常用的参数曲线

1、Bezier曲线曲线 和和 B样条曲线样条曲线 1、1963年美国波音（Boeing）飞机公司的佛格森 （Ferguson）最早引入参数三次曲线，将曲线曲面表 示成参数矢量函数形式，构造了组合曲线和由四角点 的位置矢量、两个方向的切矢定义的佛格森双三次曲 面片。 2、1964年，美国麻省理工学院（MIT）的孔斯Coons） 用封闭曲线的四条边界定义一张曲面。同年，斯恩伯 格（Schoenberg）提出了参数样条曲线、曲面的形式。 如何表示象飞机、汽车、 轮船等具有复杂外形产品 的表面是工程中必须解 决的问题。 4、1972年，德布尔（de Boor）给出了B样条的标 准计算方法。1974年，美

2、国通用汽车公司的戈登 （Gorden）和里森费尔德（Riesenfeld）将B样条理 论用于形状描述，提出了B样条曲线和曲面。1975 年，美国锡拉丘兹（Syracuse）大学的佛斯普里尔 （Versprill）提出了有理B样条方法。80年代后期皮 格尔（Piegl）和蒂勒（Tiller）将有理B样条发展成 非均匀有理B样条方法，并已成为当前自由曲线和 曲面描述的最广为流行的技术。 3、1971年，法国雷诺（Renault）汽车公 司的贝塞尔（Bezier）发表了一种用控制多边形 定义曲线和曲面的方法。同期法国雪铁龙Citroen 汽车公司的德卡斯特里奥（de Castelijau）也独立 地

3、研究出与Bezier类似的方法。 一、一、BezierBezier曲线曲线 Bezier曲线的形状是通过一组多边折 线（特征多边形）的各顶点唯一地定 义出来的。在这组顶点中： (1) 只有第一个顶点和最后一个顶点 在曲线上； (2) 其余的顶点则用于定义曲线的导 数、阶次和形状； (3) 第一条边和最后一条边则表示了 曲线在两端点处的切线方向。 P0 P0P2 P1 P1 P2 P3 P3 P1 P0P3 P2 .Bezier.Bezier曲线的数学表达式曲线的数学表达式 Bezier曲线是由多项式混合函数推导 出来的，通常 n+1 个顶点定义一个 n 次多项式。其数学表达式为： (0 t 1

4、) 式中：i：为各顶点的位置向量 i,n(t)：为伯恩斯坦基函数 n i nii tBPtP 0 , )()( 伯恩斯坦基函数的表达式为： 假如规定：，！，则 t=0:i=0 ,Bi,n(t)=1 i0 ,Bi,n(t)=0 P(0)=P0 00 0 )01 (0 !1 ! )0(PP n n P n ini ni tt ini n tB )1( )!(! ! )( , t=1:i=n ,Bi,n(t)=1 in ,Bi,n(t)=0 P(1)=Pn 所以说，“只有第一个顶点和最后一个 顶点在曲线上”。即Bezier曲线只通过 多边折线的起点和终点。 nn n PP n n P 0 ) 11

5、(1 1! ! ) 1 ( 下面我们通过对伯恩斯坦基函数求导， 来分析两端切矢的情况。 得： )()()( 1,1, 1 , tBtBntB ninini 1 0 1,1,1 )()()( n i ninii tBtBPntP 讨论： t=0: i=0: Bi-1,n-1(t)=0； Bi,n-1(t)=1。 i=1: Bi-1,n-1(t)=1； Bi,n-1(t)=0。 （均出现 0 的非 0 次幂） ini ni ini ni tt ini n tB tt ini n tB 1 1, 11 1,1 )1( )!1(! )!1( )( )1( )!()!1( )!1( )( t=0 同理可

6、得，当 t=1 时 这两个式子说明：Bezier曲线在两端 点处的切矢方向与特征多边形的第一 条边和最后一条边相一致。且末端切矢 的模长分别等于首末边长的n倍，n为贝塞 尔曲线的阶次 )()0()0( 01 PPntPP )()1( 1 nn PPnP Bezier曲线的性质： （1）端点位置： （2）端点的切线：曲线与P0P1， Pn-1Pn相切， （3）端点的曲率： PPn PP) 1 (,)0( 0 )() 1 ( )()0( 101PPPPnn n，PnP 3 1 121 1 3 01 1201 0 )()(1 )( )()(1 )( nn nnnn t t PP PPPP n n t

7、k PP PPPP n n tk 3 )( )()( )( tP tPtP tk （4）对称性：若保持控制点的位置不变， 但次序颠倒，即Pi变为Pn-i，则Bezier曲线 形状不变。 （5）仿射不变性： 即Bezier曲线的形状、重心及相对位置 （与控制多边形）与选择的坐标无关。 方便图形变换 （6）凸包性： 对于某个t值P(t)是特征多边形各顶点 的加权平均，权因子是 。 在几 何图形上，P(t)是各控制点的凸线性组合， 并且曲线各点均落在Bezier特征多边形构 成的凸包之中。 01 ,0)(, 1)( , 0 , ttt BEZBEZni n i ni )( , t BEZni （7）

8、直线再生性： 若控制顶点P0 ,P1 ,Pn在同一直线上， 该Bezier曲线必为一条直线段 （8）平面Bezier曲线的保凸性： 如控制顶点为凸，则相应的Bezier曲 线也为凸 （9）变差缩减性： 平面内任一条直线与Bezier曲线的交点数，不多 于此直线与控制多边形的交点个数 该性质说明：Bezier曲线 比控制多边形波动得少， 比控制多边形光顺。 （10）拟局部性（见程序） 当移动控制顶点Pi 时，对应参数 t=i/n 的曲线上的点变动最大，远离 i/n 的曲线上的点变动越来越小 Bezier曲线的形状由其控制多边形的形 状作较好的刻划，在设计时，一般以 控制多边形的设计与修改为基本手

9、段 . .二次和三次二次和三次BezierBezier曲线曲线 (1) 三个顶点：P0,P1,P2 可定义一条 二次(n=2) Bezier曲线： 其相应的混合函数为： 2222 2,2 121 2,1 2020 2,0 )1( !0!2 !2 )( )1(2)1( ! 1! 1 !2 )( )1()1( !2!0 !2 )( ttttB tttttB ttttB 所以，根据式： 二次 Bezier 曲线的表达形式为： P(t)=(1-t)2P0+2t(1-t)P1+t 2 P2 （t 1) n i nii tBPtP 0 , )()( 二次贝塞尔曲线的图形 P(t)=(1-t)2P0+2t(

10、1-t)P1+t2 P2 P(t)=2(t-1)P0+2(1-2t)P1+2tP2 P(1/2)=1/2P1+1/2(P0+P2) P(0)=2(P1-P0) P(1)=2(P2-P1) P(1/2)=P2-P0 P0 Pm P2 P(1/2)P(1/2) P1 (2)四个顶点 P0、P1、P2、P3 可 定义一条三次 Bezier 曲线： * 3 2 1 0 23 3 3 2 2 1 2 0 3 0001 0033 0363 1331 1 )1 (3)1 (3)1 ()( P P P P ttt PtPttPttPttP 贝塞尔曲线在运用中的不足之处 缺乏灵活性一旦确定了特征多 边形的顶点数

11、(m个)，也就决定了曲 线的阶次(m-1次)，无法更改； 控制性差当顶点数较多时，曲 线的阶次将较高，此时，特征多边形 对曲线形状的控制将明显减弱； 不易修改由曲线的混合函数可以看出， 其值在开区间 ( 0 , 1 ) 内均不为零。因此， 所定义之曲线在 ( 0 t 1)的区间内的任 何一点均要受到全部顶点的影响，这使 得对曲线进行局部修改成为不可能。 （而在外形设计中，局部修改是随时要 进行的） 二、二、B B样条曲线样条曲线 为了克服 Bezier 曲线存在的问题， Gordon 等人拓展了 Bezier曲线，就 外形设计的需求出发，希望新的曲线 要： 易于进行局部修改； 更逼近特征多边形

12、； 是低阶次曲线。 于是，用 n次样条基函数替换了伯 恩斯坦基函数，构造了称之为样条 曲线的新型曲线。 样条基函数样条基函数 nit tt tt t tt tt t ttt t BBB B ki iki iki ki iki i ki ii i , 1 , 0),()()( , 0 ), 1 )( 1, 1 1 1, 1 , 1 1 , 其它 当 ),()( 1,1 , 0 nk ki n i i tttttP BP Bi，k（t）的双下标中第二个下标k表示次数，第 一个下标i表示序号。欲确定第i个k次样条Bi，k（t）， 需要用到ti、ti+1、，-，ti+k+1共k+2个点 B样条曲线的方

13、程可表示为 B样条曲线的性质 (1)局部性 由定义可知,样条基函数Bi,k只在ti,ti+1区间不为 0，该段曲线只与控制顶点Pi-K+1,pi-k+2, Pi 有关 (2)递推性 可根据递推公式由低次的B样条得出高次的B样 条。 nit tt tt t tt tt t ttt t BBB B ki iki iki ki iki i ki ii i , 1 , 0),()()( , 0 ), 1 )( 1, 1 1 1, 1 , 1 1 , 其它 当 n（3）凸包性 B样条曲线的凸包由每一曲线段对应的控制顶 点的凸包的并集构成。 n（4）直线再生性 若控制顶点落在一条直线上，则该段曲线为直 线

14、 n（5）连续性 n（6）几何不变性。 曲线形状由控制点决定，与坐标系的选取无关 n（7）磨光性 由同一组控制点定义的B样条曲线，随着k的增 加，越来越光滑。 2. 2.样条曲线的数学表达式样条曲线的数学表达式 样条曲线的数学表达式为： 在上式中，0 t 1； i= 0, 1, 2, , m 所以可以看出：样条曲线是分段定 义的。如果给定 m+n+1 个顶点 Pi ( i= 0, 1, 2, m+n)，则可定义 m+1 段 n 次的参数曲线。 n k nkkini tFPtP 0 , )()( 在以上表达式中： F k,n ( t ) 为 n 次B样条基函数，也称 样条分段混合函数。其表达式为

15、： 式中： 0 t 1 k = 0, 1, 2, , n kn j nj n j nk jkntC n tF 0 1, )()1( ! 1 )( 连接全部曲线段所组成的整条曲线称 为 n 次样条曲线。依次用线段连接 点 Pi+k (k=0,1,n)所组成的多边折 线称为样条曲线在第i段的特征多 边形。 . .二次样条曲线二次样条曲线 在二次样条曲线中，n=2,k=0,1,2 故其基函数形式为： 2 2,2 2 2,1 2222 2 0 2 32,0 2 1 )( )122( 2 1 )( )1( 2 1 !2 !3 )1( !2 !3 )2( !3 !3 2 1 )2()1( !2 1 )(

16、ttF tttF tttt jtCtF j jj 有了基函数，因此可写出二次样条 曲线的分段表达式为： ( i= 0,1,2,m )m+1段 22, 212, 12, 0 )()()()( iiii PtFPtFPtFtP 写成一般的矩阵形式为：写成一般的矩阵形式为： 式中，k为分段曲线的特征多边形 的顶点：P0,P1,P2。对于第i段曲线的 Bk 即为：Pi,Pi+1,Pi+2 连续的三个顶 点。（见下图） 2 0 2 1 0 2 2, 011 022 121 2 1 1)()( k kk B B B ttBtFtP P3 B: P0 P0,P1,P2 P2 P1 P1,P2,P3B: P4

17、 n=2,二次B样条曲线 m+n+1个顶点，三 点一段，共m+1段。 i=0 P0,2(t) i=1 P1,2(t) 二次样条曲线的性质二次样条曲线的性质 先对 P(t)求导得： 然后分别将 t=0,t=0.5,t=1 代入 P(t) 和 P(t)，可得： P(0)=1/2(B0+B1), P(1)=1/2(B1+B2); P(0)=B1-B0, P(1)=B2-B1; P(1/2)=1/21/2P(0)+P(1)+B1 P(1/2)=1/2(B2-B0)=P(1)- P(0) 2 1 0 011 121 1)( B B B ttP 与以上这些式子所表达的性质相符的 曲线是何种形状：（见下图） B0 P(0) P(1)M B2 P(1/2) B1 P(1/2) 结论：分段二次B样条曲线是一条抛 物线；有n个顶点定义的二次B样条曲 线，其实质上是n-2段抛物线（相邻三 点定义）的连接，并在接点处达到一 阶连续。（见下图） P3 P0 P2 P1 P4 . .三次样条曲线三次样条曲线 分段三次样条曲线由