正弦函数余弦函数的性质(周期性)幻灯片

1、 诱导公式诱导公式sin(x+2sin(x+2) =sinx,) =sinx,的几何意义的几何意义 x y o XX+2 X X+2 正弦函数值是按照一定规律正弦函数值是按照一定规律不断重复地不断重复地出现的出现的 能不能从正弦、余弦函数周期性归纳出一般函能不能从正弦、余弦函数周期性归纳出一般函 数的规律性？数的规律性？ 正弦曲线正弦曲线 x y o 1 -1 -2 - 2 3 4 -2 - o 2 3 x -1 1 y 余弦曲线余弦曲线 R Rx x , , cosxcosxy y R Rx x , , s si in nx xy y 如何用数学语言刻画周期性 对于函数 ，如果存在一个非零常

2、 数 ，使得当 取定义域内的每一 个值时，都有 ， 那么函数 就叫做周期函数， 非零常数 叫做这个函数的周期。 ( )f x Tx ()( )f xTf x ( )f x T 1 1、周期的定义、周期的定义 正弦函数和余弦函数的周期都是 2k2k 1sinx，cosx 的周期是的周期是2 4 6 -2-4-62k. 2如果如果T是函数是函数f (x) 的周期，那么的周期，那么2T 3T kT也是函数也是函数f(x)的周期的周期. 3 对周期函数定义中的对周期函数定义中的“定义域中的定义域中的每一个每一个 值值x ”的要求，而不是某一个值的要求，而不是某一个值. 思考：一个周期函数的周期有多少个

3、？思考：一个周期函数的周期有多少个？ : 1., ()( ) ( ). sin()sin, 424 f xTf x Tyf x x x 例例 定定义义是是对对定定义义域域中中的的值值来来说说的的 只只有有 注注意意: : 每每一一个个 个个别别的的满满足足 不不能能说说 值值: : 是是的的周周期期 如如 2 sin ()sin,sin. 22 x xxyx 就就 是是 说说不不 能能 对对在在 定定 义义 域域 内内 的的 每每 一一 个个 值值 使使 因因 此此不不 是是的的 周周 期期 sin()sin. 323 但但 是是 练习：练习：判断下列说法是否正确判断下列说法是否正确 （1）

4、时，时， 则则 一定不是一定不是 的周期的周期 3 x 2 sin()sin 3 xx 2 3 sinyx（ ） （2） 时，时， 则则 一定是一定是 的周期的周期 7 6 x 2 sin()sin 3 xx 2 3 sinyx （ ） 2、最小正周期的定义、最小正周期的定义 对于一个周期函数对于一个周期函数 如果在它所如果在它所 有的周期中存在一个有的周期中存在一个最小的正数最小的正数， 那么这个最小的正数就叫做那么这个最小的正数就叫做 的的 最小正周期最小正周期。 ( )f x ( )f x 说明：说明： 我们现在谈到三角函数周期时，如果不加特别说明，一般都我们现在谈到三角函数周期时，如果

5、不加特别说明，一般都 是指的是指的最小正周期最小正周期； 2.()( ) , (2) 2 ( ) (2 ), (2)(2 ) . 2 2 ,() f xTf x fxTfx x T yf x T fxTfxx T f 等等式式, ,强强调调：自自变变 量量才才是是周周期期 例例如如: :不不是是周周期期 而而应应写写成成 本本身身加加的的常常数数 才才是是 函函数数 此此 的的周周期期 时时 例 求下列函数的周期： (1)y=3cosx, xR; 1 (3)2sin(), 26 yxxR (2)y=sin2x, xR; cos(2 )cos ,xx 解解:(1)cosx是以是以2为周期的周期函

6、数为周期的周期函数. . 3cos ,yx xR 的的周周期期为为2 2 3cos(2 )3cos ,xx 这里的周期指的这里的周期指的 是是最小正周期最小正周期! sin(2 )sin(22 )xx sin(2 )sin 2()xx sin2yx 的周期为的周期为. . (3) 11 2sin()2sin(2) 2626 xx 1 2sin() 26 yx 的周期为的周期为 11 2sin()2sin(4) 2626 xx 另解另解 例例 求下列函数的周期：求下列函数的周期： 1 (3)2sin(), 26 yxxR (2)y=sin2x,xR;R;(1)y=3cosx,xR;R; 解解:(

7、2) 若若 则则 归纳总结归纳总结 一般地，函数一般地，函数 及及 （其中（其中 为常数，且为常数，且 ）的周期是）的周期是 cos()yAx , ,A 0,0A sin()yAx 2 T 0 2 T (1)( )sin(2) 5 f xx 1 (2) ( )cos() 232 x f x (1) 求下列函数的最小正周期求下列函数的最小正周期 练习：练习： P36 P36 练习练习 1, 2 1 2 22 T 4 2 2 | 2 T 1.1.周期函数、最小正周期的定义周期函数、最小正周期的定义； 2.2. 小结：小结： cos()yAx sin()yAx和和 型函数的周期的求法。型函数的周期的求法。 函数函数 y = tan x是周期函数吗？是周期函数吗？ 如果是，那么它的最小正周期是如果是，那么它的最小正周期是 多少？多少？ 课后思考课后思考 v作业：P46 3 1 ( )2sin. 26 f xxT 解解: :设设的的周周期期为为 ()( )f x T