5空间曲线及其方程PPT学习教案

1、会计学1 5空间曲线及其方程空间曲线及其方程 例1 方程组 表示怎样的曲线？ 6332 1 22 zyx yx 解 1 22 yx 表示圆柱面， 6332 zyx 表示平面， 6332 1 22 zyx yx 交线为椭圆. 第1页/共19页 例2 方程组 表示怎样的曲线？ 4 ) 2 ( 2 22 222 a y a x yxaz 解 222 yxaz 上半球面, 4 ) 2 ( 2 22 a y a x 圆柱面, 交线如图. 第2页/共19页 )( )( )( tzz tyy txx 当当给给定定 1 tt 时时，就就得得到到曲曲线线上上的的一一个个点点 ),( 111 zyx，随随着着参参

2、数数的的变变化化可可得得到到曲曲线线上上的的全全 部部点点. 空间曲线的参数方程 二、空间曲线的参数方程 第3页/共19页 动点从A点出发，经过t时间，运动到M点 例例 3 3 如果空间一点如果空间一点M在圆柱面在圆柱面 222 ayx 上以上以 角速度角速度 绕绕z轴旋转，同时又以线速度轴旋转，同时又以线速度v沿平行于沿平行于z 轴的正方向上升（其中轴的正方向上升（其中 、v都是常数），那么点都是常数），那么点 M构成的图形叫做构成的图形叫做螺旋线螺旋线试建立其参数方程试建立其参数方程 A M M M在在xoy面的投影面的投影)0 ,(yx M tax cos tay sin vtz t 螺

3、旋线的参数方程 取时间t为参数， 解 x y z o 第4页/共19页 螺旋线的参数方程还可以写为 bz ay ax sin cos ),( v bt 螺旋线的重要性质： ,: 00 ,: 00 bbbz 上升的高度与转过的角度成正比 即 上升的高度 bh2 螺距 ,2 第5页/共19页 0),( 0),( zyxG zyxF 消去变量z后得： 0),( yxH 曲线关于 的投影柱面 xoy 设空间曲线的一般方程： 以此空间曲线为准线，垂直于所投影的坐标面. 投影柱面的特征： 三、空间曲线在坐标面上的投影 第6页/共19页 如图:投影曲线的研究过程. 空间曲线投影曲线投影柱面 第7页/共19页

4、 类似地：可定义空间曲线在其他坐标面上的投影 0 0),( x zyR 0 0),( y zxT 面上的投影曲线, yoz 面上的投影曲线, xoz 0 0),( z yxH 空间曲线在 面上的投影曲线 xoy 第8页/共19页 例4 求曲线 在坐标面上的投影. 2 1 1 222 z zyx 解 （1）消去变量z后得 , 4 3 22 yx 在 面上的投影为 xoy , 0 4 3 22 z yx 第9页/共19页 所以在 面上的投影为线段. xoz ; 2 3 |, 0 2 1 x y z （3）同理在 面上的投影也为线段. yoz . 2 3 |, 0 2 1 y x z （2）因为曲线

5、在平面 上， 2 1 z 第10页/共19页 例例5 5 求抛物面求抛物面xzy 22 与平面与平面 02 zyx 的截线在三个坐标面上的投影曲线方程的截线在三个坐标面上的投影曲线方程. 截线方程为 02 22 zyx xzy 解 如图, 第11页/共19页 （2）消去）消去y得投影得投影, 0 0425 22 y xxzzx （3）消消去去x得得投投影影. 0 02 22 x zyzy （1）消消去去z得得投投影影 , 0 045 22 z xxyyx 第12页/共19页 补充: 空间立体或曲面在坐标面上的投影. 空间立体 曲面 第13页/共19页 例6 . ,)(3 4, 22 22 面上

6、的投影面上的投影 求它在求它在锥面所围成锥面所围成和和 由上半球面由上半球面设一个立体设一个立体 xoyyxz yxz 解 半球面和锥面的交线为 , )(3 ,4 : 22 22 yxz yxz C , 1 22 yxz 得投影柱面得投影柱面消去消去 第14页/共19页 面上的投影为面上的投影为在在则交线则交线xoyC . 0 , 1 22 z yx 一个圆, 面上的投影为面上的投影为所求立体在所求立体在 xoy . 1 22 yx 第15页/共19页 空间曲线的一般方程、参数方程 四、小结 空间曲线在坐标面上的投影 0),( 0),( zyxG zyxF )( )( )( tzz tyy txx 0 0),( z yxH 0 0),( x zyR 0 0),( y zxT 第16页/共19页 思考题 求求椭椭圆圆抛抛物物面面zxy 22 2与与抛抛物物柱柱面面 zx 2 2的的交交线线关关于于xoy面面的的投投影影柱柱面面和和 在在xoy面面上上的的投投影影曲曲线线方方程程. 第