问题的提出定积分的定义定积分的几何意义四PPT学习教案

1、会计学1 问题的提出定积分的定义定积分的几何问题的提出定积分的定义定积分的几何 意义四意义四 1 1 求平面图形的面积求平面图形的面积 一、问题的提出一、问题的提出 会求梯形的面积，会求梯形的面积， 曲边曲边梯形梯形的面积怎样求？的面积怎样求？ 若会，则可求出各平面图形的面积。若会，则可求出各平面图形的面积。 考虑如下曲边梯形面积的求法。考虑如下曲边梯形面积的求法。 a bx y o ? A )(xfy 第1页/共36页 a bx y o a bx y o 思路：思路：用已知代未知，利用极限由近似到精确。用已知代未知，利用极限由近似到精确。 一般地，小矩形越多，小矩形面积和越接近曲一般地，小矩

2、形越多，小矩形面积和越接近曲 边梯形面积边梯形面积 （四个小矩形）（四个小矩形）（九个小矩形）（九个小矩形） 用用矩形矩形面积面积近似近似曲边梯形曲边梯形面积：面积： 第2页/共36页 观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系 第3页/共36页 观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系 第4页/共36页 观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩

3、形面积和与曲边梯形面积的关系 第5页/共36页 观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系 第6页/共36页 观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系 第7页/共36页 观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系 第8页/共36页 观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边

4、梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系 第9页/共36页 观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系 第10页/共36页 观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系 第11页/共36页 观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系 第12页/共36页 观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细

5、时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系 第13页/共36页 观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系 第14页/共36页 观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系 第15页/共36页 观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系 第16页/共36页 观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列

6、演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系 第17页/共36页 曲边梯形面积的计算：曲边梯形面积的计算： a b x y o i x 1 x 1 i x 1 n x ; , , 1 1 iii ii xxx xx nba 为为 ，长长度度区区间间 个个小小分分成成把把 ，任任取取一一点点 上上在在每每个个 i ii xx , 1 iii xfA )( 为为高高的的小小矩矩形形面面积积为为为为底底，以以)(, 1iii fxx i , , 1210 bxxxxxa ba nn 内插入若干个分点，内插入若干个分点，在在 第18页/共36页 i n i

7、 i xfA )( 1 曲边梯形面积的近似值为曲边梯形面积的近似值为 ,)( 1 Axf i n i i 时时， 即即小小区区间间的的最最大大长长度度当当分分割割无无限限加加细细 0,max , 21 n xxx 有，小矩形面积和有，小矩形面积和 。：即有即有 i n i i xfA )(lim 1 0 曲边梯形面积计算公式曲边梯形面积计算公式 第19页/共36页 2 2 、 求变速直线运动的路程求变速直线运动的路程 设某物体作设某物体作变速变速直线运动，已知速度直线运动，已知速度 v=v(t) 是时间是时间 间隔间隔 T1, T2 上上 t 的一个的一个连续连续函数，且函数，且 0)( tv

8、，求物，求物 体在这段时间内所经过的路程体在这段时间内所经过的路程. 思路思路：把整段时间分割成若干小段，每小段上速度把整段时间分割成若干小段，每小段上速度 以其中某时刻的速度来近似，求出各小段上路程的以其中某时刻的速度来近似，求出各小段上路程的 近似值，再相加，便得到总路程的近似值，最后通近似值，再相加，便得到总路程的近似值，最后通 过对时间的无限细分过程求得总路程的精确值过对时间的无限细分过程求得总路程的精确值 第20页/共36页 （1）分割：）分割： 212101 TtttttT nn 1 iii ttt iii tvs )( 部分路程值部分路程值某时刻的速度某时刻的速度 ii n i

9、tvs )( 1 ,max 21n ttt 记记 i n i i tvs )(lim 1 0 路程的精确值路程的精确值 （2）求和：）求和： （3）取极限：）取极限： 许多问题都会遇到这类形式的许多问题都会遇到这类形式的和式极限和式极限。 第21页/共36页 记记,max 21n xxx ， 在在,ba中中任任意意插插入入分分点点 bxxxxxa nn 1210 , 1iii xx ， 并求和并求和 ii n i xfS )( 1 ， 二、定积分的定义二、定积分的定义 定义定义 第22页/共36页 b a Idxxf)( ii n i xf )(lim 1 0 被积函数被积函数 被积表达式被积

10、表达式 积分变量积分变量 .,积分区间ba 也不论在小区间也不论在小区间, 1ii xx 上上 点点 i怎怎样样的的取取法法， 只只要要 ， 总总有有 S 趋趋于于确确定定的的极极限限 I， 就就称称 f 在在 a,b 上上可可积积，并并称称 I 为为f 在在a,b上上的的定定积积分分， 记为记为 积分上限积分上限 积分下限积分下限 积分和积分和 如果如果不论对不论对 a, ,b 怎样的分法怎样的分法， 第23页/共36页 注：注： （1） 积分仅与被积函数及积分区间有关，积分仅与被积函数及积分区间有关， b a dxxf)( b a dttf)( b a duuf)( （2）定定义义中中区区

11、间间的的分分法法和和 i的的取取法法是是任任意意的的. 而而与与积积分分变变量量的的字字母母的的选选择择无无关关. . （3）定积分与被积函数在积分区间上）定积分与被积函数在积分区间上有限有限个点处的定个点处的定 义无关义无关. 第24页/共36页 1 1、可积的、可积的充分充分条件条件 2 2、可积的、可积的必要必要条件条件 存在定理存在定理 ,ba上上有有界界。 第25页/共36页 , 0)( xf b a Adxxf)(为曲边梯形的面积；为曲边梯形的面积； , 0)( xf b a Adxxf)(为曲边梯形的面积的负值为曲边梯形的面积的负值。 三、定积分的几何意义三、定积分的几何意义 一

12、般地一般地 。数数和和，即即之之间间的的各各部部分分面面积积的的代代 及及直直线线轴轴、曲曲线线为为介介于于 面面积积 有有向向bxax xfyxdxxf b a , )( )( 第26页/共36页 例例1 1 计算计算. 1 0 dxe x 解解 xde x 1 0 i n i i xe 0 lim 为为便便于于计计算算， ),( 1 即即左左端端点点并并取取 n i i 则则 n e n i n i n 1 lim 1 1 n xi 1 n 10 等分，于是等分，于是，把区间把区间 )( 1 lim 121 0 n n nn n eeee n 第27页/共36页 .1 e 连连续续 t t

13、e e 1 lim)1( 0 0 0 1 1 lim)1( 1 n e n e n n n e e n 1 1 11 lim 1 lim)1( 0 t te t e n t 1 第28页/共36页 四、定积分的性质四、定积分的性质 补充规定补充规定: （1）当）当ba 时，时，0)( b a dxxf； （2）当当ba 时时， a b b a dxxfdxxf)()(. 说明说明 在下面的性质中，假定定积分都存在，且不在下面的性质中，假定定积分都存在，且不 考虑积分上下限的大小考虑积分上下限的大小 第29页/共36页 b a dxxgxf)()( b a dxxf)( b a dxxg)(.性

14、质性质1 1 b a b a dxxfkdxxkf)()( (k 为常数为常数). 性质性质2 2 .)()()()( b a b a b a dxxghdxxfkdxxhgxkf （k、h 为常数为常数). 性质性质1与与2合为定积分的合为定积分的线性性质线性性质: 性质性质3 3（关于积分区间的可加性关于积分区间的可加性） 对对bca ，有有 b a dxxf)( b c c a dxxfdxxf)()(. 第30页/共36页 dx b a 1dx b a ab . 则则0)( dxxf b a . . 性质性质4 4 如如果果在在区区间间,ba上上0)( xf， 推论推论1 1（比较定理

15、比较定理） 则则dxxf b a )( dxxg b a )(. . 如如果果在在区区间间,ba上上)()(xgxf ， dxxf b a )(dxxf b a )(. )(ba 性质性质5 5（保号性保号性） 推论推论2 2 第31页/共36页 解解,0, 2 , xxe x dxe x 0 2 , 0 2 dxx dxe x 2 0 . 2 0 dxx 第32页/共36页 （此性质可用于估计积分值的大致范围）（此性质可用于估计积分值的大致范围） 则则 )()()(abMdxxfabm b a . . 性质性质6 6 （估值不等式估值不等式） 解解, , 0时时当当 x, 1sin0 3 x

16、 , 3 1 sin3 1 4 1 3 x , 3 1 sin3 1 4 1 03 dx x . 3 sin3 1 4 03 dx x 第33页/共36页 如如果果)(xf Ca,b，则则存存在在 ,ba，使使得得 dxxf b a )()(abf . . 性质性质7 7（积分中值定理积分中值定理） 积分中值公式积分中值公式 在在,ba上上至至少少存存在在一一点点 ， 几何解释：几何解释： x y oa b )( f 使使得得以以区区间间,ba为为 以以曲曲线线)(xfy 底底边边， 为曲边的曲边梯形的面积为曲边的曲边梯形的面积 等于同一底边而高为等于同一底边而高为)( f 的的一一个个矩矩形形的的面面积积。 注注 积分中值定理将对积分值的讨论转化为对被积积分中值定理将对积分值的讨论转化为对被积 函数的讨论。函数的讨论。 第34页/共3