 60从初始时刻开始,点 P、Q同时从 A 点出发,点 P 以 1 厘米 /秒的速度沿 A C B 的方向运动,点 Q 以 2 厘米 /秒

6、的速度沿A B C D 的方向运动,当点 Q 运动到 D 点时, P 、Q 两点同时停止运动,设 P、Q 运动的时间为 x 秒时,APQ 与 ABC 重叠部分 的面积为 y 平方厘米 (这里规定: 点和线段是面积为 O 的三角形), CD解答下列问题:(1)点 P 、Q从出发到相遇所用时间是 秒;PA B Q(2)点 P 、Q从开始运动到停止的过程中,当 APQ 是等边三角形时 x 的值是 秒;(3)求 y 与 x 之间的函数关系式提示:第 (3)问按点 Q 到拐点时间 B、C 所有时间分段分类 ; 提醒 - 高相等的两个三角形面积比等于底边的比 。5、(2009 年哈尔滨)如图 1,在平面直

7、角坐标系中,点 O 是坐标原点,四边形 ABCO 是菱形,点 A 的坐标为( 3,4),点 C 在 x 轴的正半轴上,直线 AC 交 y 轴于点 M ,AB 边交 y 轴于点 H(1)求直线 AC 的解析式;(2)连接 BM ,如图 2,动点 P 从点 A 出发, 沿折线 ABC 方向以 2 个单位秒的速度向终点 C 匀速运动,设PMB 的面积为 S( S 0),点 P 的运动时间为 t 秒,求 S 与 t 之间的函数关系式(要求写出自变量 t的取值范围) ;AyH(3)在( 2)的条件下, 当 t 为何值时, MPB 与 BCO 互为余角,并求此时直线 OP 与直y线 AC 所夹锐 角的正切

8、值AH BB MMOCxOC x 图(2)图(1)注意:第( 2)问按点 P 到拐点 B 所用时间分段分类;第 2 页 共 11 页动点问题题型方法归纳第( 3)问发现 MBC=90, BCO 与 ABM 互余,画出点 P 运动过程中,MPB= ABM 的两种情况,求出 t值。利用 OBAC, 再求 OP 与 AC夹角正切值.6、(2009 年温州 )如图,在平面直角坐标系中,点 A( 3 ,0),B(3 3 ,2),C(0,2)动点 D 以每秒 1个单位的速度从点 0 出发沿 OC 向终点 C 运动,同时动点 E 以每秒 2 个单位的速度从点 A 出发沿 AB 向终点 B 运动过点 E 作

9、EF 上 AB ,交 BC于点 F,连结DA 、DF设运动时间为t 秒(1)求 ABC 的度数;(2)当 t为何值时, AB DF;(3)设四边形 AEFD 的面积为S求 S 关于 t 的函数关系式;若一抛物线y=x2+mx经过动点 E,当 S2 3时,求 m 的取值范围(写出答案即可 )注意:发现特殊性, DE OA7、( 07 黄冈)已知:如图, 在平面直角坐标系中, 四边形 ABCO是菱形,且yBAOC=60 ,点 B 的坐标是 (0,8 3) ,点 P 从点 C 开始以每秒P1 个单位长度的速度在线段 CB 上向点 B 移动,同时,点 Q 从点 O 开始以每秒 a( 1 a )3个单位

10、长度的速度沿射线OA 方向C D A移动,设t(0 t 8) 秒后,直线PQ 交 OB 于点 D.(1)求 AOB 的度数及线段 OA 的长;(2)求经过A ,B,C 三点的抛物线的解析式;Q(3)当式;4a 3, OD 3时,求 t 的值及此时直线PQ 的解析3Ox(4)当 a为何值时, 以 O,P,Q,D为顶点的三角形与 OAB相似?当 a为何值时,以 O,P,Q,D为顶点的三角形与 OAB 不相似?请给出你的结论,并加以证明 .8、( 08 黄冈) 已知:如图,在直角梯形 COAB 中,OC AB,以 O为原点建立平面直角坐标系, A,B,C三点的坐标分别为A(8,0), B(8,10)

11、 , C (0,4) ,点 D为线段 BC 的中点,动点 P从点 O出发,以每秒 1 个单位的速度,沿折线OABD 的路线移动,移动的时间为t秒(1)求直线BC 的解析式;(2)若动点 P在线段 OA上移动,当 t为何值时,四边形 OPDC 的面积是梯形 COAB面积的27?(3)动点 P 从点 O出发, 沿折线OABD 的路线移动过程中,设OPD 的面积为S,请直接写出 S与 t 的函数关系式,并指出自变量 t的取值范围;(4)当动点 P 在线段 AB上移动时,能否在线段 OA上找到一点 Q ,使四边形 CQPD为矩形?请求出此时动点 P 的坐标;若不能,请说明理由B By y D D CC

12、O P A x第 3页共 11 页O A x(此题备用)动点问题题型方法归纳9 、 (09 年黄 冈市) 如图, 在平面 直角坐 标系 xoy 中, 抛物 线1 42y x x 10 与 x 轴的交点为点 A,与 y 轴的交点为点 B.18 9过点 B 作 x 轴的平行线 BC,交抛物线于点 C,连结 AC 现有两动点 P,Q 分别从 O,C 两点同时出发 ,点 P 以每秒 4 个单位的速度沿OA 向终点 A 移动,点 Q 以每秒 1 个单位的速度沿 CB 向点 B 移动,点 P 停止运动时 ,点 Q 也同时停止运动 ,线段 OC,PQ 相交于点 D,过点 D 作 DEOA,交 CA 于点 E

13、,射线 QE 交 x 轴于点 F设动点P,Q 移动的时间为 t(单位:秒)(1)求 A,B,C 三点的坐标和抛物线的顶点的坐标 ;(2)当 t 为何值时 ,四边形 PQCA 为平行四边形 ?请写出计算过程 ;(3)当 0t92时,PQF 的面积是否总为定值 ?若是,求出此定值 , 若不是 ,请说明理由 ;(4)当 t 为何值时 ,PQF 为等腰三角形 ?请写出解答过程提示:第( 3)问用相似比的代换,得 PF=OA(定值)。第(4)问按哪两边相等分类讨论PQ=PF,PQ=FQ,QF=PF.三、 直线上动点8、(2009 年湖南长沙)如图,二次函数2y ax bx c(a 0)的图象与 x 轴交

14、于 A、B两点,与 y 轴相交于点 C 连结 AC、BC,A、C 两点的坐标分别为 A( 3,0) 、C (0,3) ,且当 x 4和 x 2时二次函数的函数值 y 相等(1)求实数 a,b,c的值;(2)若点 M、N 同时从 B点出发, 均以每秒 1 个单位长度的速度分别沿 BA、BC边运动, 其中一个点到达终点时, 另一点也随之停止运动 当运动时间为 t 秒时,连结 MN ,将 BMN 沿 MN 翻折,B 点恰好落在 AC 边上的 P处,求 t的值及点 P的坐标;(3)在( 2)的条件下,二次函数图象的对称轴上是否存在点 Q ,使得以 B,N,Q 为项点的三角形与ABC相似?如果存在,请求

15、出点 Q 的坐标;如果不存在,请说明理由yCP N提示:第( 2)问发现特殊角 CAB=30 ,CBA=60A O B xM特殊图形四边形 BNPM 为菱形;第(3)问注意到 ABC 为直角三角形后,按直角位置对应分类;先画出与 ABC 相似的 BNQ ,再判断是否在对称轴上。9、(2009 眉山)如图,已知直线1y x 1与 y 轴交于点 A,与 x 轴交于2点 D,抛物线12y x bx c 与直线交于 A、E 两点,与 x轴交于 B、C2第 4 页 共 11 页动点问题题型方法归纳两点,且 B 点坐标为 (1,0)。求该抛物线的解析式;动点 P 在 x 轴上移动,当 PAE 是直角三角形

16、时,求点 P 的坐标 P。在抛物线的对称轴上找一点 M,使 | AM MC |的值最大,求出点 M 的坐标。提示:第( 2)问按直角位置分类讨论后画出图形 - P 为直角顶点 AE 为斜边时,以 AE 为直径画圆与 x轴交点即为所求点 P,A 为直角顶点时,过点 A 作 AE 垂线交 x 轴于点 P, E 为直角顶点时,作法同;第(3)问,三角形两边之差小于第三边,那么等于第三边时差值最大。10、(2009 年兰州)如图,正方形 ABCD 中,点 A 、B 的坐标分别为( 0,10),(8,4), 点 C 在第一象限 动点 P 在正方形 ABCD 的边上, 从点 A 出发沿 A BCD 匀速运

17、动, 同时动点 Q 以相同速度在x 轴正半轴上运动,当 P 点到达 D 点时,两点同时停止运动,设运动的时间为 t 秒(1)当 P 点在边 AB 上运动时,点 Q 的横坐标 x (长度单位)关于运动时间 t(秒)的函数图象如图所示,请写出点 Q 开始运动时的坐标及点 P 运动速度;(2)求正方形边长及顶点 C 的坐标;(3)在(1)中当 t 为何值时, OPQ 的面积最大,并求此时 P 点的坐标;(4)如果点 P、Q 保持原速度不变, 当点 P 沿 ABCD 匀速运动时, OP 与 PQ 能否相等,若能,写出所有符合条件的 t 的值;若不能,请说明理由注意:第( 4)问按点 P 分别在 AB

18、、BC、CD 边上分类讨论;求 t 值时,灵活运用等腰三角形 “三线合一 ”。11、(2009 年北京市)如图,在平面直角坐标系 xOy 中, ABC 三个顶点的坐标分别为A 6,0 , B 6,0 ,C 0,4 3 ,延长 AC 到点 D,使 CD=12AC ,过点 D 作 DEAB 交 BC 的延长线于点 E.(1)求 D 点的坐标;(2)作 C 点关于直线 DE 的对称点 F,分别连结 DF、EF,若过 B 点的直线 y kx b 将四边形 CDFE 分成周长相等的两个四边形,确定此直线的解析式;(3)设 G 为 y 轴上一点,点 P 从直线 y kx b 与 y 轴的交点出发,先沿 y

19、 轴到达 G 点,再沿 GA 到达A 点,若 P 点在 y 轴上运动的速度是它在直线 GA 上运动速度的 2 倍,试确定 G 点的位置, 使 P 点按照上述要求到达 A 点所用的时间最短。 (要求:简述确定 G 点位置的方法,但不要求证明)提示:第()问,平分周长时,直线过菱形的中心;第 5 页 共 11 页动点问题题型方法归纳第()问,转化为点到的距离加到()中直线的距离和最小;发现()中直线与轴夹角为 .见“最短路线问题 ”专题。2、(2009 年上海市 )A D PAPDA DP已知 ABC=90 ,AB=2 ,BC=3,QB满足PQPCCB(Q)A图D1(如图 1 所示)ABBC图 2

20、 图 3QAD BC,P 为线段 BD 上的动C 点,点 Q 在射线 AB 上,且(1)当 AD=2 ,且点 Q 与点 B 重合时(如图 2 所示),求线段 PC 的长;(2)在图 8 中,联结 A P当3AD ,且点 Q在线段 AB 上时,设点 B、Q之间的距离为 x ,2SAPQSPBCy,其中 S APQ 表示 APQ 的面积, SPBC 表示 PBC 的面积, 求 y 关于 x 的函数解析式, 并写出函数定义域;(3)当 AD AB ,且点 Q在线段 AB的延长线上时(如图 3 所示),求 QPC 的大小注意:第( 2)问,求动态问题中的变量取值范围时,先动手操作找到运动始、末两个位置

21、变量的取值,然后再根据运动的特点确定满足条件的变量的取值范围。 当 PCBD 时,点 Q、B 重合,x 获得最小值;当 P 与 D 重合时, x 获得最大值。第( 3)问,灵活运用 SSA 判定两三角形相似,即两个锐角三角形或两个钝角三角形可用 SSA 来判定两个三角形相似;或者用同一法;或者证 BQP BCP,得 B、Q、C、P 四点共圆也可求解。第 6 页 共 11 页动点问题题型方法归纳13、(08 宜昌)如图,在 RtABC 中,AB AC,P 是边 AB (含端点)上的动点过 P 作 BC 的垂线 PR,R 为垂足,PRB 的平分线与 AB 相交于点 S,在线段 RS上存在一点 T,

22、若以线段 PT 为一边作正方形 PTEF,其顶点 E,F 恰好分别在边 BC,AC 上(1) ABC 与 SBR 是否相似,说明理由;(2)请你探索线段 TS 与 PA 的长度之间的关系;(3)设边 AB 1,当 P 在边 AB(含端点) 上运动时, 请你探索正方形 PTEF 的面积 y 的最小值和最大值B BR T R T S SE EP PC F AC F A(第 13 题) (第 13 题)提示:第( 3)问,关键是找到并画出满足条件时最大、最小图形;当 p 运动到使 T 与 R 重合时, PA=TS为最大;当 P 与 A 重合时, PA 最小。此问与上题中求取值范围类似。14、(200

23、9 年河北 )如图,在 RtABC 中, C=90,AC = 3 ,AB = 5 点 P 从点 C 出发沿 CA 以每秒 1 个单位长的速度向点 A 匀速运动,到达点 A 后立刻以原来的速度沿 AC 返回;点 Q 从点 A 出发沿 AB 以每秒 1 个单位长的速度向点 B 匀速运动伴随着 P、Q 的运动, DE 保持垂直平分 PQ,且交 PQ 于点 D,交折线 QB-BC-CP 于点 E点 P、Q 同时出发,当点 Q 到达点 B 时停止运动,点 P 也随之停止设点 P、Q运动的时间是 t 秒( t0)(1)当 t = 2 时,AP = ,点 Q 到 AC 的距离是 ;(2)在点 P 从 C 向

24、 A 运动的过程中,求 APQ 的面积 S 与 t 的函数关系式; (不必写出 t 的取值范围)(3)在点 E 从 B 向 C 运动的过程中,四边形 QBED 能否成为直角梯形?若能,求 t 的值若不能,请说明理由;(4)当 DE 经过点 C 时,请直接写出 t 的值BE QDA C P提示:()按哪两边平行分类,按要求画出图形,再结合图形性质求出 t 值;有二种成立的情形,;()按点 P运动方向分类,按要求画出图形再结合图形性质求出 t 值;有二种情形, t 时,时第 7 页 共 11 页动点问题题型方法归纳15、(2009 年包头)已知二次函数2y ax bx c(a 0)的图象经过点 A

25、(1,0) ,B (2,0) ,C (0, 2) ,直线 x m ( m 2 )与 x 轴交于点 D (1)求二次函数的解析式;(2)在直线 x m ( m 2 )上有一点 E (点 E 在第四象限) ,使得 E、D、B 为顶点的三角形与以A、O、C 为顶点的三角形相似,求 E点坐标(用含 m 的代数式表示) ;(3)在( 2)成立的条件下,抛物线上是否存在一点 F ,使得四边形 ABEF 为平行四边形?若存在,请求出 m 的值及四边形 ABEF 的面积;若不存在,请说明理由提示:第( 2)问,按对应锐角不同分类讨论,有两种情形;第(3)问,四边形 ABEF 为平行四边形时, E、F 两点纵坐

26、标相等,且 AB=EF ,对第( 2)问中两种情形分别讨论。第 8 页 共 11 页动点问题题型方法归纳四、 抛物线上动点2 bx16、(2009 年湖北十堰市)如图, 已知抛物线 y ax 3(a0)与 x轴交于点 A(1 ,0)和点 B (3,0),与 y 轴交于点 C(1) 求抛物线的解析式;(2) 设抛物线的对称轴与 x 轴交于点 M ,问在对称轴上是否存在点 P,使 CMP 为等腰三角形?若存在,请直接写出所有符合条件的点 P 的坐标;若不存在,请说明理由(3) 如图,若点 E 为第二象限抛物线上一动点,连接 BE、CE,求四边形 BOCE 面积的最大值,并求此时 E 点的坐标注意:

27、第( 2)问按等腰三角形顶点位置分类讨论画图再由图形性质求点 P 坐标- C 为顶点时,以 C 为圆心 CM 为半径画弧,与对称轴交点即为所求点 P,M 为顶点时,以 M 为圆心 MC 为半径画弧,与对称轴交点即为所求点 P,P 为顶点时,线段 MC 的垂直平分线与对称轴交点即为所求点 P。第(3)问方法一,先写出面积函数关系式,再求最大值(涉及二次函数最值) ; 方法二,先求与BC 平行且与抛物线相切点的坐标(涉及简单二元二次方程组) ,再求面积。17、(2009 年黄石市)正方形 ABCD在如图所示的平面直角坐标系中, A在 x 轴正半轴上, D 在 y 轴的负半轴上, AB交 y 轴正半

28、轴于 E,BC 交 x 轴负半轴于 F , OE 1,抛物线2 4y ax bx 过A、D、F 三点(1)求抛物线的解析式;(2)Q 是抛物线上 D、F 间的一点,过 Q 点作平行于 x 轴的直线交边 AD 于 M ,交 BC 所在直线于 N ,若3S四边形 S ,则判断四边形 AFQM 的形状;AFQM FQN2(3)在射线 DB上是否存在动点 P ,在射线 CB上是否存在动点 H ,使得 APPH 且 AP PH ,若存在,请给予严格证明,若不存在,请说明理由yB EFO A xC注意:第( 2)问,发 现并利用好 NM FA 且 NM FA;D第(3)问,将此 问题分离出来单独解答,不受其它图形的干扰。需分类讨论,先画出合适的图形,再证明。第 9 页 共 11 页动点问题题型方法归纳近 三 年 黄 冈 中 考 数 学“坐 标 几 何 题 ”( 动 点 问 题 ) 分 析0 7 0 8 0 9动 点 两 个 一 个 两 个个 数问 题 特 殊 菱 形 两 边 特 殊 直 角 抛 物 线 中 特 殊背 景 上 移 动 梯 形 三 边 直 角 梯 形 底 边上 移 动 上 移 动考 查 探 究

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