机械工程控制基础课件第5章教学资料

1、 4 5 )()()()()( 01 )1()( 1txtxatxatxatxaioonn n o n o n i ts i n i ts i tBeAeAtx ii o 1 2 1 1 )()( 线性定常系统的稳定性条件线性定常系统的稳定性条件 6 0lim 1 2 1 1 n i ts i n i ts i t ii eAeA n i ts i n i ts i t ii eAeA 1 2 1 1 lim ts t k elim 7 tj k n i ts i n i ts i t eAeAeA ii 1 2 1 1 lim k n i ts i n i ts i t AeAeA ii 1

2、 2 1 1 lim k ts k AeA k 8 9 10 5.2 Routh （劳斯）稳定判据（劳斯）稳定判据 1877年由年由E.J.Routh提出。提出。 Routh判据是基于方程式根和系数的关系建立的，通过对系统特征方判据是基于方程式根和系数的关系建立的，通过对系统特征方 程式的各项系数进行代数运算，得出全部根具有负实部的条件，从而程式的各项系数进行代数运算，得出全部根具有负实部的条件，从而 判断系统的稳定性。判断系统的稳定性。 11 0)( 01 1 1 asasasasD n n n n )()( 21 0111 n nn n n nn ssssss a a s a a s a

3、a s n i i nn j n ji ji i n n i i n n sssssssssssss 1 2 2,1 1 1 21 )1()()()()( 12 n i i n n n kji kji kji n n n ji ji ji n n n i i n n s a a sss a a ss a a s a a 1 0 3,2,1 3 2,1 2 1 1 )1(, , 从上式可知，要使全部特征根从上式可知，要使全部特征根s1,s2,sn均具有负实部，必须满足两个条件，均具有负实部，必须满足两个条件， 即系统稳定的必要条件：即系统稳定的必要条件： （1）特征方程的各项系数都不等于零。）特

4、征方程的各项系数都不等于零。 （2）特征方程的各项系数的符号都相同。）特征方程的各项系数的符号都相同。 归结为一个条件：归结为一个条件：各系数同号且不为零各系数同号且不为零 13 1 1 21 4321 4321 7531 642 0 1 2 3 2 1 F E DD BBBB AAAA aaaa aaaa s s s s s s s nnnn nnnn n n n n （1）Routh表表 14 1 321 1 n nnnn a aaaa A 1 541 2 n nnnn a aaaa A 1 761 3 n nnnn a aaaa A 1 4171 3 1 3151 2 1 2131 1

5、A AaaA B A AaaA B A AaaA B nn nn nn 一直进行到其余的一直进行到其余的Ai值全部等于值全部等于0为止。为止。 一直进行到其余的一直进行到其余的Bi值全部等于值全部等于0为止。为止。 一直进行到第一直进行到第n行（行（s1行）为止。行）为止。 第第n+1行等于行等于a0 15 16 s4 s3 s0 s1 s2 劳劳 斯斯 表表 1 1110 -1930 -3030 12 0 30 改变符号一次改变符号一次 改变符号一次改变符号一次 17 18 )2( )( )( )( )( 2 2 n n K ss Ks sE sX sG o 2223 2 2 )( )( )

6、( )( nnn n i o B Ksss Ks sX sX sG 19 07500 0 6 .34 750075006 .34 075006 .34 075001 0 1 2 3 K K K s s s s 02)( 2223 nnn KssssD 20 0 6.34 750075006.34 K 21 解解:根据特征方程的各项系数，列出根据特征方程的各项系数，列出Routh表表 01 0 1 )( 11 11 0 1 2 3 s s s s 根据根据Routh表，由系统稳定的充要条件，有：表，由系统稳定的充要条件，有： （1）+10，即，即-1； （2）(+)0，即，即0，-； （3）-1

7、0，即，即1。 所以，使系统稳定的所以，使系统稳定的、的取值范围为的取值范围为0，1 22 3. Routh判据的特殊情况判据的特殊情况 1.如果如果Routh表中任意一行的表中任意一行的第一个元为零第一个元为零，其后各元均不为，其后各元均不为0或部分地不为或部分地不为0， 则在计算则在计算下一行第一元下一行第一元时时,该元必将该元必将趋于无穷大趋于无穷大，于是，于是，Routh表的计算将无表的计算将无 法进行。法进行。 解决方法：用正无穷小量解决方法：用正无穷小量代替第一列等于代替第一列等于0的元，的元， 然后计算然后计算Routh表的其余各元。表的其余各元。 23 【例例4】系统特征方程系

8、统特征方程 S3-3s+2=0，判别系统的稳定性。，判别系统的稳定性。 s3 s2 s0 s1 1 020 -30 00 2 3 23 2 解：根据特征方程的各项系数，列出解：根据特征方程的各项系数，列出Routh表表 改变符号一次改变符号一次 改变符号一次改变符号一次 24 2.如果如果Routh表中任意一行的表中任意一行的所有元均为零所有元均为零，Routh表的计算将无法进行。表的计算将无法进行。 解决方法：由零行的上一行的元构成辅助方程，解决方法：由零行的上一行的元构成辅助方程， 对其求导得零行系数。对其求导得零行系数。 继续计算继续计算Routh表的其余各元。表的其余各元。 25 【例

9、例5】系统特征方程系统特征方程 D(s)=s5+2s4+24S3+48s2-25s-50=0 试用试用Routh表判别系统的稳定性。表判别系统的稳定性。 解：根据特征方程的系数，列出解：根据特征方程的系数，列出Routh表表 s5 s4 s3 1 48-50 24-25 00 2 0 由由第二行各元第二行各元求得辅助求得辅助方程方程 F(s)=2s4+48s2-50=0 取取F(s)对对s的的导数导数，得新方程，得新方程 8s3+96s=0 S3行中的各元可用此方程中的系数代替，继续进行运算，最后得到行中的各元可用此方程中的系数代替，继续进行运算，最后得到Routh表表 。 26 改变符号一次

10、改变符号一次 s5 s4 s3 1 48-50 24-25 96 0 2 8 s2 s1 s0 -50024 0 0 112.7 00-50 27 由由H.Nyquist于于1932年提出，年提出，1940年以后得到广泛应用。年以后得到广泛应用。 Nyquist稳定判据稳定判据不需要求闭环系统的特征根，不需要求闭环系统的特征根， 而是提供了一种从而是提供了一种从开环传递函数开环传递函数G(j)H(j)的频率特性曲线的频率特性曲线（Nyquist图）图）来判来判 定闭环系统稳定性的图解方法。定闭环系统稳定性的图解方法。 由于系统的开环特性可用解析法或实验法获得，因此，应用奈氏判据分析系统的由于系

11、统的开环特性可用解析法或实验法获得，因此，应用奈氏判据分析系统的 稳定性即方便又实用。稳定性即方便又实用。 奈氏判据还有助于建立相对稳定性的概念。奈氏判据还有助于建立相对稳定性的概念。 28 1、开、闭环零极点与、开、闭环零极点与F(s) )()(1 )( )( sHsG sG sG B 令令 F(s)=1G(s)H(s)=1+Gk(s) )( )()( )()( )()()( 21 21 mn pspsps zszszsK sHsGsG n m K 如图所示闭环系统，设其开环传递函数为如图所示闭环系统，设其开环传递函数为 系统的闭环传递函数为系统的闭环传递函数为 特征方程为特征方程为 1G(

12、s)H(s)=0 29 )( )()( )()( )()( )()()()( )( 21 21 21 2121 nn pspsps ssssss pspsps zszszsKpspsps sF n n n mn F(s)的零点的零点s1,s2,sn即为系统闭环传递函数即为系统闭环传递函数GB(s)的极点，亦即系统特征方程的根。的极点，亦即系统特征方程的根。 F(s)的极点的极点p1,p2,pn即为开环传递函数即为开环传递函数Gk(s)的极点。的极点。 30 )()( )()( )( 21 21 n m pspsps zszszsK sF Nyquist稳定判据的数学基础：稳定判据的数学基础：幅

13、角原理幅角原理 2. 幅角原理（又称映射原理）幅角原理（又称映射原理） 式中，式中，s为复变量为复变量，以，以s复平面上的复平面上的s=+j表示，表示， 复变函数复变函数F(s)以以F(s)复平面上的复平面上的F(s)=u+j表示。表示。 设设F(s)在在s平面上平面上除有限个奇点外除有限个奇点外为单值的连续正则函数，为单值的连续正则函数，即在即在S平面上除奇点平面上除奇点 外处处解析。外处处解析。 )(sF那么，对于那么，对于S平面上的每个解析点，在平面上的每个解析点，在 平面上必有一点（称为映射点）与平面上必有一点（称为映射点）与 之对应。之对应。 31 例如，当系统的开环传递函数为例如，

14、当系统的开环传递函数为 则则 除奇点除奇点 和和 外，在外，在S平面上任取一点，如平面上任取一点，如 ， )1( 1 )()( ss sHsG )1( 1 )()(1)( 2 ss ss sHsGsF 0 s 1 s 21 1 js 15.095.0 )121)(21( 1)21()21( )( 2 1 j jj jj sF 32 j 2j 1 s s 0 1 s 1 S m I 0 e R )( 1 sF SF 15.0 95.0 图图 S平面上的点在平面上的点在F(S)平面上的映射平面上的映射 15.095.0)( 1 jsF 21 1 js )( 1 sF 1 s 如图所示，在如图所示，

15、在F(s)平面上有点平面上有点 与与S平面上的平面上的 点点 对应。对应。 就叫做就叫做 在在F(s)平面上的映射点。平面上的映射点。 33 若在若在s平面上任意选定一封闭曲线，只要此曲线不经过平面上任意选定一封闭曲线，只要此曲线不经过F(s)的奇点，则在的奇点，则在F(s) 平面上必有一对应的映射曲线平面上必有一对应的映射曲线LF，也是一封闭曲线。，也是一封闭曲线。 s1 s2 S 0 Ls j F(s1) F(s2) F(S) 0 LF Im Re Fs LL sFs平面 映射 平面)( 34 幅角原理幅角原理：按顺时针方向沿按顺时针方向沿Ls移动一圈时，移动一圈时，F(s)将绕将绕原点顺

16、时针旋转原点顺时针旋转N圈圈， 即曲线即曲线LF顺时针包围原点顺时针包围原点N次。次。 令：令：Z：包围于：包围于Ls内的内的F(s)的零点数的零点数 P：包围于：包围于Ls内的内的F(s)的极点数的极点数 则则 N=Z-P 封闭曲线封闭曲线Ls和和LF的形状是无关紧要的，它不影响上述结论。的形状是无关紧要的，它不影响上述结论。 关于幅角原理的数学证明请参考有关书籍，这里仅从几何图形上说明。关于幅角原理的数学证明请参考有关书籍，这里仅从几何图形上说明。 35 图图 S平面到平面到F(s)平面的映射平面的映射 设设S平面上有三个极点平面上有三个极点P1、P2 、P3和三个零点和三个零点Z1、Z2

17、、Z3。被。被Ls 曲线包围的曲线包围的 零点有零点有Z1、Z2两个，即两个，即Z=2，包围的极点只有，包围的极点只有P2 ，即，即P=1，得，得 N=Z-P=2-1=1 说明说明Ls 映射到映射到 F(s)平面上的封闭曲线平面上的封闭曲线 LF 顺时针绕顺时针绕F(s)平面原点一周。平面原点一周。 j S 1 P 2 P 1 S 2 S 3 S 3 P 1 Z 2 Z 3 Z 0 )(a s s L m I )(SF e R )( 1 SF )( 2 SF )( 3 SF 0 )(b F F L 36 )()( )()( )( 321 321 pspsps zszszs sF 3 1 3 1

18、 111 )()()( ji ij pszssF 零、极点在零、极点在S平面上的分布如图所示，在平面上的分布如图所示，在 S平面上作一封闭曲线平面上作一封闭曲线Ls ， Ls不通过不通过 零、极点，在封闭曲线零、极点，在封闭曲线Ls 上任取一点上任取一点S1 ， S1在在F(s)平面上的映射平面上的映射F(s1)对应的对应的 幅角为幅角为 设设 从几何图形上说明幅角原理从几何图形上说明幅角原理 37 当解析点当解析点S1沿封闭曲线沿封闭曲线Ls按顺时针方向旋转一周后再回到按顺时针方向旋转一周后再回到s1点，点， 所有位于封闭曲线所有位于封闭曲线Ls外的零、极点指向外的零、极点指向s1的向量转过

19、的角度都为的向量转过的角度都为0， 而位于封闭曲线而位于封闭曲线Ls 内的零、极点指向内的零、极点指向s1的向量都按顺时针方向转过的向量都按顺时针方向转过2（一（一 周周3600）。）。 38 1 Z j 1 p 11 PS 2 p 11 zs 21 ps 31 ps 3 p 3 z 31 zs 1 s 2 z 21 zs 0 s 对图（对图（a），），Z=1，P=0， ，N=Z-P=1， 绕绕 平面原点顺时针旋转一周（平面原点顺时针旋转一周（3600）；）；)( 1 sF 2)( 1 sF )(sF 39 S j 1 S 1 Z 1 P 0 2 Z 2 P 3 P 3 Z s 0 )( 1

20、SF Im )(SF Re 1N F 2)( 1 sF对图（对图（b），），Z=0，P=1， N=Z-P=-1， 绕绕 平面原点逆时针旋转一周；平面原点逆时针旋转一周；)(sF )( 1 sF 40 0 Im )(SF )( 1 SF Re 0N F 3 Z 3 P 2 P 1 S 2 Z 0 1 P S j s 0)( 1 sF对图（对图（c），），Z=1，P=1， ，N=0， 不包围不包围 平面原点。平面原点。 )(sF)( 1 sF 41 )()( )()( )( 21 21 n m pspsps zszszsK sF 则向量则向量F(s)的相位（幅角）为的相位（幅角）为 n j j m

21、 i i pszssF 11 )()()( 若若 将上述分析推广到一般情况将上述分析推广到一般情况 NPZ2)(2 由此得到幅角原理表达式由此得到幅角原理表达式 N=Z-P 42 s平面上平面上Nyquist轨迹的选取轨迹的选取 为研究为研究F(s)有无零点（闭环极点）位于有无零点（闭环极点）位于S平面的右半平面，选择一条包围平面的右半平面，选择一条包围整整 个个S右半平面右半平面的封闭曲线的封闭曲线Ls。 Ls由两部分组成由两部分组成，其中，其中 L1为为=0j到到0+j的的整个虚轴整个虚轴 L2为右半平面上以原点为圆心，为右半平面上以原点为圆心， 半径为无穷大的半径为无穷大的半圆弧半圆弧

22、这一封闭曲线即为这一封闭曲线即为s平面上的平面上的Nyquist轨迹。轨迹。 当当由由变到变到+时，轨迹方向为时，轨迹方向为顺时针方向顺时针方向。 43 奈氏轨迹包围的极点数奈氏轨迹包围的极点数P和零点数和零点数Z，就是，就是F(s)=1+G(s)H(s) 位于位于S右半平右半平 面的极点数和零点数。面的极点数和零点数。 当当s沿沿Nyquist轨迹移动一圈时，在轨迹移动一圈时，在F(s)平面上的映射曲线将顺时针包围原平面上的映射曲线将顺时针包围原 点点N=Z-P圈。圈。 44 1)()()(sFsHsG F(s)与与GH平面上的平面上的Nyquist轨迹轨迹 可见，可见，GH平面（平面（G(

23、s)H(s)平面的简写）是将平面的简写）是将F平面的虚轴右移一个单位平面的虚轴右移一个单位 所构成的平面。所构成的平面。 F平面上的坐标原点，平面上的坐标原点， 就是就是GH平面上的点平面上的点（-1，j0），）， F(s)的映射曲线的映射曲线LF包围原点的圈数包围原点的圈数 就等于就等于G(s)H(s)的映射曲线的映射曲线LGH包围点（包围点（-1，j0）的）的 圈数。圈数。 45 闭环系统稳定的充要条件：闭环系统稳定的充要条件： 由于闭环系统稳定的充要条件是由于闭环系统稳定的充要条件是F(s)在在s平面的右半平面无零点，即平面的右半平面无零点，即Z=0。 如果如果G(s)H(s)的奈氏轨迹

24、的奈氏轨迹逆时针逆时针包围点（包围点（-1，j0）的圈数）的圈数N等于开环传递函等于开环传递函 数数G(s)H(s)在在S右半平面的极点数右半平面的极点数P时，有时，有N=-P，由，由N=Z-P知知Z=N+P=0，故，故 闭环系统稳定闭环系统稳定 。 对于开环稳定的系统，有对于开环稳定的系统，有P=0， 此时闭环系统稳定的充要条件是，此时闭环系统稳定的充要条件是， G(s)H(s)的奈氏轨迹不包围点（的奈氏轨迹不包围点（-1，j0）。）。 46 )( )()( )()( )()()( 21 21 mn pspsps zszszsK sHsGsG n m K 对开环系统对开环系统 )( 0 )(

25、)(lim mn mn sHsG s 常量 ）（ 故有故有 的一点。平面上为原点或实轴上映射到 的半圆平面上半径为是对其模而言，所以，这里 s GH s 即可。轨迹上的开环 平面轴映射到平面的的绕行情况只需考虑 响，对某点的包围情况无影的映射曲线它对于 平面上只是一个点，的半圆弧映射到平面上半径为而 的半圆弧，轴）再加上半径为平面上的整个虚轴（为 )H(jG(jNyquist GHs)()( LG(s)H(s) GHs jsL GH s jsHsG 47 Nyquist稳定判据稳定判据 当当 由由 变变到到+ 时，若时，若GH平面上的开环频率特性平面上的开环频率特性G(j )H(j )逆时针方

26、逆时针方 向包围点（向包围点（1，j0）P圈圈， 则闭环系统稳定。则闭环系统稳定。 P为为G(s)H(s)在在s平面的右半平面的极点数。平面的右半平面的极点数。 对于开环稳定的系统，有对于开环稳定的系统，有P=0， 此时闭环系统稳定的充要条件是，此时闭环系统稳定的充要条件是，系统的开环频率特性系统的开环频率特性G(j )H(j )不包围不包围 点（点（-1，j0）。）。 48 判断闭环系统稳定性的步骤判断闭环系统稳定性的步骤: 确定确定P 作作G(j )H(j )的的Nyquist图图 运用运用Nyquist判据判据 49 【例例1】图为图为P=0的系统的开环的系统的开环Nyquist图。图。

27、 确定系统稳定性。确定系统稳定性。 Nyquist轨迹不包围点轨迹不包围点(-1，j0)， 故相应的故相应的闭环系统稳定闭环系统稳定。 Nyquist轨迹包围点轨迹包围点(-1，j0)， 故相应的故相应的闭环系统不稳定闭环系统不稳定。 此即开环稳定而闭环不稳定。此即开环稳定而闭环不稳定。 因为因为P=0，故开环系统稳定。，故开环系统稳定。 50 【例例2】图示为某系统的开环图示为某系统的开环Nyquist图，其开环传递函数为图，其开环传递函数为 T1，T2，T3为正数，确定系统稳定性。为正数，确定系统稳定性。 )1)(1)(12( )1)(1( )()( 321 22 1 sTsTsTsT s

28、TsTK sHsG ba 开环不稳定，闭环稳定开环不稳定，闭环稳定 因因G(s)H(s)在在s右半平面有右半平面有一个极点一个极点，为，为s=1/T2，所以，所以 P=1，开环不稳定，开环不稳定。 当当由由-变到变到+时，时， 由于开环由于开环Nyquist轨迹轨迹 逆时针包围点（逆时针包围点（-1，j0）一圈）一圈， 所以，所以，闭环系统稳定闭环系统稳定。 51 开环含有积分环节时的开环含有积分环节时的Nyquist轨迹轨迹 当系统中串联有积分环节时，开环传递函数当系统中串联有积分环节时，开环传递函数Gk(s)有位于有位于s平面坐标平面坐标原点处原点处 的极点的极点。 Nyquist轨迹的修

29、正轨迹的修正 由于绕过原点的圆弧半径为无穷小，因此，认为由于绕过原点的圆弧半径为无穷小，因此，认为Ls 曲线仍然包围了整个曲线仍然包围了整个s平面的右半平面。平面的右半平面。 由于在应用幅角原理时，由于在应用幅角原理时，Ls不能通过不能通过F(s)函数的任函数的任 何极点，何极点， 应用应用Nyquist判据时，判据时，Ls应以应以无穷小为半径的圆弧，无穷小为半径的圆弧， 逆时针绕过逆时针绕过原点。原点。 当当s s沿无穷小半圆逆时针方向移动时，有沿无穷小半圆逆时针方向移动时，有 j r res 0 lim 映射到映射到 GH 平面上的平面上的Nyquist轨迹为轨迹为 jj r res n

30、i i m j j res ee r K sTs sTK sHsG j r j r 0 lim 1 1 lim lim ) 1( ) 1( )()( 0 0 52 其中其中v为系统中串联积分环节的个数。为系统中串联积分环节的个数。 n i i m j j sTs sTK sHsG 1 1 ) 1( ) 1( )()( 设开环传递函数为设开环传递函数为 j res esHsG j r 0 lim )()( 这时，这时， GH 平面上的平面上的Nyquist轨迹将沿轨迹将沿无穷大半径无穷大半径 按按顺时针方向顺时针方向从从 经经0 0 转到转到 。 2 2 53 ，变到经角从 时，变到沿小半圆从当

31、 2 0 2 00 0 s 22 ) 2 () 2 ( jjjjj 54 【例例3】图示为某随动系统的开环图示为某随动系统的开环Nyquist图，图， 开环传递函数为开环传递函数为 ，T1,T2为正，为正， 确定系统的稳定性。确定系统的稳定性。 )1)(1( )()( 21 sTsTs K sHsG m I 0 0 0 R 1v e R GH (-1,j0) 开环传递函数开环传递函数G(s)H(s)在在s右半平面无极点，右半平面无极点， 即即P=0。 由由-0 0- -0 0+ + +时，从图可知，开环时，从图可知，开环 Nyquist轨迹顺时针轨迹顺时针包围点包围点(-1,j0)两圈两圈。

32、所以，闭环系统不稳定。所以，闭环系统不稳定。 在在s平面上，当平面上，当由由-+，经过原点，经过原点=0时，由于时，由于G(s)H(s)的分母中的分母中 含有一个积分环节，含有一个积分环节， 所以，映射到所以，映射到GH平面就是以平面就是以为半径，为半径， 顺时针从顺时针从/2转到转到-/2的圆弧。的圆弧。 55 【例例4】设系统开环传递函数为设系统开环传递函数为 判断闭环系统的稳定性。判断闭环系统的稳定性。 )12)(1( )14( )()( 2 sss s sHsG 解：解：k=1，m=1，n=4，=2 , G(j )H(j) =, G(j )H(j )=180 , G(j )H(j) =

33、0, G(j ) H(j ) =(1-4)90 = -2700 故故Nyquist曲线将穿越负实轴，交点处曲线将穿越负实轴，交点处 G(j )H(j )=180 即即 00 1802arctanarctan1804arctan 22 1 得6.10)()( 22 1 jHjG 56 当当由由-变到变到+时，时， 开环开环Nyquist轨迹顺时针轨迹顺时针 包围点（包围点（-1，j0）两圈，）两圈，N=2， 而开环为最小相位系统，而开环为最小相位系统，P=0， 所以闭环系统不稳定。所以闭环系统不稳定。 有两个极点在有两个极点在s右半平面。右半平面。 开环开环Nyquist轨迹如图，由于开环有两个

34、积分环节，所以轨迹如图，由于开环有两个积分环节，所以从从0-变到变到0+时，时， 曲线顺时针从曲线顺时针从到到-转过半径为无穷大的圆弧。转过半径为无穷大的圆弧。 6.10)()( 22 1 jHjG 57 7.关于关于Nyquist判据的几点说明判据的几点说明 （1）Nyquist判据不是在判据不是在s平面而是在平面而是在GH平面判别系统的稳定性。平面判别系统的稳定性。 （2）Nyquist判据的证明复杂，但应用简单。判据的证明复杂，但应用简单。 （3）开环开环Nyquist轨迹关于实轴对称。轨迹关于实轴对称。 因为当因为当-变到变到+时，时，G(-j)H(-j)与与G(j)H(j)的模相同，

35、而相位异号，的模相同，而相位异号， 即即 )()()()( )()()()( jHjGjHjG jHjGjHjG 。的曲线即可判别稳定性到由因而一般只需绘出 轨迹关于实轴对称。的开环变到由与变到由 0 Nyquist00 58 【例例5】设系统的开环传递函数为设系统的开环传递函数为 判断闭环系统的稳定性。判断闭环系统的稳定性。K、Ti为正。为正。 G s Hs K T sT s ( )( ) ()() 12 11 开环开环Nyquist图不包围点（图不包围点（-1，j0），）， 不论不论K取任何正值，系统总是稳定的。取任何正值，系统总是稳定的。 开环为最小相位系统时，只有在三阶或三阶以上，其闭

36、开环为最小相位系统时，只有在三阶或三阶以上，其闭 环系统才有可能不稳定。环系统才有可能不稳定。 G(s)H(s)在在s右半平面无极点，所以右半平面无极点，所以P=0 解：解：m=0，n=2，=0 , G(j )H(j) =k， G(j )H(j )=0 , G(j )H(j) =0， G(j ) H(j ) =(0-2)90 = -1800 59 【例例6】设系统的开环传递函数为设系统的开环传递函数为 确定闭环系统的稳定性。确定闭环系统的稳定性。 )1)(1( )1( )1)(1( )()( 321 54 sTsTsT sTsTK sHsG 解：开环在解：开环在s右半平面无极点，故右半平面无极

37、点，故P=0。 m=2，n=3，=0 , G(j )H(j) =k， G(j )H(j )=0 , G(j )H(j) =0， G(j ) H(j ) =(2-3)90 = -900 若若G(j )H(j )为曲线为曲线，包围点，包围点(1,j0)， 则系统不稳定。则系统不稳定。 减小减小K值，值，使使 G(j )H(j ) 减小，曲线有可能因模减小，相位不变，而不包围减小，曲线有可能因模减小，相位不变，而不包围( 1,j0），因而），因而系统趋于稳定。系统趋于稳定。 K不变，亦可不变，亦可增加增加导前环节的时间常数导前环节的时间常数T4、T5使相位减小，曲线变成。曲线不使相位减小，曲线变成。

38、曲线不 包围点包围点(1，j0)，故系统稳定。，故系统稳定。 60 【例例7】设系统的开环传递函数为设系统的开环传递函数为 确定闭环系统的稳定性。确定闭环系统的稳定性。 )1( )()( Tss K sHsG 解：开环在解：开环在s右半平面无极点，故右半平面无极点，故P=0。 m=0，n=2，=1 , G(j )H(j) =， G(j )H(j )=-90 , G(j )H(j) =0， G(j ) H(j ) =(0-2)90 = -1800 开环开环Nyquist图如图，图如图，G(j )H(j )不包围点不包围点(1,j0)， 故系统稳定。故系统稳定。 61 【例例8】设系统的开环传递函

39、数为设系统的开环传递函数为 确定闭环系统的稳定性。确定闭环系统的稳定性。 )1)(1( )1( )1( )()( 321 4 sTsTsTs sTK sHsG 当导前环节作用小，即当当导前环节作用小，即当T4小时，开环小时，开环Nyquist轨迹为曲线，它包围点轨迹为曲线，它包围点(1，j0），）， 闭环系统不稳定；闭环系统不稳定； 当导前环节作用大，即当当导前环节作用大，即当T4大时，开环大时，开环Nyquist轨迹为曲线，它不包围点轨迹为曲线，它不包围点(1， j0），闭环系统稳定。），闭环系统稳定。 解：开环在解：开环在s右半平面无极点，故右半平面无极点，故P=0。 m=1，n=4，=1

40、 , G(j )H(j) =， G(j )H(j )=-90 , G(j )H(j) =0， G(j ) H(j ) =(1-4)90 = -2700 62 几何判据（几何判据（Nyquist 判据的引申）判据的引申） 5.4 Bode 稳定判据（对数判据）稳定判据（对数判据） 将将开环极坐标图开环极坐标图改画为改画为开环对数坐标图开环对数坐标图， 即即Bode图图，同样可以利用它来判定系统的稳定性。，同样可以利用它来判定系统的稳定性。 这种方法称为这种方法称为对数频率特性判据对数频率特性判据，简称为，简称为对数判据对数判据或或Bode判据判据。 63 Nyquist图与图与Bode图的对应关

41、系图的对应关系 Nyquist图上原点为圆心的图上原点为圆心的单位圆单位圆Bode图上的图上的0dB线线 dBjHjG01lg20)()(lg20 GHlg20 GH c g1 (2) (2) Nyquist图上的图上的负实轴负实轴Bode图上的图上的180线线 0 180)()(jHjG 64 c:幅值穿越频率幅值穿越频率（剪切频率）（剪切频率） Nyquist轨迹与轨迹与单位圆交点单位圆交点的频率，的频率， 即对数幅频特性曲线与横轴交点的频率，即对数幅频特性曲线与横轴交点的频率， 亦即输入与输出幅值相等时的频率。亦即输入与输出幅值相等时的频率。 g g: :相位穿越频率相位穿越频率 Nyq

42、uistNyquist轨迹与轨迹与负实轴交点负实轴交点的频率，的频率， 亦即对数相频特性曲线与横轴交点的频率。亦即对数相频特性曲线与横轴交点的频率。 （3）两个穿越频率）两个穿越频率 65 穿越的概念穿越的概念 穿越：穿越： 开环开环Nyquist轨迹在点轨迹在点( (1,j0)1,j0) 以左穿过以左穿过负实轴负实轴 （对数相频特性穿过（对数相频特性穿过180线）线） 负穿越：负穿越：开环开环Nyquist轨迹轨迹自下而上自下而上的穿越（随的穿越（随的增加）的增加） （对数相频特性（对数相频特性自上而下自上而下穿过穿过180线）线） 点点1处为负穿越一次处为负穿越一次 正穿越：正穿越：开环开

43、环Nyquist轨迹轨迹自上而下自上而下的穿越（随的穿越（随的增加）的增加） （对数相频特性（对数相频特性自下而上自下而上穿过穿过180线）线） 点点2处为正穿越一次处为正穿越一次 半次穿越：半次穿越：起始于起始于180的穿越的穿越 66 正穿越正穿越一次，一次，Nyquist轨迹轨迹逆时针逆时针包围点包围点(1,j0) 一圈一圈 负穿越负穿越一次，一次，Nyquist轨迹轨迹顺时针顺时针包围点包围点(1,j0) 一圈一圈 开环开环Nyquist轨迹逆时针包围点轨迹逆时针包围点(1，j0) 的次数的次数 正穿越的次数正穿越的次数负穿越的次数负穿越的次数 3、Bode判据判据 闭环系统稳定的充要

44、条件：闭环系统稳定的充要条件： 在在Bode图上，当图上，当 由由0变到变到时，时， 在开环对数幅频特性为在开环对数幅频特性为正值正值的频率范围内，的频率范围内， 开环对数相频特性对开环对数相频特性对180线的线的正穿越与负穿越次数正穿越与负穿越次数 之差为之差为P2。 P为开环传递函数在为开环传递函数在s右半平面的极点数。右半平面的极点数。 68 P=2，正穿越，正穿越2次，负穿越次，负穿越1次，和为次，和为+1 闭环稳定闭环稳定 P=2 GHlg20 GH 【例例】Bode图如下，判断闭环系统的稳定性。图如下，判断闭环系统的稳定性。 69 闭环稳定闭环稳定 P=0P=0，正穿越，正穿越1

45、1次，负穿越次，负穿越1 1次，和为次，和为0 0 P=0 GHlg20 GH 【例例】Bode图如下，判断闭环系统的稳定性。图如下，判断闭环系统的稳定性。 70 4、开环最小相位系统的闭环系统稳定的充要条件、开环最小相位系统的闭环系统稳定的充要条件 对最小相位系统，有对最小相位系统，有P0， 若若开环对数幅频特性开环对数幅频特性比比对数相频特性对数相频特性先交于先交于横轴，横轴， 即即cg，闭环系统稳定；，闭环系统稳定； 若若开环对数幅频特性开环对数幅频特性比比对数相频特性对数相频特性后交于后交于横轴，横轴， cg，闭环系统不稳定；，闭环系统不稳定； 若若开环对数幅频特性开环对数幅频特性等于

46、等于对数相频特性对数相频特性， c =g， 闭环系统临界稳定。闭环系统临界稳定。 71 若开环若开环对数幅频特性对数幅频特性对横轴有对横轴有多个剪切频率多个剪切频率，则，则取剪切频率最大取剪切频率最大的来判别的来判别 稳定性。稳定性。 因为，若用因为，若用c3判别系统是稳定的，则用判别系统是稳定的，则用c1、c2判别，自然也是稳定的。判别，自然也是稳定的。 72 5.5 系统的相对稳定性系统的相对稳定性 从从Nyquist稳定判据可推知，稳定判据可推知， 当开环系统稳定的闭环系统稳定时，当开环系统稳定的闭环系统稳定时， 开环开环Nyquist轨迹轨迹离点离点(-1，j0)越远越远，闭环系统，闭

47、环系统稳定性越高，稳定性越高， 开环开环Nyquist轨迹轨迹离点离点(-1，j0)越近越近，闭环系统，闭环系统稳定性越低。稳定性越低。 这便是系统的相对稳定性。这便是系统的相对稳定性。 系统的相对稳定性：系统的相对稳定性：GK(j) )靠近点靠近点( (1, j0)1, j0)的程度的程度 73 (a)(b)图中开环图中开环P=0，Nyquist轨迹为实线，知闭环稳定。轨迹为实线，知闭环稳定。 (a )图点图点A离点离点(-1，j0)较远，较远，(b)图点图点B离点离点(-1，j0)较近。较近。 m I 0 0 0 GH e R )(a 1 A A m I 0 00 GH e R B B1

48、)(b 图图 系统的相对稳定性系统的相对稳定性 假设增益假设增益K增加了增加了50%， A点移到点移到A点，系统仍是稳定的；点，系统仍是稳定的； B点移到点移到B点，系统便不稳定了。点，系统便不稳定了。 可见，可见，(a)图相对稳定性比图相对稳定性比(b) 图好。图好。 74 Bode图图 在在=c时，相频特性时，相频特性 GH 距距180线的线的相位差值相位差值 可以在可以在c的频率下，允许相位再增加的频率下，允许相位再增加才达到才达到g=c的临界稳定条件。相位裕度的临界稳定条件。相位裕度 又叫做又叫做相位稳定性储备相位稳定性储备。 正相位裕度正相位裕度 正幅值裕度正幅值裕度 1、定量指标：

49、、定量指标：相位裕度相位裕度 、 幅值裕度幅值裕度K （1）相位裕度）相位裕度 75 Nyquist图图 Nyquist轨迹与单位圆的交点对负实轴的相位差值轨迹与单位圆的交点对负实轴的相位差值 ( c）( 180) 180 ( c） 正相位裕度正相位裕度 正幅值裕度正幅值裕度 （1）相位裕度）相位裕度 76 系统稳定，系统稳定， 0 必必在在Bode图横轴以上图横轴以上 在在Nyquist图负实轴以下，图负实轴以下， 称为正相位裕度，有正的稳定性储备。称为正相位裕度，有正的稳定性储备。 系统不稳定，系统不稳定， 0 必必在在Bode图横轴以下图横轴以下 在在Nyquist负实轴以上，负实轴以上

50、， 称为负相位裕度，有负的稳定性储备。称为负相位裕度，有负的稳定性储备。 77 正相位裕度正相位裕度 正幅值裕度正幅值裕度 正相位裕度正相位裕度 正幅值裕度正幅值裕度 负相位裕度负相位裕度 负幅值裕度负幅值裕度 负相位裕度负相位裕度 负幅值裕度负幅值裕度 78 当当=g g时，开环幅频特性时，开环幅频特性G(jg)H(jg)的的倒数倒数 )()( 1 gg g jHjG K （2）幅值裕度）幅值裕度Kg 正相位裕度正相位裕度 正幅值裕度正幅值裕度 Nyquist轨迹与负实轴的交点至原点的距离即为轨迹与负实轴的交点至原点的距离即为1/Kg，它代表在它代表在g频率下开频率下开 环频率特性的环频率特

51、性的模模。 79 BodeBode图上，以分贝值表示图上，以分贝值表示 )()(lg20 )()( 1 lg20lg20)( gg gg gg jHjG jHjG KdBK 正相位裕度正相位裕度 正幅值裕度正幅值裕度 （2）幅值裕度）幅值裕度Kg 80 系统稳定系统稳定 Kg 1 1 ， Kg( (dB) )0 0， Kg( (dB) )在在0dB0dB线线以下，以下， Nyquist轨迹轨迹 1/Kg1， 负幅值裕度，有负的稳定性储备。负幅值裕度，有负的稳定性储备。 结论结论 对于开环系统稳定的闭环系统来说，对于开环系统稳定的闭环系统来说，G(j)H(j)具有具有正幅值裕度正幅值裕度与与正相位正相位 裕度裕度时，其时，其闭环系统稳定闭环系统稳定； G(j)H(j)具有具有负幅值裕度负幅值裕度与与负相位裕度负相位裕度时