高中数学必修4平面向量典型例题与提高题

1、 平面向量【基本概念与公式】 【任何时候写向量时都要带箭头】1.向量：既有大小又有方向的量。记作：或。2.向量的模：向量的大小（或长度），记作：或。3.单位向量：长度为1的向量。若是单位向量，则。4.零向量：长度为0的向量。记作：。【方向是任意的，且与任意向量平行】5.平行向量（共线向量）：方向相同或相反的向量。6.相等向量：长度和方向都相同的向量。7.相反向量：长度相等，方向相反的向量。8.三角形法则：；（指向被减数）9.平行四边形法则： 以为临边的平行四边形的两条对角线分别为，。10.共线定理：。当时，同向；当时，反向。11.基底：任意不共线的两个向量称为一组基底。12.向量的模：若，则，

2、13.数量积与夹角公式：； 14.平行与垂直：；题型1.基本概念判断正误：（1）若与共线， 与共线，则与共线。 （2）若，则。（3）若，则。 （4）若与不共线，则与都不是零向量。（5）若，则。 （6）若，则。题型2.向量的加减运算4.已知的和向量，且，则 ， 。5.已知点C在线段AB上，且,则 ， 。题型3.向量的数乘运算2.已知，则 。题型4根据图形由已知向量求未知向量1.已知在中，是的中点，请用向量表示。2.在平行四边形中，已知，求。题型5.向量的坐标运算6.已知，则 。7.已知是坐标原点，且，求的坐标。题型6.判断两个向量能否作为一组基底1.已知是平面内的一组基底，判断下列每组向量是否能

3、构成一组基底：A. B. C. D.题型7.结合三角函数求向量坐标1.已知是坐标原点，点在第二象限，求的坐标。题型8.求数量积1.已知，且与的夹角为，求（1），（2），（3），（4）。题型9.求向量的夹角3.已知，求。题型10.求向量的模1已知向量与的夹角为，定义为与的“向量积”，且是一个向量，它的长度|=|sin，若=（2，0），=（1，），则|（+）|=（）A4BC6D21.已知，且与的夹角为，求（1），（2）。3.已知，求。题型11.求单位向量 【与平行的单位向量：】1.与平行的单位向量是 2.与平行的单位向量是 。题型12.向量的平行与垂直1.已知，（1）为何值时，向量与垂直？（2）为

4、何值时向量与平行？2.已知是非零向量，且，求证：。3若向量=（2cos，1），=（，tan），且，则sin=（）ABCD题型13.三点共线问题3.已知，则一定共线的三点是 。4.已知，若点在直线上，求的值。5.已知四个点的坐标，是否存在常数，使成立？题型14.判断多边形的形状1已知P为三角形ABC内部任一点（不包括边界），且满足(）（+2）=0，则ABC的形状一定为（）A等边三角形B直角三角形C钝三角形D等腰三角形2.在平面直角坐标系内，,求证：是等腰直角三角形。题型15.平面向量的综合应用1.已知，（1）若与的夹角为钝角，求的范围；（2）若与的夹角为锐角，求的范围。2.已知三个顶点的坐标分别

5、为，（1）若，求的值；（2）若，求的值。提高题1设向量=，=不共线，且|+|=1，|=3，则OAB的形状是（）A等边三角形B直角三角形C锐角三角形D钝角三角形2已知点G是ABC的重心，若A=，=3，则|的最小值为（）ABCD23如图，各棱长都为2的四面体ABCD中，=，=2，则向量=（）ABCD4已知函数f（x）=sin（2x+）的部分图象如图所示，点B，C是该图象与x轴的交点，过点C的直线与该图象交于D，E两点，则（）的值为（）ABC1D25已知P为三角形ABC内部任一点（不包括边界），且满足(）（+2）=0，则ABC的形状一定为（）A等边三角形B直角三角形C钝三角形D等腰三角形6如图所示，设P为ABC所在平面内的一点，并且=+，则ABP与ABC的面积之比等于（）ABCD7在ABC中，|AB|=3，|AC|=2，=，则直线AD通过ABC的（）A垂心B外心C重心D内心8在ABC中，BAC=60，AB=2，AC=1，E，F为边BC的三等分点，则=（）ABCD（向量数量积的运算坐标化）9已知空间向量满足，且的夹角为，O为空间直角坐标系的原点，点A、B满足，则OAB的面积为（）ABCD10已知向量=（cos，sin）和（1）若，求角的集合；（2）若，且|=，求的值11已知向量且，函数f（x）=2（I）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间；（II）若，分别求tanx