误差椭圆.教学资料

1、 2 3 4 4 （ （3.5-13.5-1） 且有且有 （3.5-23.5-2） x x ， y y 为真位差在为真位差在x x轴和轴和y y轴上两轴上两 个位差分量，也可理解为真位差在坐个位差分量，也可理解为真位差在坐 标轴上的投影。设标轴上的投影。设x x ， y y 的中误的中误 差为差为 ， ，考虑，考虑x x与与y y互相独立，互相独立， 对式对式(3.5-2)(3.5-2)进行误差传播，可得点进行误差传播，可得点P P真真 图图3.5-13.5-1 位差的方差位差的方差P P 为为 （3.5-33.5-3） 式中，式中， 通常定义为点通常定义为点P P的点位方差；的点位方差； 为

2、点位中误差。为点位中误差。 如果将图如果将图3-13-1中的坐标系旋转某一角度，即以中的坐标系旋转某一角度，即以 为坐为坐 yyy xxx 222 yxP x y 222 yxP 2 P P yox 5 5 标系（图标系（图3.5-23.5-2），则可以看出），则可以看出P P的大小将不受坐标轴的变动的大小将不受坐标轴的变动 而发生变化，此时而发生变化，此时 ， 仿式仿式(3.5-3)(3.5-3)可得可得 (3.5-4)(3.5-4) 这说明，尽管点位真误差这说明，尽管点位真误差P P 在不同坐标系的两个坐标轴上的投在不同坐标系的两个坐标轴上的投 影长度不等，但点位方差影长度不等，但点位方差

3、 总是等总是等 于两个相互垂直的方向上的坐标方于两个相互垂直的方向上的坐标方 差之和，即它与坐标系的选择无关。差之和，即它与坐标系的选择无关。 图图3.5-23.5-2 如果再将点如果再将点P P的真位差的真位差P P投影于投影于APAP方向和垂直于方向和垂直于APAP的的 方向上，则得方向上，则得 和和 （见图（见图3.5-13.5-1），）， 、 为点的纵向误差和为点的纵向误差和 横向误差，此时有横向误差，此时有 （3.5-53.5-5） 222 yxP 222 yxP 2 P s u su 222 usP 6 6 仿式（仿式（3.5-33.5-3）又可以写出）又可以写出 （3.5-63.

4、5-6） 通过纵、横向误差来求定点位误差，这在测量工作中也通过纵、横向误差来求定点位误差，这在测量工作中也 是一种常用的方法。是一种常用的方法。 上述的上述的 和和 分别为点在分别为点在x x轴和轴和y y轴方向上的中误差，或轴方向上的中误差，或 称为称为x x轴和轴和y y轴方向上的位差。同样，轴方向上的位差。同样， 和和 是点在是点在APAP边的纵边的纵 向和横向上的位差。为了衡量待定点的精度，一般是求出其向和横向上的位差。为了衡量待定点的精度，一般是求出其 点位中误差点位中误差 ，为此，可求出它在两个相互垂直方向上的中，为此，可求出它在两个相互垂直方向上的中 误差，就可由式（误差，就可由

5、式（3.5-33.5-3）或式（）或式（3.5-63.5-6）计算点位中误差）计算点位中误差。 。 222 usP x y s u P 返回 7 7 2 2 点位误差及其计算点位误差及其计算 点位方差可用式（点位方差可用式（3.5-33.5-3）计算，由定权的基本公式可知，）计算，由定权的基本公式可知， （3.5-73.5-7） 将上式代入式（将上式代入式（3.5-33.5-3）可得）可得 （3.5-83.5-8） 可见，只要计算出可见，只要计算出 、 及单位权方差及单位权方差 ，就可计算出，就可计算出 。关于。关于 、 的计算问题，以间接平差方法概述如下：的计算问题，以间接平差方法概述如下：

6、 当以三角网中待定点的坐标作为参数，按间接平差法平当以三角网中待定点的坐标作为参数，按间接平差法平 差时，法方程系数阵的逆阵就是参数的协因数阵差时，法方程系数阵的逆阵就是参数的协因数阵 ，当平差，当平差 问题中只有一个待定点时问题中只有一个待定点时 （3.5-93.5-9） ， yy y y Q p 2 0 2 0 2 1 )( 2 0 222 yyxxyxP QQ xx x x Q p 2 0 2 0 2 1 xx Q yy Q 2 0 2 P xx Q yy Q xx Q yyyx xyxx T xx QQ QQ PBBQ 1 )( 8 8 其中主对角线元素 其中主对角线元素 、 就是待定

7、点坐标平差值就是待定点坐标平差值x x、y y的权的权 倒数，而倒数，而 、 则是它们的相关权倒数。相关权倒数将在后则是它们的相关权倒数。相关权倒数将在后 面的公式推倒中用到。当平差问题中有多个待定点，例如面的公式推倒中用到。当平差问题中有多个待定点，例如s s 个待定点时，参数的协因数阵为个待定点时，参数的协因数阵为 （3.5-103.5-10） 待定点坐标的权倒数仍为相应的主对角线上的元素，而待定点坐标的权倒数仍为相应的主对角线上的元素，而 相关权倒数则在相应权倒数连线的两侧。相关权倒数则在相应权倒数连线的两侧。 xx Q yy Q xy Q yx Q ssssisisss ssssisi

8、sss ssii ssii yyxyyyxyyyxy yxxxyxxxyxxx yyxyyyxyyyxy yxxxyxxxyxxx T ss XX QQQQQQ QQQQQQ QQQQQQ QQQQQQ PBBQ 11 11 11111111 11111111 1 22 )( 返回 9 9 1 1 误差曲线误差曲线 误差曲线的定义是：以待定点误差曲线的定义是：以待定点P P为极点，为极点， 为极角，为极角， 为长为长 度的极坐标点的轨迹，这个曲线把各方度的极坐标点的轨迹，这个曲线把各方 向的位差清楚地图解出来了，如图向的位差清楚地图解出来了，如图3.5-53.5-5 中中OPOP的长度就是的长

9、度就是O O点在点在OPOP方向上的位方向上的位 差。由图差。由图3.5-53.5-5可看出，误差曲线关于两可看出，误差曲线关于两 个极轴（个极轴（E E轴和轴和F F轴）对称，通常称之为轴）对称，通常称之为 点位误差曲线或点位精度曲线。点位误差曲线或点位精度曲线。 误差曲线在工程测量中有广泛的应误差曲线在工程测量中有广泛的应 用，当控制网略图和待定点的误差曲线用，当控制网略图和待定点的误差曲线 图图3.5-53.5-5 10 10 给出后，可根据这个图得到坐标平差值在任一方向的位差大给出后，可根据这个图得到坐标平差值在任一方向的位差大 小。如图小。如图3.5-63.5-6为控制网中为控制网中

10、P P点的点位误差曲线，点的点位误差曲线，A A、B B、C C为已为已 知点。由图知点。由图3.5-63.5-6可知，可知， ， ， ， 由图还可得到坐标平差值函数的中由图还可得到坐标平差值函数的中 误差。例如要想得到平差后方位角误差。例如要想得到平差后方位角 的中误差的中误差 ，可先从图中量出，可先从图中量出 垂直于垂直于PAPA方向上的位差方向上的位差 ，这是，这是 边的横向误差边的横向误差 ，则由下式可得，则由下式可得 图图3.5-63.5-6 上式中上式中 为为PAPA的长度。又如的长度。又如PBPB边长的中误差为边长的中误差为 。 Pa P x Pb P y EPc E FPd F

11、 PA PA Pg PA u PAPA u S Pg S PA PA S Pe PB S 11 11 2 2 误差椭圆误差椭圆 误差曲线作图不太方便，因此实用价值不高，为此可用误差曲线作图不太方便，因此实用价值不高，为此可用 形状与误差曲线很相似，以形状与误差曲线很相似，以E E、F F为长、短半轴的椭圆来代替为长、短半轴的椭圆来代替 它（如图它（如图3.5-73.5-7所示）。所示）。 此椭圆称点位误差椭圆，而此椭圆称点位误差椭圆，而 、E E、F F称为点位误差椭圆的元称为点位误差椭圆的元 素（参数）。误差椭圆与误差曲素（参数）。误差椭圆与误差曲 线的两个极值方向完全重合，其线的两个极值方

12、向完全重合，其 他各处两者差距也甚微，在点位他各处两者差距也甚微，在点位 误差椭圆上也可以图解出任意方误差椭圆上也可以图解出任意方 向向 的位差的位差 。其方法是：如图。其方法是：如图 3.5-73.5-7所示，自椭圆作所示，自椭圆作 方向的正交方向的正交 图图3.5-73.5-7 E 12 12 切线切线PDPD，P P为切点，为切点，D D为垂点，可以证明为垂点，可以证明 。从图。从图3.5-73.5-7 中可以看出，与中可以看出，与 相应在相应在 方向上误差椭圆的向径方向上误差椭圆的向径 ，由，由 于于 与与 相差很小，在估算控制网中可近似应用，一般不相差很小，在估算控制网中可近似应用，

13、一般不 作误差曲线。作误差曲线。 需要指出的是，在以上的讨论中，都是以一个待定点为需要指出的是，在以上的讨论中，都是以一个待定点为 例，说明了如何确定该点点位误差椭圆或点位误差曲线的问例，说明了如何确定该点点位误差椭圆或点位误差曲线的问 题。如果网中有多个待定点，也可以利用上述相同的方法，题。如果网中有多个待定点，也可以利用上述相同的方法， 为每一个待定点确定一个点位误差椭圆或点位误差曲线。为每一个待定点确定一个点位误差椭圆或点位误差曲线。 若平差采用间接平差法，设有若平差采用间接平差法，设有s s个待定点，则有个待定点，则有2s2s个坐标个坐标 未知数，其相应的协因数阵为式（未知数，其相应的

14、协因数阵为式（3.5-103.5-10）。为了计算第）。为了计算第i i点点点点 位误差椭圆的元素，则需用到位误差椭圆的元素，则需用到 、 和和 ，并按第一节中，并按第一节中 所述的方法，由式（所述的方法，由式（3.5-243.5-24）、式（）、式（3.5-183.5-18）和式（）和式（3.5-193.5-19）算）算 OD OD D O D O OD iix x Q iiy y Q iiy x Q 13 13 出出 、 、 ，然后，作出该点的点位误差椭圆。，然后，作出该点的点位误差椭圆。 另外还要指出，前面曾说明如何利用点位误差曲线从图另外还要指出，前面曾说明如何利用点位误差曲线从图 上

15、量出已知点与待定点之间的边长中误差，以及与该边相垂上量出已知点与待定点之间的边长中误差，以及与该边相垂 直的横向中误差，从而求出方位角中误差。如果网中有多个直的横向中误差，从而求出方位角中误差。如果网中有多个 待定点时，则可作出多个点位误差曲线，此时，也可利用这待定点时，则可作出多个点位误差曲线，此时，也可利用这 些点位误差曲线，确定已知点与任一待定点之间的边长中误些点位误差曲线，确定已知点与任一待定点之间的边长中误 差或方位角中误差，但不能确定待定点与待定点之间的边长差或方位角中误差，但不能确定待定点与待定点之间的边长 中误差或方位角中误差，这是因为这些待定点的坐标是相关中误差或方位角中误差

16、，这是因为这些待定点的坐标是相关 的。要解决这个问题，需要了解任意两个待定点间相对位置的。要解决这个问题，需要了解任意两个待定点间相对位置 的精度情况。的精度情况。 i E i E i F 返回本章首页 14 14 情景解答情景解答 : :(1)(1)计算计算P1P1点的误差椭圆的元素点的误差椭圆的元素 由由 得得 =58.68 =58.68 (2) (2)计算计算P2P2点的误差椭圆的元素点的误差椭圆的元素 由由 得得 = 64.33 = 64.33 518.-0 7569. 0-2677. 0 1267. 02 - 2 2tan 11 11 0 yx yx QQ Q 1 E 1 E 032

17、. 1K-)( 2 1 883. 1K)( 2 1 551. 04)-(K 101 101 2 2 1 11 11 1111 yx yx yxyx QQF QQE QQQ -1.1353 8624. 0-4912. 0 2106. 02 - 2 2tan 22 22 0 yx yx QQ Q 2 E 15 15 (3) (3) 计算计算P1P1与与P2P2点间的相对误差椭圆元素点间的相对误差椭圆元素 335. 1K-)( 2 1 076. 2K)( 2 1 561. 04)-(K 202 202 2 2 2 22 22 2222 yx yx yxyx QQF QQE QQQ 2941. 11883. 0 1883. 08713. 0