数学建模竞赛----基于多雷达目标定位的数学模型(1)21页

1、基于多雷达目标定位的数学模型(选作题号 A)摘要建立方程组把求雷达系统定位的最少雷达数量问题转化为以最少的方程个数n使该方程组具有唯一解，得出结论：1、当雷达站点不共线布置时，只需要三部雷达便可实现定位；2、当所有雷达位于一直线上时，无论雷达数目是多少，均只能获得目标在x或y方向的坐标，不能完全定位。对于问题二，我们采用微积分、概率论中的相关知识以及斜距离定位系统分析定位误差，建立了定位误差与测距误差和坐标误差的关系的微分方程模型。得到结果：采用三个雷达定位时，定位误差的期望值为0，方差与雷达的测距误差和坐标误差成线性关系。针对问题三，首先，建立了可选站址的定位算法模型，但此算法中雷达站址的选

2、择具有局限性。最后我们从概率统计的角度建立了基于最小方差的考虑误差非线性规划定位算法模型，并在具体实施中对算法进行化简，较好地解决了问题中的三组数据目标定位，得出的相应目标飞行物坐标为（-25292，6292，24003），（-28138，4315，23941），（-25461，6217，23765），并通过对结果的误差比较，给出了影响误差的因素及算法的评价。以问题二对定位精度的分析为基础，进一步通过对定位误差分析计算并参考有关资料，给出了如下一些控制精度的建议：1、 采用先进技术,减小测距误差和站点坐标误差；2、适当增加相邻雷达站间距离；3、合理布置雷达站点空间分布；4、适当增加雷达站的数量

3、。 在完成所有模型的建立与求解之后，我们还对模型优劣进行了比较分析和评价，并提出了相应的改进和完善的方向，并把模型进行推广使用。关键字: 目标定位 定位误差 微分方程 坐标误差 一、 问题的提出在电子对抗领域，对辐射源位置信息侦察越精确，就越有助于对辐射源进行有效的战场情报信息获取和电子干扰，并为最终摧毁目标提供有力的保障。在某地上空发现有一可疑的飞行物，需要对其进行精确定位。常用的定位方法是基于多基雷达的测量方法。每个雷达都可以测量自身的坐标以及它到飞行物距离，其中为雷达的总数。通过一组雷达位置坐标和飞行物到各雷达的距离测量，我们可以确定目标的空间飞行物的坐标。由于每个雷达在测量自身坐标和飞

4、行物到各雷达的距离都存在测量误差，这给精确定位带来了困难。如何选取合适的方法进行精确定位是目前对飞行物进行精确定位一个难点。假设距离误差服从正态分布，坐标误差服从正态分布。在这个假定下完要我们成以下工作。1、 至少需要几个雷达才能定位飞行物？2、 在最少雷达的条件下，分析并比较距离误差和坐标误差对定位精度的影响。3、 在实际情况中，往往使用更多雷达进行精确定位，请设计一种定位算法。对以下三组雷达得到的测量数据，计算飞行物的坐标。（数据见附件一）四、试给出控制雷达定位精度的建议。二、问题分析 由题目我们可以知道，常用的定位方法是基于多基雷达的测量方法。每个雷达都可以测量自身的坐标以及它到飞行物距

5、离，其中为雷达的总数。通过一组雷达位置坐标和飞行物到各雷达的距离测量，我们可以 确定目标的空间飞行物的坐标。通过图2-1我们可以看到在空间坐标图 2-1 ：单个雷达定位飞行物示意图系中一个雷达自身的坐标，雷达到飞行物的距离和空间飞行物的位置坐标三者之间的空间关系。根据对题目的理解对所提出的四个问题逐一分析。1、针对问题一，可以把最少需要多少个雷达才能定位飞行物的问题转化为以方程组中最少的方程个数n使该方程组具有唯一解,该唯一解即为我们要求的飞行物定位坐标。2、针对问题二，在最少雷达条件下已经知道距离误差服从正态分布，坐标误差服从正态分布，在使用最少雷达（也即三部雷达）的条件下，为了分析并比较距

6、离误差和坐标误差对定位精度Q的影响，我们必须首先找到距离误差和坐标误差与最终的定位误差dx之间的关系,通过建立对两种误差的分析模型定量定性地描述距离误差和坐标误差对定位精度的影响。3、针对问题三，根据题目中提供的数据，通过对数据的筛选分析，得到飞行物坐标变量与所提供数据之间的联系，建立一种计算飞行物坐标的算法模型，最终较为准确的得到飞行物的定位坐标。4、对于问题四，可以通过本题目中对前三个问题所得结果的的总结和分析，找到尽量减小定位误差的方法，并通过查阅与提高雷达定位精度相关的资料，得到影响雷达定位精度的多方面因素，从而全面地提出提高雷达定位精度的合理建议。三、模型假设1、各雷达组在地表的同一

7、平面上，忽略地球曲率的影响。2、在雷达对飞行物坐标进行测量时，我们认为飞行物在测量时段内处于静止状态，也就是说，误差的产生只与雷达自身有关，而与飞行物无关。3、在空间位置上，根据雷达测距原理，我们假定雷达均处于飞行物的下方。4、被测目标所在位置与xoy平面距离较远（远远大于坐标误差和距离误差）。5、假定各雷达站点站点坐标在各方向上的误差均相互独立，各测量的距离误差均相互独立，而且与站点坐标误差相互独立。6、距离误差服从正态分布，坐标误差服从正态分布。7、不考虑雷达及目标飞行物的形状大小，认为其位置为对应坐标系的一点。四、符号约定4-1 目标飞行物的轴坐标4-2 目标飞行物的轴坐标4-3 目标飞

8、行物的轴坐标4-4 第i个雷达站的轴坐标4-5 第i个雷达站的轴坐标4-6 第i个雷达站的轴坐标4-7第i个雷达自身的坐标4-8 第i个雷达到飞行物的距离4-9 飞行物的坐标误差 4-10 飞行物到雷达的距离函数 4-11 飞行物的定位精度4-12 x轴方向定位误差五、模型的建立与求解5-1 求雷达系统定位的最少雷达数量 设至少需要i个雷达才可以定位飞行物，由下面的方程组则可以解出 (x,y,z) （式1.1） 确定目标位置需要确定三个方向上的坐标，故至少需要三个方程才能解出定位点(x,y,z)，即至少三个雷达，根据三个雷达的测得数据可以得到如下方程组： （式1.2）分两种情况进行讨论：（1）

9、三部雷达在一条直线上 此时可通过坐标转换将雷达的x方向坐标定义在此直线上，即；由于目标点和雷达的相对位置关系不变，因此转换坐标系对定位没有影响，此时有方程组：（式1.3）观察式(1.2)可知，此时只能解出x,，无法解出y和z的值；在这种情况下，若增加雷达数目，由式(1.1)可知仍不能求解出y和z的值，即当雷达所在站点共线时，无法对目标定位。 （2）三部雷达不共线 此时，由式(1.1)可确定方程组的唯一解(x,y,z)，即能够实现对目标点的定位。 综上，至少需要三部不共线的雷达才能实现定位。假设有三部雷达坐标为它们所测量的到飞行物的距离为 化简后可以得到x,y的系数矩阵为：相应的行列式为：可以用

10、Matlab软件解得x，y，z的值，程序为：syms x1 x2 x3 y1 y2 y3 z1 z2 z3 r1 r2 r3 x y z;x,y,z=solve(x1-x)2+(y1-y)2+(z1-z)2=r12,(x2-x)2+(y2-y)2+(z2-z)2=r22,(x3-x)2+(y3-y)2+(z3-z)2=r32)5-2距离误差和坐标误差对定位精度的影响。5-2-1问题的分析与模型建立：在使用最少雷达（也即三部雷达）的条件下，为了分析并比较距离误差和坐标误差对定位精度的影响，我们必须首先找到距离误差和坐标误差与最终的定位误差之间的关系。为此，在假设由每组测量数据可以得到目标的一个存

11、在误差的方位的前提下，我们首先进行以下推导：易知各测量站测得的目标距离: (式5.2.1)而且可设 (式5.2.2)对式2.1进行全微分可得 (式5.2.3)求偏导数可得 (式5.2.4) 因此有 (式5.2.5)式2.5中 (式5.2.6)而 (式5.2.7)将式2.5移项后有 (式5.2.8)可解得 （式5.2.9）其中 （式5.2.10）将式2.4与式2.7带入式2.9以后可得 （式5.2.11）故可得 （式5.2.12）至此，距离误差和坐标误差与最终的定位误差x之间的关系已经被找到如式5.2.12.5.2.2模型求解与分析：首先从数学期望的角度进行分析。由于式5.2.12中的、（）在飞

12、行物与雷达站的实际位置确定后即为常数，故误差的影响只体现在这一部分上。然而由于距离误差和坐标误差均服从均值为0的正态分布，故也即 （式5.2.13）因此，从误差对准确结果的测得的平均影响程度来说，距离误差和坐标误差两者对结果的影响程度是一样的，而且均为0，即没有影响。换句话说，三个雷达站中的每一个对处在同一位置的物体以及自身的坐标进行足够多次的测量以后，其自身坐标与测得的飞行物的距离已十分接近准确值。再用这三组准确值代入式2.1进行计算，所得的目标物的位置也即为准确值。事实上，由于距离误差和坐标误差均服从均值为0的正态分布，每一次测量的距离误差落在的概率可以达到99.7%，而落在的概率也可达到

13、95.4%，而且坐标误差也有类似的规律。因此，只要与足够小，我们并不需要测量很多次就可使结果的均值的误差相当的小。在实际当中，由于所测物体是在不断移动的，这就造成单个雷达对处在同一位置的物体进行多次测量是完全不现实，甚至是不可能的。因此，对单个雷达从期望的角度对其测量误差进行考量并没有很大意义。下面，我们继续从方差的角度进行考虑。由于、 、 的表达形式具有相似性，在此仅以为例进行考察。由于三个雷达站的坐标是相互独立的，而且、，故 （式5.2.14）而且 （式2.15）又由式2.1可得 故代入式2.14有 （式5.2.16）综上所述，可得类推可得 而 也即有 （式5.2.17）由于、过于复杂，在

14、此暂不对其对结果的影响进行分析。从剩余的部分可以看出，最后结果的方差与测距误差和坐标误差的方差有着直接的关系，而且是线性关系。总结上述分析，为了使三个雷达在单次测量中得到较为精确的结果，我们必须想方设法减小测距误差和坐标误差的方差，使雷达每次测量的误差都不能与精确值偏离太大，否则单次测量的误差完全无法估计，得到的数据将是毫无意义的，根本无法对飞行物进行精确的定位。5.3. 两种定位算法及模型5.3.1. 可选站址的定位算法5.3.1.1. 算法原理由多基雷达系统定位原理可知，以各个雷达坐标由圆心，到目标飞行物的距离为相应的半径的n 个球面在空中相交点即确定了目标位置。下面对（1）式进行进一步分

15、析：当n 4时，由式（1）表达的(n -1)个方程可写成如下的矢量矩阵形式或写成 AC= f其中由此，可以通过选择合适的站址，使rank(A)=3,由上式可解得目标位置估计值定义： 则得到目标位置估值的三个分量为5.3.1.2 算法优缺点分析1.算法优点此算法的原理是通过一般的矩阵AC= f ，得出目标位置估计值，及分量，所以，在满足算法条件的前提下，算法能在软件较容易地实现，并得到比较好的结果。2.算法缺点要实现此算法，需满足雷达站址可选择这个条件，而根据题目条件及问题要求，无法用此算法解决问题三。5.3.2基于最小方差的考虑误差非线性规划定位算法5.3.2.1 算法原理及模型建立1.以距离

16、测量误差代替总测量误差由于每个雷达在测量自身坐标和飞行物到各雷达的距离都存在测量误差，导致目标位置到雷达的真实距离与测量距离存在大小不一的差值。显然，在此种状态下，通过雷达的测量数据是无法对目标精确定位的，而只能建立一定的误差标准，结合数据给出目标位置的估计值。雷达的距离测量误差具体服从正态分布，坐标误差服从正态分布，经过对问题二的分析可知，坐标误差对精度的影响可以转化为距离测量误差对精度的影响，即分析坐标误差所带来的距离误差，所以可结合两种误差，可认为总的测量误差e 服从正态分布 ，可记作；其中，0 l 1为比例系数，的大小具体由雷达系统布局与目标飞行物的空间相对位置确定。由于 是 的线性函

17、数，而且系数小于1，在某些雷达布局下，的取值为接近0的数，所以，下面的推理过程只考虑距离测量误差 对精度的影响，以达到距离测量误差 的概率密度函数之积最小，得出相应的结果。至于总测量误差对精度的影响，可以通过对最后的误差乘以系数(1+ )及适当处理得到。2.概率密度模型首先，可以认为个雷达的测量误差是相互独立的，由此服从同一正态分布，现考虑，距离测量误差 ，根据题目条件可知 服从正态分布，即，所以 以函数为其概率密度函数，其中r为目标飞行物到雷达的真实距离与测量距离差；可写出各雷达的真实距离与测量距离差的表达式根据概率统计的相关知识，目标位置应该的坐标应该落在各雷达距离误差的概率密度函数之积最

18、大的地方最为合理.由此可建立目标函数S ，表示各雷达距离测量误差的概率密度函数之乘积：分析其约束条件为s.t.z 03.问题等价转换下的模型简化首先，上述概率密度模型，是在充分考虑误差服从正态分布的情况下建立的，把使得各雷达距离测量误差的概率密度函数之乘积最小的( x, y, z) 作为目标飞行物的位置坐标，可以认为结果是十分合理的；不过，由目标函数S 的表达式可知，不仅表达式本身很复杂，而且在算法实现的过程中，首先需要对参数进行初值估算，才能给出有效的结果，而这一点，在未知结果的情况下，往往是难以做到的；就此，可从目标函数S 的表达式入手，展开具体分析参数间的内在关系，在实现效果相同的情况下

19、，对原来的模型进行简化；步骤如下：第i 个雷达距离测量误差的概率密度函数为目标函数展开定义新的目标函数据此，求目标函数S 的最大值问题等价于求目标函数S 的最小值问题，进而可以使原来的概率密度模型得到简化。4.基于最小方差的非线性规划定位算法模型由以上的分析，原来的概率密度模型可转化为如下的以目标位置坐标( x, y, z) 到各个雷达 距离与测量距离只差r ( i) e 的平方和最小为标准的非线性规划模型，得出目标位置的估计值，对约束条件分析可知，目标位置的x 坐标、y 坐标并没约束， z 坐标约束为z 0综述，建立此算法的非线性规划数学模型：5.3.2.2 算法实现及模型求解本文在Matl

20、ab软件上编程实现此算法，用到软件中函数库的fminunc函数来具体实现非线性规划的优化，在求解过程中，需要预先估计中目标位置的初始值。下表为通过合理选取目标位置坐标初值= (-20000,5000,20000) ，并利用题中所给的三组雷达测量数据，求解得出的相应较优化结果1.各组数据目标位置坐标( x, y, z) 结果，及目标函数S 的值：2.三组数据各雷达距离测量误差r (i) e分布：5.3.2.3 结果分析与检验1.初值选取的依赖性对测量数据一，改变初值 ，得出相应结果通过改变坐标初值 的给定，发现得出的结果也有相应的变化，在某些初值条件的结果甚至与真实值相差甚远。由此可知，算法对于

21、初值的选定由一定的依赖性，经过反复调试，得出如下结论：a.出现对初值选取的依赖及结果不收敛是因为算法实现时用到的fminunc 函数是通过迭代方法求目标函数局部最优解所造成的。b. 尽管结果对初值选取有一定的依赖性，但可以通过观察目标函数S 的大小来判断给出的结果是否合理，并通过逐步改进初值的方法，最终找到较优化的结果。c.当给定的位置坐标初值在此范围内 时，可以认为给出的结果为较合理的结果，其中上述的范围限定只是一种保守的大概估计，当坐标初值取值在上述范围外，即有可能出现结果甚至与真实值相差甚远的情况。2.误差分析由算法给出的三组数据结果的定位精度达到1 米的数量级；比较三组数据结果，发现第

22、一组数据的求算结果最好，距离误差的最小方差为S =8.2087，即定位精度的误差小于2.5-3 米，可认为已经达到了比较高的精度；第二、第三组数据的距离误差的最小方差分别为47.0783，81.6301，即可以认为相应的地位精度误差在6-8 米，8-10 米之间；通过比较三组数据的雷达站址坐标的不同，可以对造成三组数据结果误差不一的原因，给出下列解释：a.第一组数据中的雷达站址网点分布相对分散，雷达数目较多，从而有可能使得部分雷达的测量误差的一部分得到抵消，这种效果使最终的总误差较小；b.第三组数据很明显雷达站点相对比较少，只有12 个，站址分布较集中，使得最终的测量误差较大；5.3.2.4

23、算法优缺点分析模型优点：a. 理论分析方面，本算法是在结合了题目给出的误差服从正态分布条件，由概率密度模型简化而来的，具有较强的针对性，比较合理地解决本题目给出的问题。b. 经简化了的本算法，能比较容易地在Matlab 等软件上实现，且实现了自动读取数据，给出位置坐标及最小方差的功能，可行性很强且具有一定的推广应用价值。c. 从得出的结果也能看出，算法所给出结果的精度达到1 米的数量级，可以认为结果是相对精确的。模型缺点：本算法忽略了坐标测量误差的影响，以距离误差对精度的影响来替代总误差对精度的影响，这样做所带来的误差大小取值是根据雷达布局与目标飞行物的空间相对位置决定的，当在雷达分布比较对称

24、，飞行物位于所有雷达覆盖面的中轴上空时，误差影响很小，可忽略不计，但当雷达、目标的空间位置关系不满足这种形状且相差比较大时，由于不考虑坐标误差所导致的结果误差会比较大。5-4 控制定位精度的建议5-4-1通过提高测量精度来提高雷达定位精度 测量值直接用于雷达定位的计算，由于测量量不单一，通过不确定度传递会使误差值增大，导致最终计算结果误差偏大，无法实现精确定位。 措施：提高雷达自身精度，分析考虑外界因素的影响（如大气层对电磁波的影响，地球曲率对所建立的坐标的影响等）。 5-4-2通过雷达合理布站来提高定位精度（1）通过增加雷达数目来提高定位精度 通过计算结果分析，第一组和第二组雷达定位的精度明

25、显大于第三组雷达定位的精度。这是因为在测量的过程中不可避免的存在不确定性因素和误差，而只有较少的测量数据就使得计算结果有较大的不确定性和偶然误差，这就使得定位结果偏离真实值较远而使雷达定位不准确。如果有较多的测量数据就会将这种不确定因素得以减弱，偶然误差得以减小，从而使得定位较精确。所以在要求高精度定位的情况下一定要保证雷达的数目。 （2）定雷达数条件下的合理布站 在雷达数一定的前提下，雷达的布阵面积也会对雷达组的定位精度产生相应的影响。在较分散的雷达组中，雷达组的受控面积较大，但在测区内，测量精度较集中布阵会有所降低。所以集中式布阵常用于小范围高精度监控，分散式布阵常用于大范围测控。 （3）

26、雷达排布形状对定位精度的影响在不能确定飞行物的方位和飞行方向时，可以将雷达按正方形布阵，这样就能在所有方位上都有较高的定位精度，同时还减少了雷达的盲区。 （4）地理环境和外部环境的影响为了使雷达能有更大的监控区域和更广阔的视野，在不考虑雷达的隐蔽性和安全的情况下，应该将雷达尽量布置在较高的地方，这样可以减少周围环境和地形对雷达的定位精度和监控区域的影响。此外，雷达应尽量远离电磁波辐射较强的区域，避免额外电磁波对反射电磁波的干扰。 综上所述，在实际的雷达排布中应根据具体情况来按照上面所给的建议交叉布阵。六、模型的评价及改进6-1模型优点： 1.模型通俗易懂，模型的结果可以通过Matlab等软件计

27、算获得。 2.模型应用范围广，可推广到很多领域，如GPS全球定位系统。 3.准确性高，通过三基雷达雷达子系统可确定多组值，得到雷达距离误差和坐标误差与影响定位精度的关系，以便为采取体噶定位精度的方案提供科学依据。4.理论分析方面，基于最小方差的考虑误差非线性规划定位算法模型是在结合了题目给出的误差服从正态分布条件，由概率密度模型简化而来的，具有较强的针对性，比较合理地解决本题目给出的问题。 6-2模型缺点： 1.数据多，而且所得的数据本身就有测量上的误差，较多因素未考虑进去，没有考虑各个因素之间的关系，认为他们彼此独立，虽然简化了模型，但是降低了其结果的精确性。 2.雷达布置的要求按有规定计算

28、的位置，具有一定的局限性，在现实应用中可能达不到设计的布置要求而影响定位精度。3. 基于最小方差的考虑误差非线性规划定位算法模型忽略了坐标测量误差的影响，以距离误差对精度的影响来替代总误差对精度的影响，这样做所带来的误差大小取值是根据雷达布局与目标飞行物的空间相对位置决定的，当在雷达分布比较对称，飞行物位于所有雷达覆盖面的中轴上空时，误差影响很小，可忽略不计，但当雷达、目标的空间位置关系不满足这种形状且相差比较大时，由于不考虑坐标误差所导致的结果误差会比较大七、参考文献1 刘琼荪，龚劬，何中市，傅鹂，任善强，数学实验，北京：高等教育出版社，20042 姜启源，谢金星，叶俊，数学模型，北京：高等

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