第二节-二重积分的计算法(一)

1、2021/6/71 第二节第二节 二重积分的计算法二重积分的计算法 一、直角坐标系下的计算法一、直角坐标系下的计算法 二、极坐标系下的计算法二、极坐标系下的计算法 2021/6/72 为曲顶柱体的体积为曲顶柱体的体积以曲面以曲面 为底，为底，的值等于以的值等于以 ),( ),( yxfz Ddyxf D 应用计算应用计算“平行截平行截 面面积为已知的立面面积为已知的立 体求体积体求体积”的方法的方法, , a xb ),( yxfz z y x Vdyxf D ),( b a dxxA)( )(xA 基本思路：化为定积分基本思路：化为定积分 2021/6/73 一、一、 直角坐标系下的计算法直

2、角坐标系下的计算法. y xo a b )( 2 xy )( 1 xy D y xo a b D )( 1 xy )( 2 xy y xo a b D )( 2 xy )( 1 xy 1. X型积分区域型积分区域D: 1(x)y 2(x) , a xb 特点特点： 穿过区域且平行于穿过区域且平行于y轴的直线与区域边轴的直线与区域边 界相交不多于两个交点界相交不多于两个交点. 2021/6/74 z x o ab y ),(yxfz )( 2 xy )( 1 xy x+dxx dyyxf x x )( )( 2 1 ),( A( x) D dyxf ),( ),( )( )( 2 1 b a x

3、 x dyyxfdx A( x) 1(x) 2(x) z=f (x, y) y z b a x x dxdyyxf),( )( )( 2 1 D dyxf ),( b a dxxA)( 2021/6/75 后积分的先定限后积分的先定限, ,先积分的后定限先积分的后定限, ,限内作条线限内作条线, , 先交的为下限先交的为下限, ,后交的为上限。后交的为上限。 ),( )( )( 2 1 b a x x dyyxfdx D dyxf ),( D是是X型区域，二重积分化为先对型区域，二重积分化为先对y， 后对后对x的二次积分。的二次积分。 关键：确定各积分变量的积分限。关键：确定各积分变量的积分限

4、。 2021/6/76 例例1,d D xy 计计算算 其中其中D为为y2 =x 和和y =x2 所围的闭区域所围的闭区域. y x o y=x2 xy 1 1 解解: : D D为为X型区域型区域 1 0 2 dd d x x D yxyxxy x y x x x d 2 1 0 2 2 xxxd)( 2 11 0 52 1 0 63 632 1 xx 12 1 xyxxD 2 , 10 2021/6/77 2. Y型积分区域型积分区域D： 1(y)x 2(y) , c yd y x o c d D x= 1( y) x= 2( y) y x o D x= 1( y) x= 2( y) c

5、d d c y y D yxyxfyxfdd),( d),( )( )( 2 1 d c y y xyxfy )( )( 2 1 d),(d y x o c d D x= 1( y) x= 2( y) 2021/6/78 后积分的先定限后积分的先定限, ,先积分的后定限先积分的后定限, ,限内作条线限内作条线, , 先交的为下限先交的为下限, ,后交的为上限。后交的为上限。 D是是Y 型区域，二重积分化为先对型区域，二重积分化为先对x， 后对后对y的二次积分。的二次积分。 关键：确定各积分变量的积分限。关键：确定各积分变量的积分限。 d),( D yxf d c y y xyxfy )( )(

6、 2 1 d),(d 2021/6/79 y x o x=y2 yx 1 1 D D也为也为Y型区域型区域 1 0 dd d 2 xxyy xy y y D 12 1 例例1,d D xy 计计算算 其中其中D为为y2 =x 和和y =x2 所围的闭区域所围的闭区域. yxyyD 2 , 10 2021/6/710 例例2 , 2 D ydx计计算算 其中其中D为由为由 x=0 和和 y=0 及及 y = 2 2x所围成闭域所围成闭域. . y y x x o o 2 2 1 1 y y = 2= 2 2 2x x 解解: : D为为X型区域型区域 1 0 22 0 22 dd dyyxxyx

7、 x D x y x x d 2 1 0 22 0 2 2 xxxxd )484( 2 11 0 432 1 0 5 4 3 5 4 2 3 4 2 1 x x x 15 1 2021/6/711 y x o 2 1 2 1 y x D也为也为Y型区型区 域域 2 0 2 1 0 22 dd dxyxyyx y D 15 1 2021/6/712 x y o X型区域的特点：型区域的特点： 穿过区域且平行于穿过区域且平行于y y轴的轴的 直线与区域边界相交不多于两个交点直线与区域边界相交不多于两个交点. . Y型区域的特点：型区域的特点：穿过区域且平行于穿过区域且平行于x x轴的轴的 直线与区

8、域边界相交不多于两个交点直线与区域边界相交不多于两个交点. . 3. 若区域如图，若区域如图， 3 D 2 D 1 D在分割后的三个区域上分别在分割后的三个区域上分别 使用积分公式使用积分公式 . 321 DDDD 则必须分割则必须分割. 2021/6/713 y y x x o o y x 1 x= =y 例例3 计算计算 2 1 1 2 2 2 2 ddd y y D x y x y y x ,d 2 2 D y x 其中其中D由由y =2, y=x及及xy=1所围闭区域所围闭区域 2 2 1 1 解解: D为为Y型区域型区域 2 1 1 3 2 d 3 1 y x y y y 2 1 5

9、 d) 1 ( 3 1 y y y 2 1 4 2 4 1 23 1 y y 192 81 2021/6/714 若先对若先对y再对再对x积分积分 21 dd d 2 2 2 2 2 2 DD D y x y x y x 2 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 dddd x x y y x xy y x x 192 81 y xo 2 1 x y 1 x=y 2 1 D1 D2 D也为也为X型区域型区域 2021/6/715 例例4 改换二次积分改换二次积分 x yyxfx 0 1 0 d),(d的积分次序的积分次序. 解：解： D：0y x, 0 x 1 D D 1 1 y y y

10、y= =x x x x 0 0 1 1 x yyxfx 0 1 0 d),(d yxyxf D dd),( 11 0 d),(d y xyxfy 2021/6/716 例例5 改换二次积分改换二次积分 2 2 0 1 0 ),( yy dxyxfdy的积分次序的积分次序. . 解：解：10,20: 2 yyyxD 2 2yyx D D 1 1 y y x x 2 2 1 1 0 0 x 2 + ( y 1 ) 2 = 1 2 11xy 2 2 0 1 0 ),( yy dxyxfdy dxdyyxf D ),( 1 11 1 0 2 )( x dyx,yfdx 2021/6/717 1 2 1

11、 0 sin x dyydx计计算算 y x o y=x y=1 x=0 D 解解 区域区域D既是既是X型，又是型，又是Y型的型的 可积，可积，由一元积分学知由一元积分学知 1 0 2 sin dyy 但但siny2的原函数不是初等函数的原函数不是初等函数 原积分不能直接得到原积分不能直接得到 Idyydx x 1 2 1 0 sin y dxydy 0 2 1 0 sin 1 0 2 sindyyy 1cos1 2 1 先交换交换顺序先交换交换顺序 例例6 2021/6/718 , 2 2 dxdyexI D y 计计算算 围围成成。为为其其中中xyyxD , 1,0 y x o y=x y=1 x=0 D 解解区域区域D既是既是X型，又是型，又是Y型的型的 。的原函数不是初等函数的原函数不是初等函数 2 y e y y dxexdyI 0 2 1 0 2 3 1 3 1 0 2 y o y xdye 1 0 22 2 6 1 ydey y e3 1 6 1 例例7 2021/6/719 求两个底面半径相等的直交圆柱所围成立体的求两个底面半径相等的直交圆柱所围成立体的 体积。体积。 y x z o RD1 解解如图设两个