1.1.1正弦定理(1)PPT学习教案

1、会计学1 1.1.1正弦定理正弦定理(1) :关于解三角形 );, ,(,:) 1 ( 的对边分别为 其中三角形的六元素 CBAcb acbaCBA . :)2( 元素 知用三角形已知元素求未解三角形 第1页/共19页 1sin,sin,sinC c b B c a A A BC a bc C c c B b c A a c sin , sin , sin 即 C c B b A a sinsinsin 斜三角形中这一关系式是否仍成立呢 ? 第2页/共19页 在锐角三角形中，在锐角三角形中， CDABD作于点 sin ,sin CD ACDbA b 即 sin ,sin CD BCDaB a

2、即 sinsinbAaB sinsin ab AB 即 sinsin ac AC 同理： sinsinsin abc ABC 第3页/共19页 在钝角三角形中，在钝角三角形中， CDABABD作交的延长线于点 sin ,sin CD ACDbA b 即 sin 180sin ,sin CD BBCDaB a 即 sinsinbAaB sinsin ab AB 即 sinsin ac AC 同理： sinsinsin abc ABC 第4页/共19页 iAB 向量 是与向量垂直的单位向量 iABBCi AC i BCi AC coscoscoscos 2222 aBbAaBbA 或 sinsin

3、 ab AB 即 sinsinaBbA sinsin ac AC 同理： sinsinsin abc ABC 思考：用思考：用“三角形面积公式三角形面积公式” 如何证明如何证明“正弦定理正弦定理” 第5页/共19页 B A CD a b c 1 2 ABCa Sah sinsin a hADcBbC 而 11 sinsin 22 ABC SacBabC 111 sinsinsin 222 ABC SabCbcAacB ha 1 sin 2 ABC SbcA 同理： 2sinsinsin ABC abcabc SABC 用用“三角形面积公式三角形面积公式”证证 明明 第6页/共19页 O C/

4、c b a C B A R C c R c CC CCCBA 2 sin 2 sinsin ,90 2 ,2 sinsin ab RR AB 同理 ,OBBC AC 作外接圆过 作直径 连 2 sinsinsin abc R ABC 第7页/共19页 为外接圆半径RR C c B b A a 2 sinsinsin 变式变式: : A a C c C c B b B b A a sinsin ; sinsin ; sinsin 1 cbaCBA:sin:sin:sin2 理解定理理解定理 （1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数）正弦定理说明同一

5、三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k使使 sinakAsinbkBsinckC 第8页/共19页 正弦定理的基本作用为：正弦定理的基本作用为： 已知三角形的任意两角及其一边，求其他边和角。已知三角形的任意两角及其一边，求其他边和角。 已知三角形的任意两边与其中一边的对角，求另一边的对角及其他的角和边。已知三角形的任意两边与其中一边的对角，求另一边的对角及其他的角和边。 一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形解三角形。 sin sin bA a B sinsin a AB b 注意：

6、注意：利用正弦定理求角时，应先求较短边的对角（一定是锐角）可避免讨论。利用正弦定理求角时，应先求较短边的对角（一定是锐角）可避免讨论。 第9页/共19页 点评点评: :正弦定理可解决已知两角和一边求另两边和一角的问题正弦定理可解决已知两角和一边求另两边和一角的问题. . 00 1,60 ,45 ,20,.ABCABc例 、在中解三角形 00. 解：根据三角形内角和定理：C=180 -(A+B)=75 0 0 sin20sin60 30 310 6 sinsin75 cA C 根据正弦定理：a= 0 0 sin20sin45 20 320 sinsin75 cB C 根据正弦定理：b= 第10页

7、/共19页 23,60 ,1A, .ABCbBcaC例 ：已知在中，求 和 点评点评: :正弦定理可解决已知两边及一边的对角正弦定理可解决已知两边及一边的对角, ,求其他边和角的问题求其他边和角的问题 . . 0 sinsin601 23 cB b 解：根据正弦定理：sinC=. 0 ,30 (bcC一解） 0 90A 根据三角形内角和定理： 0 0 sin3sin90 sinsin60 bA B 根据正弦定理：a=2. 第11页/共19页 点评点评: :正弦定理可解决已知两边及一边的对角正弦定理可解决已知两边及一边的对角, ,求其他边和角的问题求其他边和角的问题 . . 0 sin2sin6

8、02 23 aB b 解：根据正弦定理：sinA=. 0 ,45 (abA一解） 0 75根据三角形内角和定理：C 0 0 sin3sin7526 sinsin602 bC B 根据正弦定理：c=. 0 ,2,3,60 ,.ABCabB例3、在中解三角形 第12页/共19页 点评点评: :正弦定理可解决已知两边及一边的对角正弦定理可解决已知两边及一边的对角, ,求其他边和角的问题求其他边和角的问题 . . 0 sin5 6sin453 102 bA a 解：根据正弦定理：sinB=. 00 ,60120 (abBB或两解） 00 7515根据三角形内角和定理：C或C 0 0 asin10sin

9、75 3 sinsin45 C A 根据正弦定理：c=5+5. 0 ,10,5 6,45 ,.ABCabA例4、在中解三角形 0 0 asin10sin15 3 sinsin45 C A 或c=5-5. 第13页/共19页 :问题正弦定理可解决的几类 ;,) 1 (解三角形已知两角和任一边 .,)2(解三角形角已知两边和其中一边对 ),(决定取舍大角对大边用可能有两解 第14页/共19页 10,45 ,30 ,ABCcACa bB 中，求和 105 ,10 2,5 65 2;Bab CAacBbABC, 1,60, 3 0 和求中， 30 ,90 ,2CAa 练习：练习： 第15页/共19页 ABCAADBCD BDAB DCAC 例、在中，的平分线与边相交于点 ， 求证： ABDCAD证明：在和中， 由正弦定理得： , sinsin BDAB , sinsinsin 180 DCACAC 得得 ： BDAB DCAC 第16页/共19页 （1）正弦定理的表示形式：）正弦定理的表示形式： 为外接圆半径RR C c B b A a 2 sinsinsin sinsinsinsinsinsin abcabc k ABCABC si